多策略融合算術優(yōu)化算法及其工程優(yōu)化

摘 要：針對算術優(yōu)化算法（AOA）在搜索過程中容易陷入局部極值點、收斂速度慢以及求解精度低等缺陷，提出一種多策略集成的算術優(yōu)化算法（MFAOA）。首先，采用Sobol序列初始化AOA種群，增加初始個體的多樣性，為算法全局尋優(yōu)奠定基礎；然后，重構數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)（MOA），權衡全局搜索與局部開發(fā)過程的比重；最后，利用混沌精英突變策略，改善算法過于依賴當前最優(yōu)解的問題，增強算法跳出局部極值的能力。選用12個基準函數(shù)和部分CEC2014測試函數(shù)進行實驗仿真，結果表明MFAOA在求解精度和收斂速度上均有明顯的提升；另外，通過對兩個工程實例進行優(yōu)化，驗證了MFAOA在工程優(yōu)化問題上的可行性。

關鍵詞：算術優(yōu)化算法； Sobol序列； 數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)； 混沌精英突變； 工程優(yōu)化

中圖分類號：TP18 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）03-019-0758-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.09.0358

基金項目：貴州省科技計劃項目重大專項項目（黔科合重大專項字[2018]3002，黔科合重大專項字[2016]3022）；貴州省公共大數(shù)據(jù)重點實驗室開放課題（2017BDKFJJ004）；貴州省教育廳青年科技人才成長項目（黔科合KY字[2016]124）

作者簡介：蘭周新（1998-），男，碩士研究生，主要研究方向為機器學習（lzxc511@163.com）；何慶（1982-），男（通信作者），副教授，博士，主要研究方向為智能算法、大數(shù)據(jù)應用.

Multi-strategy fusion arithmetic optimization algorithm and its application of project optimization

Lan Zhouxin^a，b， He Qing^a，b?

（a.College of Big Data amp; Information Engineering， b.Guizhou Provincial Key Laboratory of Public Big Data， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of arithmetic optimization algorithm （AOA） in the search process， such as local extreme points， slow convergence speed and low solution accuracy， this paper proposed a multi-strategy fusion arithmetic optimization algorithm （MFAOA）. Firstly， the algorithm used the Sobol sequence to initialize the AOA population， which increased the diversity of the initial individuals and laid the foundation for the global optimization of the algorithm. Then， it reconstructed the mathematical optimizer acceleration function （MOA） to weigh the proportion of the global search and the local development process. Finally， it used the chaotic elite mutation strategy to improve the algorithm’s over-dependence on the current optimal solution and enhanced the algorithm’s ability to jump out of the local extremum. The paper used 12 general benchmark functions and part of CEC2014 test functions for experimental simulation， and the results show that MFAOA has a significant improvement in solution accuracy and convergence speed. Besides， the algorithm introduced two engineering examples for optimization， which verifies the feasibility of MFAOA in engineering optimization problems.

Key words：arithmetic optimization algorithm; Sobol sequence; math optimizer accelerated; chaos elite mutation; enginee-ring optimization

0 引言

隨著社會的發(fā)展和科技的不斷更新，各領域中的工程優(yōu)化問題日益復雜化，傳統(tǒng)的計算方法難以滿足實際問題的需求^[1]。因此，眾多學者通過觀察自然界中生物的社會行為或物理現(xiàn)象設計出許多元啟發(fā)式算法，其中常見的元啟發(fā)式算法有粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）^[2]算法、黑猩猩優(yōu)化算法（chimp optimization algorithm，ChOA）^[3]、蜉蝣算法（mayfly algorithm，MA）^[4]，正余弦優(yōu)化算法（sine cosine algorithm，SCA）^[5]、樽海鞘群優(yōu)化算法（salp swarm algorithm，SSA）^[6]等。元啟發(fā)式算法因其概念簡單、穩(wěn)定性強、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，已逐漸應用于無人機航跡規(guī)劃^[7]、WSN路徑尋優(yōu)問題^[8]、電力系統(tǒng)控制^[9]等其他工程設計問題。

