內環向加筋對功能梯度圓柱殼模態頻率的影響

劉 超，劉文光，呂志鵬

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

功能梯度材料(functionally graded materials,FGMs)是一種新型非均質復合材料，其結構內部組分隨體積分數和空間位置變化而連續變化。其中，金屬陶瓷功能梯度材料具有良好的耐熱、隔熱、緩和應力集中等優點，在航天飛機的結構設計中具有良好的應用前景。由于功能梯度材料的物理屬性和傳統復合材料或者純金屬材料的物理屬性不同，使功能梯度結構的振動行為與材料的熱物理屬性變化密切相關。

基于不同的板殼理論，研究者對FGMs結構的振動行為開展了大量的研究。基于Love薄殼理論，Loy等[1]采用Rayleigh-Ritz法計算了兩端簡支FGMs圓柱殼的模態頻率，Abdul等[2]采用能量法討論了FGMs組分變化對FGMs殼模態頻率的影響，劉文光等[3]探討了考慮熱應力后溫度梯度對FGMs殼模態頻率的影響，葉曦等[4]研究了熱環境對FGMs殼頻散特性的影響?；赟anders薄殼理論，Qin等[5]研究了任意邊界條件下FGMs殼的自由振動行為，Hashemi等[6]研究了不同邊界條件下旋轉速度對FGMs殼模態頻率的影響。基于Donnell殼體理論，杜長城等[7]研究了FGMs薄圓柱殼的非線性自由振動，Hadi等[8]研究了熱環境載荷作用下軸向、橫向及熱載荷對FGMs圓柱殼非線性振動的影響?；贔lügge理論，梁斌等[9]利用波動法研究了環肋FGMs圓柱殼在靜水壓力作用下結構固有頻率隨殼體幾何尺寸、肋條尺寸和肋條數目等參數的變化規律。基于一階剪切變形理論，Liu等[10]利用波動法研究了不同邊界下FGMs圓柱殼的自由振動行為，Farahani等[11]利用波動法研究了流體中FGMs殼在靜水壓力作用下的振動，蒲育等[12]利用廣義微分求積法研究了不同邊界條件下FGMs梁的自由振動。基于高階剪切變形理論，Punera等[13]討論了FGMs開孔圓柱殼的自由振動，Song等[14]研究了熱環境中碳納米增強FGMs殼的振動，郝育新等[15]結合Galerkin法和Hamilton原理研究了材料非線性和幾何非線性對FGMs板內共振行為的影響。

分析表明，FGMs結構的振動與其材料組分、熱環境變化、結構幾何尺寸等因素有關。但是，要推進FGMs在航天飛機圓柱殼設計中的應用，除考慮各種因素對FGMs圓柱殼振動行為的影響之外，還要保證圓柱殼在使用壽命范圍內能夠盡量節省材料。因此，開始有研究者探究加筋對FGMs圓柱殼振動行為的影響。基于經典薄殼理論，Dao等[16]研究了加強筋對FGMs圓柱殼振動特性的影響?；贒onnell薄殼理論，Phuong等[17]分析了加筋FGMs圓柱殼在熱環境下的振動穩定性；基于一階剪切變形理論，Sheng等[18]研究了熱環境對加筋FGMs圓柱殼非線性振動的影響。

雖然研究者對加筋FGMs圓柱殼的振動開展了一些分析，但是鮮有分析采用高階殼體理論討論加筋變化對圓柱殼模態頻率的影響?，F有的文獻中，研究者一般忽略圓柱體和加筋的剪切和旋轉慣性。本工作主要采用三階剪切變形理論推導加筋圓柱殼的模態頻率方程，研究熱環境下內環向加筋對FGMs圓柱殼模態頻率的影響。

