混沌系統參數擾動方案及分析

摘 要： "對混沌系統施以擾動可以有效解決由于計算機有限精度效應導致的混沌系統動力學特性退化問題。基于區間映射中Cantor集的構造方法，提出一種數字混沌系統參數擾動方案，該方案將混沌系統每次迭代后得到的序列值等比例地擴散到壓縮后的混沌狀態參數取值區間上，從而達到擾動混沌序列的目的。實驗仿真及分析表明，增加擾動后的混沌系統具有更好的混沌特性、更大的參數范圍和更高的復雜度。

關鍵詞： "區間映射； 混沌系統； 擾動； 壓縮

中圖分類號： "TP309 """文獻標志碼： A

文章編號： "1001-3695（2022）02-042-0567-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.07.0278

Chaotic system parameter perturbation scheme and its performance analysis

Chang Jinghui， Zhang Xuefeng

（School of Cyberspace Security， Xi’an University of Posts amp; Telecommunications， Xi’an 710121， China）

Abstract： "Perturbation of chaotic system can effectively solve the degradation of chaotic system dynamic characteristics caused by computer finite precision effect.This paper proposed parameter perturbation scheme for digital chaotic system based on the construction method of Cantor set in interval mapping.This scheme spread the sequence values obtained from each iteration of chaotic system proportionally to the compressed interval of chaotic state parameters，so as to achieve the purpose of disturbing chaotic sequence.The experimental simulation and analysis show that the chaotic system with disturbance has better chaotic characteristics，larger parameter range and higher complexity.

Key words： "interval mapping； chaotic system； perturbation； compression

0 引言

混沌是非線性動力學系統所特有的一種運動形式，它廣泛地存在于自然界中，物理［1，2］、化學［3，4］、生物學［5～7］等相關科學領域都對其有深入的研究和分析。混沌理論是研究復雜動力學系統的理論，由于混沌系統具有初值敏感性、遍歷性、長期不可預測性和偽隨機性等特性，使得混沌系統的動力學特征極其復雜。混沌系統的特性與密碼學中混淆與擴散性能要求具有相似性，啟示人們把混沌理論應用于密碼學領域。在密碼學中，加密算法或密碼體制的安全性問題始終是密碼學需要解決的主要問題。在基于混沌的密碼理論中，數字混沌系統是密碼學中擴散和混淆的主要來源。因此，混沌系統性能改善對整個基于混沌的密碼算法安全性等性能改進意義重大。經典混沌系統，如Logistic混沌映射、Sine混沌映射等，由于結構簡單、計算高效，已經被廣泛應用于圖像加密、數字水印等領域［8～10］，但其在應用中仍存在一些問題。首先，這類混沌系統的系統參數取值范圍較小，使得相應的加密算法密鑰參數的取值范圍較小，降低了加密算法的安全性；其次，這類混沌系統對計算機有限精度效應十分敏感，應用計算機進行迭代計算時，生成的序列將在很短的周期內退化為周期序列，實用性較差［11］。因為在經典混沌理論中，混沌動力學系統定義在連續域上，而應用計算機等數字設備實現混沌系統時，需要對混沌系統數字化，由于數字設備均存在有限精度效應，將不可避免地導致混沌系統的動力學特性退化（產生短周期效應、嚴重不平衡的分布函數、較低的線性復雜度、非遍歷性和強相關性）［12］。

為了解決上述問題，人們提出了一些方法來防止數字混沌系統的動力學特性退化，增強系統的混沌特性，解決方案主要包括三類：a）使用高有限精度［13］，這可以隨著迭代次數的逐漸增加而減緩退化速度，但退化仍然存在，并不能從根本上解決混沌系統退化問題，且實現成本較高；b）設計組合混沌系統［14～16］，這類方法能有效延長混沌系統的軌道周期，但生成的混沌序列分布情況并不理想；c）對混沌系統施以擾動［17～20］，這類方法可以有效改善數字混沌系統的動力學特性，實際應用過程表明，對混沌系統施以擾動是目前所知最簡單有效的一種方式。