算術優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）是2021年由Abualigah等人^[10]提出的一種新型元啟發(fā)式算法，其靈感來源于數(shù)理知識中的四則混合運算。該算法利用算術中的乘除運算擴大算法全局搜索的分散性，利用加減運算提高算法局部搜索的精確性。由于該算法具有一定的求解精度和較好的穩(wěn)定性，已成功應用于實際工程優(yōu)化問題中。例如文獻[11]提出了一種改進的算術優(yōu)化算法，利用差分進化技術增強AOA的局部開發(fā)能力，并將其應用于多級閾值分割問題；文獻[12]提出了一種基于正弦混沌和高斯變異的算術優(yōu)化算法，提高了質子交換膜燃料電池模型識別的準確性；文獻[13]提出了一種求解多目標約束問題的算術優(yōu)化算法，利用精英非優(yōu)勢排序和擁擠距離機制提高AOA求解多目標優(yōu)化問題的能力；文獻[14]提出了一種二進制算術優(yōu)化算法，提高了骨肉瘤自動檢測的準確率。

上述文獻對算術優(yōu)化算法的改進在一定程度上提高了算法的尋優(yōu)能力和適用性，但算術優(yōu)化算法總體上仍存在求解精度低、收斂速度慢等缺點。因此，為進一步提高算術優(yōu)化算法的性能，本文提出了一種多策略集成的算術優(yōu)化算法（multi-strategy fusion arithmetic optimization algorithm， MFAOA）。該算法首先利用Sobol序列初始化種群，使得初始個體盡可能分布均勻，然后引入自適應數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)（MOA），權衡全局搜索與局部開發(fā)過程的比重，使得算法在迭代前期能夠充分地進行全局搜索，后期加快局部開發(fā)，最后利用混沌精英突變策略，改善算法過于依賴最優(yōu)解的問題，增強算法跳出局部極值的能力。通過對12個基準函數(shù)和部分CEC2014測試函數(shù)進行實驗仿真，并將其應用到拉壓彈簧設計問題和壓力容器設計問題，驗證了該算法的可行性和有效性。

1 算術優(yōu)化算法

算術優(yōu)化算法是由算術中的四則運算法則來實現(xiàn)全局尋優(yōu)，通過數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)選擇優(yōu)化策略，即乘法和除法進行全局搜索，加法和減法進行局部開發(fā)，具體實現(xiàn)原理介紹如下。

1.1 初始化

在AOA中，定義個體的位置矢量X用于在d維空間中搜索。算術優(yōu)化算法中位置向量X由維度為d的N個個體組成。因此，種群向量由N×d維矩陣構成，數(shù)學模型如式（1）所示。

在AOA開始迭代尋優(yōu)之前需要選擇搜索階段（即勘探或開發(fā)），取隨機數(shù)r₁∈[0，1]，將r₁與數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)（MOA）進行對比，如果r₁lt;MOA，則進行勘探階段，否則算法進行開發(fā)階段。MOA數(shù)學模型如式（2）所示。

其中：t為當前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)；Min與Max分別是數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)的最小值和最大值，分別取值為0.2和1。

1.2 勘探階段

AOA通過乘法運算和除法運算來探索整個搜索空間，尋找較優(yōu)位置，如果隨機數(shù)r₂≤0.5，執(zhí)行除法運算策略，否則執(zhí)行乘法運算策略，其位置更新數(shù)學模型如式（3）所示。

其中：x^jbest表示當前迭代最優(yōu)解的第j個位置;隨機數(shù)r₂∈[0，1];ε為極小值，其作用是防止分母為0;μ是一個用于調整搜索過程的控制參數(shù)，取值為0.499;UBj和LBj分別表示第j個位置的上下界;MOP為數(shù)學優(yōu)化器概率，其數(shù)學模型如式（5）所示。

其中：α為敏感參數(shù)，定義探勘精度，取值為5。

1.3 開發(fā)階段

在AOA中，當MOAlt;r₁時，AOA通過隨機選擇加法運算或減法運算來執(zhí)行開發(fā)階段，其位置更新數(shù)學模型如式（6）所示。

其中：x^jbest表示當前迭代最優(yōu)解的第j個位置，隨機數(shù)r₃∈[0，1];wj數(shù)學模型如式（4）所示。

2 MFAOA

2.1 Sobol序列初始化

種群初始狀態(tài)的微小變化會在一定程度上影響算法的收斂速度和尋優(yōu)精度^[15]。標準的AOA初始種群是隨機生成的，這種方法無法保證初始個體均勻地分布整個搜索空間。本文采用的Sobol序列具有較好的遍歷性和不重復性，在取樣點個數(shù)相等的條件下，Sobol序列分布比其他方法選取點的分布更均勻。設最優(yōu)解的上下界為[UB，LB]，由Sobol序列產(chǎn)生的隨機數(shù)為Si∈[0，1]，則Sobol序列初始化種群數(shù)學模型如式（7）所示。