1 功能梯度圓柱殼模型

1.1 圓柱殼幾何模型

加筋FGMs圓柱殼，圓柱殼的長度為L，厚度為h，圓截面的中面半徑為R，如圖1所示。在圓柱殼左端中面建立柱坐標系(x,θ,z)，其中：x，θ和z分別為殼中面在軸向、環向和徑向的坐標，u0，v0，w0分別為圓柱殼中面任一點沿坐標(x,θ,z)方向的位移。在圓柱殼的內表面設計若干條加筋，加筋的截面設計為矩形。假設第k條加筋位置距圓柱殼原點的距離xk，且加筋的寬和高分別為ak和bk。

圖1 加筋FGMs圓柱殼幾何模型

1.2 功能梯度材料模型

假設FGMs圓柱殼的外表面為純金屬，內表面為純陶瓷。根據Mori-Tanaka模型[19]，FGMs的有效材料參數表達式為

(1)

式中：T為熱環境溫度；Gm和Gc分別為金屬和陶瓷的剪切模量；Km和Kc分別為金屬和陶瓷的體積模量；αm和αc分別為金屬和陶瓷的熱膨脹系數；Geff,Keff,αeff分別為FGMs的有效剪切模量、有效體積模量和有效熱膨脹系數；Vm和Vc分別為金屬體積分數和陶瓷體積分數(Vc+Vm=1)，具體表達式與圓柱殼的加筋設計方法有關。

本文采用分離式和整體式兩種方法對圓柱殼內表面添加加強筋。分離式加筋是指加筋和圓柱體采用不同的陶瓷體積分數。整體式加筋是指加筋和圓柱體采用相同的陶瓷體積分數。

對于分離式加筋圓柱殼，陶瓷體積分數表達式為

(2)

式中：Vc1和Vc2分別為加筋和圓柱體部分的陶瓷體積分數；ψ1和ψ2分別為加筋和圓柱體部分的體積分數指數。

對于整體式加筋圓柱殼，陶瓷體積分數表達式為

(3)

式中，Vc3和ψ3分別為加筋圓柱殼的陶瓷體積分數和體積分數指數。

取h/bk=5，ψi=1(i=1，2，3)，分離式加筋和整體式加筋下FGMs圓柱殼的陶瓷體積分數沿厚度方向的變化規律,如圖2所示。從圖2可知，不同設計準則對材料組成與分布影響明顯。因此，不可忽視設計準則對FGMs圓柱殼振動特性的影響。

圖2 陶瓷體積分數沿厚度方向的變化

根據剪切模量、體積模量與彈性模量和泊松比的關系，可推出加筋和圓柱體部分的有效彈性模量和有效泊松比

(4a)

(4b)

根據Voigt混合率模型，加筋和圓柱體部分的有效質量密度表示為

ρeff(z)=ρcVc(z)+ρm(1-Vc(z))

(5)

假設熱環境下FGMs的物理屬性與溫度變化之間服從非線性關系[20]

pc,m=p0(1+p1T+p2T2+p3T3)

(6)

式中：pc,m分別為陶瓷和金屬的物理屬性(例如：密度ρ/kg·m-3、彈性模量E/GPa、泊松比υ、熱膨脹系數α/1·K-1);p0，p1，p2，p3為材料的溫敏特性系數，具體取值如表1所示。

表1 ZrO2/Ti-6Al-4V溫敏特性系數

考慮熱環境下加筋圓柱殼溫升沿厚度方向服從線性梯度變化形式

(7)

式中:Tcm=Tin-Tout為加筋圓柱殼最內層以及最外層的溫差；Tin，Tout分別為加筋圓柱殼最內層、最外層被施加的溫度；T0為環境溫度(文中取T0=300 K)。

2 圓柱殼的模態頻率方程

2.1 加筋圓柱殼的能量模型

根據二維胡克定律，加筋FGMs圓柱殼的應力-應變本構關系可以表示為

{σ}=[Q]{ε}

(8)

式中：{σ}為應力向量；{ε}為應變向量；[Q]為簡化剛度矩陣。具體表達式為

{σ}={σxxσθθτxθτxzτθz}T

(9)

{ε}={εxxεθθγxθγxzγθz}T

(10)

(11)

