軸向移動懸臂梁振動響應及模型預測控制

陳 浩，陳繼開，段應昌，賀宇鋒,，羅 翔

(1.東南大學 機械工程學院，南京 211189；2.陸軍工程大學 訓練基地，南京 210001)

軸向運動梁問題在很多系統中都有應用，比較常見的有機械人手臂運動、火炮系統的炮管、大型衛星伸展結構以及平推式架設的軍用橋梁等。其中平推式架設的橋梁車是我軍目前工程保障車中的重要裝備，采用平推式架設方法，可以實現大跨度的障礙架設。在架設過程中，通過配備多組滑輪進行橋梁支撐，并采用銷齒傳動推動橋梁軸向架設。但由于橋梁跨度較大，在架設過程中常出現振動問題，長時間的振動會嚴重影響架橋車的使用壽命，同時也會對架橋作業帶來安全隱患。從結構上看，平推式架橋結構是一種典型的軸向運動梁系統，而軸向運動梁的動力學相應及振動控制問題一直是國內外的研究熱點。李山虎等[1]通過多尺度法推導了伸展懸臂梁的獨立模態振動控制的近似理論解；劉寧等[2]研究了在移動質量作用下的軸向運動懸臂梁的振動問題，并采用修正的Galerkin法對振動方程進行離散并求解。Michaltsos[3]對不同移動速度的質量載荷影響下的橋梁振動響應進行了研究；華洪良等[4]采用Rayleigh-Ritz法推導了軸向移動懸臂梁的時變動力學方程，提高數值計算效率。上述等人的研究內容集中在對不同工況下軸向移動懸臂梁的動力學響應上。

Wang等[5-6]對軸向移動梁的橫向振動抑制問題進行研究;Zhu等[7]從能量角度采用邊界控制策略來抑制軸向移動梁或弦的振動；王亮等[8]采用LQR(linear quadratic regulator)法設計了主動振子和主動力控制器，通過數值計算比較兩種振動控制效果。張偉等[9]采用自適應控制方法對軸向運動弦和作動器組成的系統進行橫向振動控制，振動抑制效果明顯。劉定強等[10]采用二次最優控制和速度反饋法對軸向運動矩形薄膜橫向振動的控制問題進行分析。

本文以平推式架橋車為研究對象，首先基于歐拉梁理論，采用拉格朗日法建立系統運動方程，通過以冪級數函數為基函數來構造試函數的假設模態法進行動力學求解，并對架設過程的振動響應進行參數化分析，為實際架橋車的作業和保養提供指導。然后針對架設過程的可能出現振動不確定干擾問題，擬采用一種模型預測控制的思想進行主動抑振分析。模型預測控制的核心思想是模型預測-反饋校正-滾動優化，基于模型預測控制進行主動力控制可以有效抑制不確定干擾因素影響下的振動。

1 架橋車橋梁動力學模型

架橋車裝備的架設機構是采用銷齒傳動機構，橋梁內倆側安裝有連續排列的銷軸，然后在支撐橋梁的機構上有一個用于主動驅動的齒輪，因此整個架設過程可以簡化為一個簡諧作用力激勵下的軸向移動懸臂梁系統，如圖1所示。

圖1 軸向移動懸臂梁模型

圖1中，以橋梁固定端為原點建立直角坐標系，外伸橋梁長度為L(t)，橋梁以速度v向前推出，齒輪對橋梁的激勵力為F，激勵力作用位置距離原點為ξ，橋梁的橫向位移用為w(x(t),t)表示，橋梁的彈性模量、密度、橫截面積與慣性矩分別為E，ρ，A，I。

在推橋過程中，梁上任意一點的坐標可以表示為

X=[x(t),w(x(t),t)],x∈(0,L(t))

(1)

則梁上任意一點的速度矢量由坐標矢量對時間求導可得

(2)

因此，系統的動能表達式為

(3)

式中：(·)為對時間的導數；()′為對x求導。

而梁的勢能可以表示為

(4)

考慮整個系統的結構阻尼作用，定義梁的耗散函數為

(5)

式中，c=2mδiωi,δi為各階模態阻尼比，ωi為各階模態頻率。

由式(3)、式(4)、式(5)，可得到軸向運動梁的拉格朗日函數

(6)

2 橋梁的橫向振動方程

通過能量法求出橋梁運動系統的拉格朗日函數，對其離散化后即可推導出動力學振動方程。假設模態法是利用有限個已知的模態函數來確定系統的運動響應，因此本文通過假設模態法對系統的拉格朗日函數進行離散化處理，一般在靜止懸臂梁系統中，梁的模態函數表示為

式中,λi=βiL為特征方程cosλichλi+1=0的根。根據特征方程的解可以得到橋梁的固有頻率，橋跨的固有頻率ω和λ的關系如式(8)所示。式(8)表明橋梁各階模態頻率與橋梁長度成反比。

(8)