設搜索空間為2維，上下界分別為1和0，種群規(guī)模為100，將Sobol序列初始化種群分布與隨機初始化種群分布進行比較，如圖1所示。

從圖1（a）（b）中可以看出，Sobol序列初始化種群分布比隨機初始化種群分布更加均勻，且沒有出現(xiàn)個體重疊現(xiàn)象，由此可知采用Sobol序列產(chǎn)生的種群質量更高，算法多樣性更好。

2.2 數(shù)學優(yōu)化器加速函數(shù)MOA的改進

在AOA中，數(shù)學優(yōu)化加速函數(shù)MOA是協(xié)調全局搜索和局部開發(fā)的關鍵。由式（2）可知，MOA是隨著迭代次數(shù)從0.2線性遞增到1，在搜索過程中難以擬合算法優(yōu)化的實際情況，即在迭代前期MOA是從0.2開始線性遞增，導致AOA不能探索更多的搜索空間，從而使算法全局探索能力不足；在迭代后期MOA取值較大，導致算法局部開發(fā)受限，收斂速度慢。為解決這一問題，本文對MOA進行了重構，其數(shù)學模型如式（8）所示。

其中：Min、Max分別是加速函數(shù)的最小值和最大值，取值與標準的AOA一樣;t為當前迭代次數(shù);Tmax為最大迭代次數(shù)。

圖2為原始MOA與改進后MOA的對比圖，實線為標準AOA的MOA，虛線為改進的MOA。從圖中可以看出，本文改進的MOA在算法迭代初期保持較大值，使算法充分地進行全局搜索；在迭代后期，MOA迅速下降到較小值，增加了算法的局部開發(fā)概率，提高了算法的收斂速度。

2.3 混沌精英突變策略

由式（3）和（6）可知，在標準的AOA中，種群的位置更新主要依靠當前最優(yōu)解引導，雖然有利于候選解快速向最優(yōu)解區(qū)域靠近，但是當最優(yōu)解陷入局部極值時，其他候選解也可能陷入局部極值，從而導致種群出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，這也是標準AOA求解精度不高的主要原因之一。為了改善算法過于依賴最優(yōu)解的問題，提高算法的求解精度，本文考慮到混沌序列的隨機性、遍歷性和規(guī)律性的特點^[16]，對最優(yōu)解進行混沌精英突變，具體實現(xiàn)過程如下：

a）按照式（9）將最優(yōu)解位置向量逐維由解空間映射到[-1，1]區(qū)間，得到混沌變量（t），其數(shù)學模型如式（9）所示。

b）利用式（10）對（t）進行circle混沌迭代，得到混沌序列，其數(shù)學模型如式（10）所示。

c）利用混沌序列（t）對最優(yōu)解進行精英突變，其數(shù)學模型如式（11）所示。

其中：λ為收縮因子，其他變量同上。

d）將進化得到的變量x^*與最優(yōu)解進行適應度值對比，如果進化后的個體適應度值小于最優(yōu)解的適應度值，則表明精英個體進化成功，并更新當前最優(yōu)個體位置。

2.4 MFAOA實現(xiàn)步驟

綜合上述改進方法，本文所改進的AOA流程如圖3所示。

2.5 改進算法時間復雜度分析

時間復雜度反映了算法的執(zhí)行效率。在AOA中，假設種群規(guī)模為N，搜索空間維度為d，則標準AOA的時間復雜度由參數(shù)初始化時間O（t）、計算函數(shù)適應度時間O（N）、迭代過程中種群復雜度O（Nd）構成，因此標準AOA總的時間復雜度為

在改進的MFAOA中，參數(shù)初始化時間同標準的AOA一樣，在AOA的基礎上將隨機初始化替換為Sobol序列初始化時間為O（Nd），更新函數(shù)MOA時間為O（l），執(zhí)行混沌精英突變策略時間為O（Nd），因此MFAOA總的時間復雜度為

基于上述分析，本文所提MFAOA和標準AOA的時間復雜度屬于同一數(shù)量級，說明MFAOA并沒有增加時間復雜度。

3 實驗仿真及結果分析

3.1 實驗環(huán)境和參數(shù)

