動態Casimir效應中的量子同步效應

關若男，龍玉梅，張 雪，鄭泰玉

(東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024)

真空擾動產生光子被人們稱為動態Casimir效應(DCE)[1]，這是量子電動力學最偉大的預言之一，1970年首次在理論上被提出.對動態Casimir效應的觀測一直是許多科學家為之努力的一項工作，直到2011年Wilson等人利用超導量子干涉儀(SQUID)中斷超導波導傳輸線，并通過對超導量子干涉儀(SQUID)的外部磁通量進行高頻調制實現了動態Casimir效應的實驗觀測.實驗表明，磁場誘導的有效運動產生了初始準真空狀態下的微波光子對，這是人們第一次在實驗中觀測到超導電路中的動態Casimir效應[1-2].此外實驗還證明DCE產生的光子對顯示出了量子糾纏[3]和量子失諧[4].理論研究表明，即使在考慮環境熱噪聲的情況下，也可測量出量子關聯，這使得我們可以對動態Casimir效應中的非經典特征進行量子化處理[3-5]，這些關聯可以被轉換為超導量子位元，從而產生高度糾纏的量子位態[6].因此，更詳細地研究如何利用DCE產生其他有用的量子關聯以及它們在現實環境中對熱噪聲的魯棒性，具有特別重要的意義.

近年來，兩個或兩個以上互連的經典系統的同步效應引起了廣泛的關注.同步效應在許多領域表現出獨特的應用潛力，例如互聯網中信息的同步傳輸、耦合激光器之間信號的同步傳輸和放大、使用無序同步技術的信號的加密和解密等.人們開始期望在量子系統中發現類似的同步現象，以便實現量子信息或狀態的同步傳輸.2013年，文獻[7]將經典同步概念推廣到量子系統，發展了量子系統演化的連續變量系統同步的定量理論.而且還介紹了量化耦合連續變量同步水平的兩種不同措施.隨后，在相關理論和實驗方面取得了一定的進展，并得到了量子同步的判定標準.本文基于對超導電路中動態Casimir效應的研究，得出本文所選系統可以看作連續變量的高斯系統[8]，根據Mari等提出的量子同步判定標準，進一步研究此系統的量子同步水平，以及系統中各因素對同步水平的影響.

1 理論模型

(1)

圖1 一維半無限超導波導管理論模型示意圖

根據文獻[11-12]，當超導量子干涉儀中的頻率足夠大時，超導量子干涉儀對磁通量場提供的邊界條件為

Φ(0，t)+Leff(t)?xΦ(x，t)|x=0=0.

(2)

定義有效長度為

Leff(t)=(Φ0/2π)2/(EJ(t)L0).

(3)

式中：L0為單位長度波導的特征電感；EJ(t)=EJ[Φext(t)]為與磁通量有關的有效約瑟夫森能，其中Φext(t)為超導量子干涉儀中的外加磁通量.對于諧波驅動頻率ωd/2π與歸一化振幅，可以得到sinωdt]，則有效長度調制振幅為δLeff=Leff(0).若有效速度veff=δLeffωd相對于波導中的光速v來說很大，那么動態Casimir效應中發射的光子數非常多.

在這個框架下，利用散射理論研究動態Casimir效應，進一步討論如何在含時邊界條件中加入獨立的輸入、輸出模式[13].在參考文獻的微擾理論中[3，11-12]詳細分析過，得到的輸出場與模式中的角頻率ω+，ω-有關，而ω++ω-=ωd，所以我們將ω+，ω-定義為ω±=ωd/2±δω，其中δω即為失諧.引入a±=a(ω±)，b±=b(ω±)則輸入、輸出場的關系為

(4)

令

(5)

可以得到

(6)

2 應用于雙模高斯態的量子同步理論

在海森堡繪景下，令q±，p±分別為系統兩種模式對應的正則算符.由于平均值近似適用于介觀系統，這就意味著介觀系統中的算符o(t)可寫為o(t)=〈o(t)+δo(t)〉的形式.因此可以將系統的誤差算符寫為：

(7)

(8)

其中：

其驗證流程也十分簡明，客戶端使用用戶憑據登錄系統，服務器驗證通過后，依據上述規則生成jwt 返回給客戶端。客戶端之后在向服務器請求時，通過header 中的Authorization 字段以Bearer 形式攜帶此token 來發送至服務器端驗證身份和權限。一般的token流程可以由圖2 來表示，申請為1～2 步驟進行，請求資源以3～6 步驟進行。

(9)

(10)

系統的量子效應可以由δo(t)來表征，所以在討論因量子效應引起的同步誤差時，只考慮δQ(t)與δP(t)即可，由于海森堡不確定性關系，二者都不能同時達到非常小的數值.出于這個原因，Mari等人，引入了基于方程(7)—(8)的品質因數為

(11)

為了求解(11)式，這里引入協方差矩陣.對于任一連續變量的雙模高斯系統，其協方差矩陣可表述為

(12)

(13)

(14)

(15)

其中：

(16)

可由系統的主方程進一步推導出雙模高斯態演化的協方差矩陣形式[15]，i表示不同的通道.(15)式可看作描述此系統高斯態初始時刻的協方差矩陣，即

V(0)=V.

(17)

兩個模式的演化矩陣可表述為

(18)

耦合后的耗散矩陣為

(19)

則系統狀態隨時間變化可由協方差矩陣描述[15]為

V(t)=V(0)e-γt+V∞(1-e-γt).

(20)

其中γ為耦合系數，這里討論兩個通道耦合系數相同的情況.將(17)和(19)式代入到(20)式得

(21)

其中：

得到了系統考慮耗散的雙模高斯態協方差矩陣.將(21)式代入(11)式中，可得

(22)

3 影響系統同步水平因素的討論

不同參數對系統達到同步時間的影響見圖2.在圖2(a)圖中，v=1.2×108m/s，ωd=2π×10 GHz，k=1.38×10-23，δω/ωd=0.2，Leff(0)=0.5 mm，=0.5，γ=0.5，實線表示溫度T=0.03 K，虛線表示溫度T=0.05 K.在圖2(b)中溫度T=0.03 K，其他參量與圖2(a)相同，實線表示=0.1，虛線表示=0.4.在圖2(c)中實線表示δω/ωd=0.1，虛線表示δω/ωd=0.3，其他參數與圖2(a)中一樣.在圖2(d)中實線表示γ=0.5，虛線表示γ=2，其他參數與前面一樣.

圖2 不同參數對系統達到同步時間的影響

v=1.2×108m/s，ωd=2π×10 GHz，k=1.38×10-23，Leff(0)=0.5 mm，=0.5，γ=0.5

4 結論