Wheeler等人［13］提出了一種通過提高精度來延長數字混沌周期的方法，估計的平均周期可以通過公式 Tε-D/2 來計算，其中 ε 是比特精度， D 是混沌映射的相關維數。Hu等人［14］提出了一種基于某個單位變換的組合混沌系統，并給出了選擇合適的單位變換函數來增強生成映射的混沌行為的具體策略，該框架可以將任意兩個一維混沌映射組合起來生成一個在密碼學中性能更好的混沌系統。Alawida等人［16］提出使用級聯和組合的方法生成一個非線性組合混沌系統框架，該混合混沌系統增強了混沌系統的動態行為，降低了動態退化的速度。周紅等人［17］提出了一種用 m 序列的擾動來實現有限精度混沌系統的方法，但輸出序列的特性往往與 m 序列相關。Cao等人［19］提出了一種基于Lyapunov指數的帳篷映射參數擾動方法，帳篷映射生成的偽隨機序列被發送到另一個混沌映射——Chebyshev映射進行后處理，如果Chebyshev映射的輸出值落在一定范圍內，就會被送回來替換帳篷映射的參數，從而使帳篷映射的參數會不斷動態變化，達到擾動帳篷映射參數的目的。Liu等人［20］提出了一種新的雙微擾法來減小數字貝克地圖的動態退化，此擾動方法使得狀態變量和系統參數都受到數字混沌映射的干擾。

以上防止混沌系統動態退化的方法大多需要外部熵源，該外部熵源往往是 m 序列或其他的數字混沌系統，如果使用 m 序列作為外部熵源，容易使得輸出序列的特性與 m 序列相關；如果利用數字混沌系統來作為外部熵源，其一般會導致不均勻的分布。與以上方法不同，本文根據區間映射中Cantor集的構造方法［21，22］提出了一種對混沌系統迭代計算得到的序列值進行擾動的方案，防止混沌系統的動力學特性退化，提高混沌系統的混沌特性，進一步采用取模運算將混沌系統的系統參數范圍擴大至（-∞，+∞）。本文方案不依賴任何的外部熵源，且增加了兩個系統參數，在基于混沌的加密算法中，若將混沌系統原始的系統參數和本文方案中的系統參數共同作為密鑰傳輸，則加密算法的安全性將有所增強。本文所提出的取模運算和擾動算法不局限于某一類混沌系統，適用于所有采用迭代結構表述的混沌系統。為了驗證所提取模運算和擾動算法在改善混沌系統混沌特性方面的有效性，本文以經典Logistic混沌映射為例，將增加擾動的Logistic混沌映射與經典Logistic混沌映射，以及Tent-Logistic[23]組合混沌映射的性能進行比較。實驗結果表明，增加擾動的Logistic混沌映射具有更好的混沌特性、更大的參數范圍和更高的復雜度。

1 算法原理

有效的擾動方案能夠改善由于計算機有限精度效應造成的數字混沌系統動力學特性退化現象。本文提出了一種對混沌系統迭代計算得到的序列值進行擾動的方案。

設混沌系統由 x n+1=F（x n） 定義，其中變量 x 的取值范圍記為 I ，其長度記為 z 。本文提出的混沌系統參數擾動方案的具體過程如下：

a）初始輸入 x 0 經過數字混沌系統 x n+1=F（x n） 的一次迭代得到變量 x i 。

b）對迭代后得到的變量 x i 進行取模運算，取模運算函數表示為

x′ i =mod （x i，z） ""（1）

c）對取模運算得到的變量 x′ i 按照以下規則進行擾動，該擾動過程分為兩步：

（a）將混沌狀態參數取值區間 I分為k 個等長片段 I 1，I 2，…，I j，…，I k，其中k∈（2，+∞），k 為實數。設經過一次迭代和取模運算后，變量的取值落在第 j個片段，即x′ i∈I j，則取x′ i與片段I j的左端點長度與I j的長度之比作為當前混沌狀態參數取值區間的擴散系數e，即e=（x′ i-j× z k ）/ z k "。

（b）設壓縮系數 v∈[0.5，1] ，則：

當mod（floor （x′ i×100），3）=0 時，將混沌狀態參數取值區間 I 左端點固定不變，讓區間 I 均勻向左壓縮，壓縮系數為 v 。壓縮后得到新的區間記為 I′ 1 ，區間長度為 z×v ，將變量 x′ i 在新的區間 I′ 1 根據擴散系數 e 進行擴散，得到擾動后的變量 x″ i=z×v×e 。