式中：σxx,σθθ分別為x，θ方向的正應力；τxθ為xθ面內剪應力；τxz和τθz為厚度方向剪應力；εxx，εθθ分別為x，θ方向的正應變；εxθ為xθ面內剪應變，γxz和γθz為厚度方向剪應變；Qij(i=1,2,4,5，6)為簡化剛度元素，定義為

(12)

考慮加筋和圓柱體的剪切和旋轉效應，由三階剪切變形理論得到加筋FGMs圓柱殼的位移場，具體表達式為[21-22]

(13)

式中：u1，v1，w1分別為圓柱殼內任一點沿x，θ和z方向的位移；φx和φθ為中面法線繞x和θ軸的偏轉角。

加筋圓柱殼的彈性應變能等于

U=Us+Ur

(14)

式中：Us為圓柱體部分的應變能;Ur為加筋部分的應變能。具體表達式為

式中：若加筋和圓柱體厚度較小，則(R+z)可近似為R;δ(.)為Dirac函數；N為加筋的條數。

加筋圓柱殼的動能等于

K=Ks+Kr

(16)

式中：Ks為圓柱體部分的動能；Kr為加筋部分的動能。具體表達式為

(17)

式中：ρeff為FGMs的有效質量密度；上標‘·’為對時間求導。

考慮熱環境做功的影響，熱載荷對加筋圓柱殼做的功能等于

W=Ws+Wr

(18)

式中：Ws為熱載荷對圓柱體部分做的功；Wr為熱載荷對加筋部分做的功。具體表達式如下[23]

(19)

(20)

式中,ΔT(z)=T(z)-T0，為FGMs圓柱殼內任一點的溫度與環境溫度的差值。

2.2 Rayleigh-Ritz法

假設加筋圓柱殼中面振型函數為[24]

(21)

式中：ξ1，ξ2，ξ3，ξ4和ξ5分別為圓柱殼各個方向的振動幅值；m，n分別為圓柱殼軸向和環向波數；f為圓柱殼的模態頻率。

根據Lagrange函數，加筋圓柱殼的能量函數為

Π=(Ks+Kr)max-(Us+Ur)max+(Ws+Wr)max(22)

式中，(Ks+Kr)max，(Us+Ur)max和(Ws+Wr)max分別為加筋圓柱殼的最大動能、最大應變能以及最大熱載荷做功。取能量函數Π關于振幅的極值推導出模態頻率特征方程。根據齊次方程組有非零解的充要條件得到關于模態頻率的十次方程

a1f10+a2f8+a3f6+a4f4+a5f2+a6=0

(23)

式中，ai(i=1，…，6)為方程系數。

假設加筋等間距分布，且加筋圓柱殼由單一材料制成[25]，其材料物理性能為：E=206.832 GPa，v=0.3，ρ=7 826.4 kg/m3。圓柱殼的幾何尺寸為：R=0.103 7 m，h=0.001 2 m，L=0.942 m，加筋數量與模態頻率的對比關系，如圖3所示。

圖3 加筋數量與圓柱殼模態頻率的關系

從圖3可知，應用本文模型計算加筋圓柱殼的模態頻率與Sheng等、Wang等研究中的模態頻率較吻合，說明上述推導模型有效。

3 加筋對FGMs圓柱殼模態頻率的影響

如無特殊說明時，以下算例研究所用加筋圓柱殼的幾何尺寸?。篟=1 m,L=1 m,h=0.01 m,ak=0.01 m和bk=0.1 m；軸向振動波數m=1；加筋數量N=8；加筋為等間距分布。分析發現，陶瓷體積分數指數只影響加筋FGMs圓柱殼模態頻率的大小，不改變加筋變化對模態頻率的影響趨勢。因此，以下討論取圓柱殼和加筋部分的體積分數指數ψ=1，主要討論加筋的設計方式、加筋數量和位置、加筋的寬高比等對圓柱殼模態頻率的影響。