由式(7)可知，懸臂梁的模態函數由一系列的三角函數和雙曲函數組成，形式比較復雜，計算起來十分不易。根據文獻中的擬合原則，本文采用5階冪級數函數來擬合靜止梁的模態函數，與懸臂梁的模態函數相比，冪級數的計算推導相對簡單，提高了動力學建模效率。然而對于時變系統，懸臂梁的固有模態函數是沒有意義的，因此取懸臂梁的瞬時模態函數作為擬合對象，梁豎直方向的振動位移w可以表示為

(9)

由于物體的前三階模態一般最易被激發，所以本文以下采用三階模態截斷并將式(9)表示成矩陣的形式

w=Φ(δ)q(t)

(10)

式中：Φ(δ)=[φ1φ2φ3];q(t)=[q1(t)q2(t)q3(t)]T。將式(10)代入式(6)中，并通過拉格朗日方程可推導得到軸向移動橋梁的系統運動方程

(11)

式中:M為質量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;Q為廣義力向量，具體的表達式為

M=m1

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

從上述表達式可知，由于橋梁軸向移動的影響，梁的質量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣都是時變參數，所以軸向移動梁的振動方程是一個二階時變方程。同時，本文在推導橋梁動力學方程時忽略橋梁的結構阻尼，而式(13)阻尼項C中除了由于橋跨結構阻尼產生的c3，其余部分是由于橋跨的軸向運動以及彎曲變形引起的，也因此不能通過模態疊加的原理將多自由度的振動方程解耦成單自由度方程，這樣就難以直接求出式(11)的精確解析解。所以本文采用求解精度較高的Newmark-β數值法計算振動方程的動力學響應。

3 基于Newmark法的模型預測控制

本文的研究對象始終處于軸向運動狀態，從而使系統的質量參數、剛度參數以及阻尼參數都隨時間變化，使用較廣泛的PID(proportion intergration differentiation)控制在這種含有時變參數的系統中難以實現全局穩定[11]。針對本文系統時變特性，考慮通過模型預測控制的思想將系統全局最優問題分解成有限時間局部最優進行滾動求解。在有限時域內通過Newmark法對模型輸出進行預測，根據預測時域的輸出進行優化控制得到當前時刻的最優控制力，并隨著時間的推進，不斷進行局部最優求解從而實現全局的振動抑制控制。即通過預測模型-反饋校正-滾動優化三部分進行振動控制。

考慮在距離橋梁固定端的某位置施加橫向控制力，根據實時振動輸出對控制力進行調整達到抑制橋梁振動目的。在不考慮外界擾動情況下，式(11)可寫成以下形式

(17)

式中,U為控制力向量。

根據Newmark-β法的假設[12]可以得到

(18)

式中，β和γ為按積分的精度和穩定性要求進行調整的參數。本文取β=0.5，γ=0.25，此時計算結果是無條件穩定的。由式(18)可解得

對動力學方程離散化，考慮t+Δt時刻的振動方程為

(20)

(21)

其中，

(22)

(23)

(24)

(25)

其中,

(26)

(27)

結構t時刻的加速度向量可以通過求解t時刻的離散動力學方程得到

(28)

所以式(25)可以轉為

Xt+Δt=dt+ΔtXt+mt+ΔtUt+nt+ΔtUt+Δt

(29)

其中,

(30)

定義目標函數

(32)

式中:w(t)=[w(t+Δt)/t…w(t+NΔt)/t]T，w(t+NΔt)/t為以t時刻狀態預測的N個采樣時刻后的輸出；wr(t)為期望軌跡，本文中取為0；Q為N×N階響應權矩陣；R為(N+1)×(N+1)階控制權矩陣；N為預測步數;Δt為時間步長，顯然這兩個參數的取值將影響模型預測的精度。

已知每個采樣t時刻的狀態根據式(29)可預測出未來N個時刻的響應值w(t)，以式(32)的優化函數對未來N個時刻的預測響應值進行最優計算，得到未來N個時刻的最優控制序列U(t)，取控制序列的第一個最優控制力作用在當前時刻。在t+Δt時刻，系統將根據當前時刻的系統實際響應值重新預測未來N個時刻的系統響應，并重復進行上述最優控制計算過程。采樣開始系統每次滾動一個采樣步長，并在每個采樣時刻都會根據當前實際響應值預測未來時刻的響應值進行最優控制，從而實現全局的最優控制。

4 數值計算及仿真分析

4.1 架設參數分析

根據實際架橋車的參數，本文設置梁的初始長度為2 m，架設過程中橋梁推送長度為12 m，激勵力作用點距離固定端ξ=0.925 m，等效梁的寬度b=0.234 m，厚度h=0.6 m，密度ρ=3 233.6 kg/m3，彈性模量E=2.06×1011Pa，銷齒間距d=0.06 m，前三階阻尼比均為0.014，激勵力幅值為200 kN，時間步長Δt=0.02 s。