當mod（floor （x′ i×100），3）=1時，將混沌狀態參數取值區間I的中點固定不變，讓區間I均勻向中間壓縮，壓縮系數為v。壓縮后得到新的區間記為I′ 2，區間長度為z×v，將變量x′ i在新的區間I′ 2根據擴散系數e進行擴散，得到擾動后的變量x″ i=（z-z×v）/2+z×v×e 。

當mod（floor（ x′ i×100），3）=2時，將混沌狀態參數取值區間I右端點固定不變，讓區間I均勻向右壓縮，壓縮系數為v。壓縮后得到新的區間記為I′ 3，區間長度為z×v，將變量x′ i在新的區間I′ 3根據擴散系數e進行擴散，得到擾動后的變量x″ i=z-z×v+z×v×e 。

上述擾動函數可以表示為

f（x′ i）= "z×v×e "mod（floor（ x′ i×100），3）=0

（z-z×v）/2+z×v×e "mod（floor （x′ i×100），3）=1

z-z×v+z×v×e "mod（floor（ x′ i×100），3）=2 """"（2）

d）將擾動后得到的計算結果 f（x′ i） 作為本次迭代的輸出，并作為下一次迭代計算的輸入，重復步驟a）～d），直至迭代計算過程完成。

通過上述過程，將經過數字混沌系統一次迭代后的變量 x i 進行取模運算得到 x′ i ，然后將 x′ i 等比例地擴散到壓縮后的混沌狀態參數取值區間上，達到了擾動混沌序列的目的。以上擾動方案的基本流程如圖1所示。

對定義的混沌系統 x n+1=F（x n） 按上述算法步驟進行改進，則增加擾動后的混沌系統的迭代函數，表示為

x n+1=f （mod （F（x n），z）） ""（3）

式（3）表示的迭代函數的具體表達式如式（4）所示。

x n+1= "z×v×（ mod（ F（x n），z）-j× z k ）/ z k ""mod（floor（mod（ F（x n），z）×100），3）=0

（z-z×v）/2+z×v×（ mod （F（x n），z）-j× z k ）/ z k ""mod（floor（mod（ F（x n），z）×100），3）=1

z-z×v+z×v× （mod （F（x n），z）-j× z k ）/ z k ""mod（floor（mod（ F（x n），z）×100），3）=2 """""（4）

本文擾動方案對混沌系統每次迭代后的值先進行取模運算，再通過擾動來改變系統狀態，將其作用于下一次迭代的初始狀態，實現了擾動混沌序列的目的。其中取模運算可以保證無論系統參數取何值，都可以將迭代后得到的序列值通過與混沌狀態參數取值區間長度的取模運算重新映射到原取值區間內，而擾動過程則只需對原取值區間進行擾動即可，兩個過程相結合能夠顯著地擴大混沌系統的參數范圍，并增強混沌特性。

本文所提出方案具有以下優點：

a）能夠有效改善由于有限精度效應導致的混沌系統性能退化現象;

b）擾動增加了兩個系統參數，擴大了混沌系統的參數取值范圍;

c）擾動過程沒有引入任何外部系統，是對原有系統迭代計算的改進;

d）適用于所有采用迭代計算表述的混沌系統。

2 實驗仿真與分析

本文所提取模運算和擾動算法適用于所有迭代運算表述的混沌系統。接下來，本文以經典的一維Logistic混沌映射作為示例，對增加擾動的Logistic混沌映射、經典的Logistic混沌映射以及Tent-Logistic組合混沌映射進行對比實驗與分析，驗證本文方案的有效性。

Logistic混沌映射由于其結構簡單、計算成本低而被廣泛應用。然而，導致Logistic混沌映射混沌行為的 μ 值范圍很小。如果 μ 可以被識別，任何使用Logistic映射作為其核心密碼構建模塊的算法都是不安全的。Logistic映射定義為

x n+1=μx n（1-x n） ""（5）

其中： x n∈[0，1]是n 次迭代后的狀態變量； μ∈[0，4] 是系統參數。當 μ∈（3.569 9，…，4] 時，Logistic映射處于混沌狀態。結合第1章所提方案，以Logistic映射為例，該混沌系統變量的取值為 I=[0，1] ，其長度為 z=1 。