3.1 加筋的設計方式對模態頻率的影響

有無熱環境時加筋設計方式對FGMs圓柱殼模態頻率的影響,如圖4所示。

圖4 加筋設計方式對FGMs殼模態頻率的影響

從圖4可知，不同環向波數下，分離式設計加筋FGMs圓柱殼的模態頻率總是大于整體式設計加筋FGMs圓柱殼的模態頻率；溫度梯度增大，加筋圓柱殼的模態頻率逐漸下降，且分離式設計對溫度梯度敏感性相對更弱。因此，后續主要討論分離式加筋FGMs圓柱殼模態頻率的變化規律。

3.2 加筋數量對模態頻率的影響

加筋數量N對FGMs圓柱殼模態頻率的影響，如圖5所示。從圖5可知，在不同環向波數n下，模態頻率隨著N的增大基本呈現單調遞增的趨勢，但是模態頻率并非隨加筋數量的增大而成比例遞增。當N達到約11時，模態頻率逐漸收斂，特別當n=1時，圓柱殼的軸向振動頻率隨N的增大而逐漸減小。這說明加筋雖能提高結構剛度，但也會引起增加質量。進一步分析發現，N對低環向波數時模態頻率影響較小，對高環向波數時模態頻率影響較為明顯。熱環境下，當Tcm較小，N增大至14能有效提高模態頻率；隨著Tcm的增大，N對模態頻率的影響越來越不顯著，這說明N和Tcm對圓柱殼剛度的影響具有相互耦合的作用。結論表明，熱環境下加筋的數目并非越多越好，加筋雖能提高圓柱殼的高環向模態頻率，但這些模態頻率并不主導圓柱殼的動力學設計。

圖5 加筋數目對FGMs殼模態頻率的影響

3.3 加筋位置對模態頻率的影響

除等間距加筋分布之外，加筋在圓柱殼軸向也可能非均勻分布。為了便于描述加筋的分布位置，定義加筋的位置函數xk

(24)

式中：xk為第k根加筋與圓柱殼左端原點距離；N為加筋數量，若N為奇數，則第((N-1)/2+1)根加筋在圓柱殼軸向中間位置。τ為非均勻位置參數，當0<τ<1時，加筋靠近軸向中心處較為密集分布；當τ= 1時加筋為均勻分布形式；當1<τ時加筋靠近圓柱殼的兩端密集分布，具體分布形式如圖6所示。

圖6 加筋位置分布形式

加筋位置對FGMs圓柱殼模態頻率的影響，如圖7所示。

從圖7可知，模態頻率隨著τ的增大呈先減小后增大的趨勢，當0.4≤τ≤0.6時,模態頻率出現最小。這說明加筋的分布越靠近圓柱殼兩端或軸向中心越有利于提高模態頻率。熱環境下，模態頻率隨著τ的增大呈先減小后增大后又減小的趨勢。當τ≤1時，Tcm對加筋布置在圓柱殼軸向中心處的模態頻率影響較小，當1≤τ時，Tcm對加筋布置在圓柱殼兩端的頻率影響很大?？偟膩碚f，非均勻參數τ應盡量控制在τ≤0.4或1.2≤τ≤1.4內，適當調控加筋的分布位置可達到較大幅度提高圓柱殼模態頻率。

圖7 加筋位置對FGMs殼模態頻率的影響

不同殼體厚度下加筋位置對FGMs圓柱殼模態頻率的影響，如圖8所示。從圖8可知，隨著τ的增大模態頻率基本逐漸增大，且非均勻參數τ對低環向波數的模態頻率影響較大，高環向波數下影響較小。增大殼體厚度，環向波數大于4時，模態頻率隨著τ的增大逐漸減小。結論表明：加筋的非均勻位置參數τ對圓柱殼模態頻率的影響較為復雜，圓柱殼的振動特性可能取決于加筋位置參數和圓柱體參數之間的匹配關系。