實際橋梁穩定推送速度在0.6～1.0 m/s，分別以0.6 m/s和1.0 m/s的速度推送橋梁至14 m過程中橋梁末端振動情況，如圖2～圖5所示。

圖2 v=0.6 m/s橋梁末端位移

圖3 v=0.6 m/s橋梁末端加速度

圖4 v=1.0 m/s橋梁末端位移

圖5 v=1.0 m/s橋梁末端加速度

圖6 一階模態頻率變化

從圖6可知，在推橋初始階段，由于橋梁長度較短，使最易激發的一階模態頻率也相對較高，因此在初始階段應盡快將推橋速度提升至最高速度1.0 m/s；隨著梁長的增加，激勵力頻率會慢慢接近橋梁的一階模態頻率，為了盡可能避免共振出現，在推橋長度至8 m時會和最高推橋速度下的激勵力產生共振，應開始逐漸降低推橋速度以降低激勵力頻率來避免共振。但是由于推橋最低速度的要求，激勵力頻率不可避免的會接近橋梁各階模態頻率而發生共振，因此為了能夠高效率架橋的同時盡量減少振動，有必要對橋梁進行主動振動抑制。

4.2 模型預測控制分析

權系數矩陣分別設為Q=6×1012×IN×N,R=I3(N+1)×3(N+1)。其他相關仿真參數如表1所示。

表1 相關仿真參數

分別對比圖7(a)、圖7(b)可知，在橋梁受到不同大小的擾動力時，基于模型預測的控制算法都可以將共振區的最大峰值減少約55.9%，同時當橋梁離開共振區后，能夠在2 s內迅速衰減至穩定。而當推橋速度發生變化后，橋梁共振區域也相對發生變化，從圖7(a)和圖7(c)的對比可知，推橋速度也略微影響了振動控制的效果，振動抑制比下降到31%，但是由于高速架橋發生共振較早，整體的振動幅值就相對較小，因此總體控制效果還是比較明顯。以上對比驗證了模型預測控制策略具有較好的魯棒性，在外界不同的干擾情況下都能夠取得不錯的控制效果。

圖7 不同工況下振動響應

從式(32)可知，根據未來N個時刻的響應計算對應的最優控制力序列，因此預測步數N和時間步長Δt必定會影響最優控制力，有必要分析N和Δt對振動控制的影響。保持橋梁推送速度和激勵力不變，分別改變預測步數和時間步長進行仿真對比。圖8是時間步長保持在0.02 s，不同預測步數對振動峰值的影響結果圖，圖9則是預測步數固定為5步，不同時間步長下振動峰值變化曲線結果圖。

圖8 不同預測步長下的振動峰值

圖9 不同時間步長下的振動峰值

首先從圖8中可以清晰的看到當預測步數從10增加到19的時候，振動響應曲線幾乎沒有太大的區別，而預測步數從5增加到10的時候，振動控制效果顯著提高。所以隨著預測步數N的增加，圖8的振動峰值的總體趨勢是先減小然后保持穩定，最后幾乎不隨著N值的變化而變化，這也是因為預測步長過大導致預測模型失敗，同時隨著預測步長的增加，相應的計算負擔也隨之增加；另外圖9的振動峰值變化曲線表明隨著時間步長的增加，振動峰值也隨之增加，即振動抑制效果下降，這也是因為時間步長的增加等同于增加預測步數，自然也會出現預測過多產生的預測失效結果。此外當時間步長過大時還會出現計算精度較低、時延明顯等現象。因此根據上述分析對比，綜合考慮計算負擔以及控制效果，預測步數不宜超過10，時間步長不宜超過0.03 s。

5 結 論

本文首先將某型架橋車的推送過程簡化為軸向移動懸臂梁系統，然后基于拉格朗日方程推導了模型的時變動力方程，并采用計算相對簡單的冪級數函數來擬合懸臂梁的振型函數，避免了大量的三角函數計算，從而提高時變動力方程的求解速度。

接著通過分析架設參數對橋梁振動的影響和主動控制研究，得到以下結論：

(1)在推橋過程中，只有一階模態會被激發，從而形成以一階模態為主導振型的共振特點。因此為了盡量減少橋梁推送過程中的振動情況，應盡量避開橋梁一階模態的共振頻率，根據橋梁一階模態頻率隨橋梁長度的變化規律可以發現，在橋梁推橋初始階段，由于橋梁長度較短，一階模態頻率遠高于橋梁推送時產生的激勵力頻率，此時應以最高架橋速度進行推送，當橋梁外伸長度超過8 m后，需要慢慢降低架橋速度來避開此時橋梁的一階模態頻率。通過理論分析，為實際架橋的速度控制提供了理論指導。

(2)基于Newmark法的模型預測控制能夠有效的降低推送過程中橋梁的振動峰值，通過先預測結構未來的動態響應，再確定當前時刻的最優控制力，控制效果明顯優于基于全局的最優控制，振動抑制效果最高可達55.9%；在改變推橋速度和橋梁所受激勵力的幅值后，該控制策略仍能夠有效的對共振區振動進行抑制，表明基于模型預測的主動控制魯棒性較好；最后分析了控制參數中最重要的預測步數對控制效果的影響，通過數值分析對比給出預測步數的推薦值，為實際設計控制器提供參考。