實驗運行環(huán)境為64位Windows 7操作系統(tǒng)，CPU為Intel Core i5-7200U，主頻為2.6 GHz，內存為4 GB，算法基于MATLAB R2016a編寫。為充分驗證本文MFAOA的有效性，采用12個具有不同特征的測試函數(shù)，如表1所示，其中：F₁～F₅為高維單峰測試函數(shù);F₆～F₉為高維多峰測試函數(shù);F₁₀～F₁₂為固定低維測試函數(shù)。為確保算法對比的公平性，所有算法的種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)Tmax=500，測試函數(shù)維數(shù)30/100/200。各算法的參數(shù)設置如表2所示。

3.2 在基準測試函數(shù)上的算法性能對比分析

利用MFAOA對上述12個基準測試函數(shù)進行優(yōu)化求解，除固定低維函數(shù)外，其他9個函數(shù)的維數(shù)分別設置為30維、100維、500維，并與標準的ChOA、SCA、SSA、MA進行對比，通過統(tǒng)計六種算法的平均值和標準差來判斷算法尋優(yōu)的性能，其中平均值反映算法的收斂速度，標準差反映算法的穩(wěn)定性。對于測試函數(shù)，六種算法均獨立運行30次，記錄其平均值和標準差，結果如表3和4所示，表中黑色粗體為對比算法中最好的結果。

由表3和4可知，函數(shù)維度設為30維、100維和500維時，本文所提MFAOA均得到了較好的尋優(yōu)結果，尤其是函數(shù)F₁、F₃、F₆、F₈和F₉，MFAOA均能收斂到理論最優(yōu)值，對于函數(shù)F₁₀、F₁₁和F₁₂，MFAOA能夠收斂到理論最優(yōu)值附近。當函數(shù)維度上升到100維和500維時，其他五種算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性均有不同程度的下降。這是由于隨著函數(shù)維度的上升，求解函數(shù)的復雜度也在隨之增加，求解的過程更加復雜，但MFAOA的平均值和標準差仍然是三種算法中最好的，說明了MFAOA在高維優(yōu)化問題方面仍具有強的魯棒性。

為更加直觀地反映MFAOA的性能，圖4給出了六種算法在部分基準函數(shù)維度為30維的平均收斂曲線圖，圖中橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示函數(shù)平均最優(yōu)值的對數(shù)值。從單峰函數(shù)F₁和F₂的收斂曲線可以得知，MFAOA的收斂精度要明顯高于其他算法，這表明加入了混沌精英突變策略后，解決了標準AOA在位置更新處過于依賴最優(yōu)的問題，提高了算法的開發(fā)能力。從多峰函數(shù)F₇和F₉的收斂曲線可以看出，MFAOA的收斂速度較快，說明了加入Sobol序列初始化策略后，增加了種群的多樣性，提高了算法的收斂速度。從固定低維函數(shù)F₁₀和F₁₁的收斂曲線可以看出，MFAOA的停止次數(shù)明顯少于其他算法，即使短暫陷入局部極值，也能很快地跳出局部極值，并且快速收斂到全局最優(yōu)，表明了重構的MOA函數(shù)能更有效地平衡全局搜索和局部開發(fā)。綜上所述，MFAOA對比其他算法具有更高的求解精度和收斂速度，驗證了本文算法的有效性和優(yōu)越性。

3.3 算法改進策略有效性分析

為了分析不同改進策略的有效性以及對MFAOA的尋優(yōu)性能影響，將MFAOA與僅采用了Sobol序列初始化策略的算術優(yōu)化算法（AOA-1）、僅采用非線性遞減MOA函數(shù)的算術優(yōu)化算法（AOA-2）、僅采用混沌精英突變策略的算術優(yōu)化算法（AOA-3）對比，四種算法的參數(shù)設置與3.2相節(jié)同。表5給出了四種算法在30維的尋優(yōu)性能比較結果。

由表5可知，僅采用Sobol序列初始化策略（AOA-1）對AOA算法性能的改進有限，而采用了非線性遞減MOA函數(shù)（AOA-2）和混沌精英突變策略（AOA-3）對AOA性能有較大改善，從而說明了重構的MOA函數(shù)和混沌精英突變對AOA的尋優(yōu)性能有較大影響。但總體上講，融合了三種策略的MFAOA的總體尋優(yōu)能力要優(yōu)于僅采用一種策略的算法，進一步說明了MFAOA具有較強的尋優(yōu)能力。