圖8 不同厚度下加筋位置對FGMs殼模態頻率的影響

3.4 加筋的寬高比對模態頻率的影響

加筋寬度對殼模態頻率的影響，如圖9所示。從圖9可知，當n=1或n=2時，模態頻率均隨ak的增大呈現先增大后減小的趨勢；當n>2時，模態頻率隨著ak的增大呈現先增大后趨于穩定的趨勢。在0.4≤ak≤1.3內，ak對模態頻率的影響很顯著。進一步分析可發現，圓柱殼的基頻出現在n=3時，且在n=1和n=4時出現模態交叉現象，相應振型發生改變；當環向波數n=1時，模態頻率在Tcm= 300 K時隨著ak的增大呈現先增大后減小的趨勢，而在Tcm>300 K時，模態頻率隨ak增大呈現單調遞減的趨勢。Tcm越大，圓柱殼的模態頻率隨ak增大而減小趨勢越明顯。因此，低溫環境下，ak在0.4≤ak≤1.3內能一定程度提高圓柱殼的模態頻率；高溫環境下，溫度梯度對圓柱殼剛度的貢獻大于截面寬度對剛度的貢獻，設計中應充分考慮溫度梯度的影響。

圖9 加筋截面寬度對FGMs殼模態頻率的影響

加筋高度對殼模態頻率的影響，如圖10所示。從圖10可知，圓柱殼模態頻率隨著bk的增大呈逐漸遞增的趨勢。當16時，基頻發生在對應(m,n)=(1,3)的波數。分析發現，當環向波數n越大，模態頻率隨bk增大而上升的趨勢越明顯。熱環境下，當Tcm較小，模態頻率隨bk增大逐漸增大。隨著Tcm的不斷增大，模態頻率隨bk的增大呈先增大后減小后又增大的趨勢，并在bk≥7時模態頻率由減小轉為增大。結論表明：bk≥7不僅有利于避免圓柱殼發生高環向共振，而且有利于提高高溫環境下圓柱殼的模態頻率。

圖10 加筋高度對FGMs殼模態頻率的影響

加筋在同一截面面積下，寬高比對圓柱殼模態頻率的影響，如圖11所示。從圖11可知，ak=0.01 m，bk=0.1 m和ak=0.1 m，bk=0.01 m條件下，圓柱殼的模態頻率的差值隨著環向波數增大而增加；ak=0.2 m，bk=0.005 m和ak=0.1 m,bk=0.01 m條件下，圓柱殼的模態頻率差值很?。籥k=0.005 m,bk=0.2 m和ak=0.01 m，bk=0.1 m條件下，模態頻率差很大。這說明加筋的截面高度bk相對截面寬度ak對圓柱殼的剛度更為敏感，工程中應盡量注重截面高度的合理設計，并選用較大的截面高度以提高圓柱殼基頻。

圖11 加筋截面寬高比對FGMs殼模態頻率的影響

4 結 論

考慮加筋圓柱殼的剪切和旋轉效應，計算了加筋圓柱殼的應變能、動能和熱載荷做功。利用能量函數推導了加筋圓柱殼的模態頻率方程。探討了加筋的設計方式、數量和位置、截面變化等對圓柱殼模態頻率的影響。主要得到以下結論：

(1)分離式設計加筋相比整體式設計加筋對提高圓柱殼的模態頻率更為有利，而且對溫度梯度的敏感性更弱。

(2)加筋越多越能提高圓柱殼的模態頻率，但模態頻率的增加與加筋數目的增大并非比例關系，當加筋數目約為11時，模態頻率趨于穩定。

(3)加筋位置參數τ在τ≤0.4或者1.2≤τ≤1.4內更有利于提高圓柱殼的模態頻率，且加筋的非均勻位置參數和圓柱殼參數之間存在匹配關系，對加筋圓柱殼模態頻率的變化規律影響較復雜，在圓柱殼結構設計中應當注意。

(4)加筋截面的高度相對截面寬度對圓柱殼剛度更為敏感，低溫環境下0.4≤ak≤1.3時能提高圓柱殼模態頻率；但在高溫環境下，溫度梯度對圓柱殼剛度的貢獻大于截面寬度對剛度的貢獻，設計中應充分考慮溫度梯度的影響，此時應從增大截面高度的角度提高圓柱殼的模態，避免圓柱殼在高環向波數下發生共振。