3.4 在CEC2014基準函數(shù)上進行測試

為了更好地驗證MFAOA的有效性和魯棒性，本文采用CEC2014^[17]測試函數(shù)來進一步驗證改進算法性能，在CEC2014測試函數(shù)上選取部分單峰（UN）、多峰（MF）、混合（HF）和復合（CF）類型的函數(shù)進行優(yōu)化求解，對選取部分函數(shù)的特征如表6所示。本文將MFAOA與標準的AOA、ChOA、SSA、SCA、MA進行尋優(yōu)對比。實驗參數(shù)取種群規(guī)模為N=30，最大迭代次數(shù)設為Tmax=1 000，搜索空間維度為d=30，六種算法均獨立運行30次，記錄其平均值和標準差，結果如表7所示，其中黑色粗體為比較算法中最好的結果。

由表7可知，MFAOA在單峰、多峰和復合類型的CEC2014測試函數(shù)尋優(yōu)上表現(xiàn)優(yōu)越，相較于其他五種算法，MFAOA具有較大的優(yōu)勢。對于混合型函數(shù)CEC19，雖然MFAOA的平均值 略差于SSA，但標準差是六種算法中最好的，說明MFAOA的穩(wěn)定性更好。總體上講，MFAOA在對于復雜特征函數(shù)的優(yōu)化上同樣具有很好的魯棒性。

4 MFAOA工程應用及結果分析

4.1 壓力容器設計問題

壓力容器結構設計如圖5所示，其目的是使焊接、材料、鑄造等各項費用總和最小化。該問題共包含了四個決策變量和四個約束條件，其中決策變量分別是殼體厚度Ts（x₁）、封頭厚度Th（x₂）、殼體半徑R（x₃）以及圓柱形截面長度Ls（x₄），其數(shù)學模型為

分別利用MFAOA和標準的AOA、SSA、MA、ChOA、SCA對該問題進行求解，并將六種算法的求解結果與協(xié)同進化差分進化算法（CDE）^[18]、基于共同進化的粒子群算法（CPSO）^[19]的求解結果進行比較，其結果如表8所示。從表8可以看出，MFAOA對壓力容器設計問題的優(yōu)化效果要優(yōu)于其他七種算法。

4.2 拉壓彈簧設計問題

拉壓彈簧的結構設計如圖6所示，其目的是在剪切力、撓曲度、波動頻率等約束條件下使其質量最小化。該問題共包含了三個決策變量和四個約束條件，其中決策變量分別是線圈直徑d（x₁）、平均線圈直徑D（x₂）、繞線圈數(shù)N（x₃），其數(shù)學模型如下：

在此工程優(yōu)化問題上，同樣分別利用MFAOA和標準的AOA、SSA、MA、ChOA、SCA對該問題進行求解，并將六種算法的求解結果與CDE、CPSO的求解結果進行比較，其結果如表9所示。從表9可以看出，MFAOA對拉壓彈簧設計問題的優(yōu)化效果要優(yōu)于其他七種算法。

綜上所述，通過對壓力容器和拉壓彈簧設計問題的實例測試，本文算法獲得了較好的優(yōu)化效果，進一步驗證了MFAOA在實際工程領域的應用是可行和有效的，且表現(xiàn)出了較好的尋優(yōu)能力。

5 結束語

為改善標準AOA求解精度低、收斂速度慢、易陷入局部極值點的缺陷，本文提出了多策略集成的算術優(yōu)化算法（MFAOA）。本文所做工作主要包括以下五點：

a）通過Sobol序列替代標準AOA隨機初始化策略，使種群更均勻地分布整個搜索空間，為算法的全局搜索奠定基礎。

b）通過重構標準AOA中的數(shù)學優(yōu)化加速函數(shù)MOA，更好地權衡全局搜索和局部開發(fā)的比重。

c）通過混沌精英突變策略對最優(yōu)解進行突變，有效地改善標準AOA過于依賴最優(yōu)解導致算法收斂精度不高的問題。

d）選取12個標準測試函數(shù)和部分CEC2014測試函數(shù)進行實驗仿真，并將MFAOA與其他元啟發(fā)式算法進行比較，結果表明本文改進的算法具有較好的尋優(yōu)性能。

e）通過對壓力容器、拉壓彈簧兩個工程實例的求解結果對比，驗證了MFAOA在處理不同類型工程優(yōu)化設計問題具有很好的適用性，為解決工程設計優(yōu)化問題增添了一條新途徑。

下一步的工作將是研究如何運用MFAOA解決其他領域的工程優(yōu)化問題。

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