對Logistic混沌映射先進行取模運算，再增加本文擾動算法，則增加擾動的Logistic混沌映射定義為

x n+1=f （mod （μx n（1-x n），1）） ""（6）

其中： x n∈[0，1]，{μ∈（-∞，+∞）|μ≠0} 。接下來對增加擾動的Logistic映射的相關性能進行分析。

2.1 Lyapunov指數

混沌系統 x n+1=F（x n） （其中 F（x） 是可微的）的Lyapunov指數定義為

λ F= lim "n→∞ "1 n ∑ n-1 i=0 "ln |F′（x i）| ""（7）

Lyapunov指數小于 0 意味著經過混沌映射的迭代運算，相鄰點最終要靠攏合并成一點，這時混沌系統對應穩定的不動點和周期運動；Lyapunov指數大于 0 意味著相鄰點經過混沌映射的迭代計算最終要分離，此時混沌系統對應的軌跡產生局部不穩定。Lyapunov指數大于 0 可以作為判斷序列是否為混沌序列的一個依據。本文中 F（x） 指增加擾動的Logistic混沌映射，即 F（x）=f（x） ，則 f（x） 的求導過程如下：

分段函數 f（x） 表示為

f（x）=

v×（x-j× 1 k ）/ 1 k ""mod（floor（ x×100），3）=0

（1-1×v）/2+v×（x-j× 1 k ）/ 1 k ""mod（floor （x×100），3）=1

1-1×v+v×（x-j× 1 k ）/ 1 k ""mod（floor （x×100），3）=2 """""（8）

則對其求導得

f′（x）= "k×v "mod（floor （x×100），3）=0

k×v "mod（floor （x×100），3）=1

k×v "mod（floor（ x×100），3）=2 """"（9）

其中： k∈（2，+∞），v∈[0.5，1] ，則 k×v∈（1，+∞） 。因此Lyapunov指數與 k和v 的取值成正比且恒大于 0 。增加擾動的Logistic混沌映射在 k∈（2，+∞），v∈[0.5，1] 時，處于穩定的混沌狀態，而與系統參數 μ 的取值無關。Lyapunov指數的計算結果表明，增加擾動的Logistic映射在 {μ∈（-∞，+∞）|μ≠0} 時，系統均處于穩定的混沌狀態。

2.2 分岔圖

分岔圖可以用來在視覺上區分混沌和非混沌區域。圖2為將經典的Logistic混沌映射和對Logistic混沌映射施以本文擾動方案的分岔圖實驗結果。由實驗結果可知，經典的Logistic混沌映射在 μ∈（3.5699…，4] 時具備混沌特性，出現混沌行為的系統參數取值范圍較小。增加擾動的Logistic混沌映射實驗中在 {μ∈（-10，10）|μ≠0} 均處于穩定的混沌狀態，具有更大的混沌范圍，本文方案成功地擴大了混沌系統參數的取值范圍。

2.3 序列分布情況

圖3給出了兩種映射生成序列的分布情況，擾動過程中參數 k=100，v=0.854 ，生成序列長度為10 000。

實驗結果表明，Logistic混沌映射生成的序列在0和1附近的取值頻率較高，而增加擾動的Logistic混沌映射生成的序列在[0，1]上更接近均勻分布。

2.4 隨機性分布

圖4給出Logistic混沌映射和增加擾動的Logistic混沌映射分布情況的實驗結果。其中混沌系統的初始條件為 x=0.65 ，生成序列長度為2 000，擾動過程中參數 k=100，v=0.854 。

實驗結果表明，當 μ=4 時，兩種映射產生的混沌序列在[0，1]上滿足近似隨機分布，當 μ=3.7 時，兩種映射產生的混沌序列雖然仍具備隨機分布的特點，但Logistic混沌映射生成的序列分布在[0，1]的一個帶狀區域，而增加擾動的Logistic混沌映射生成的序列在[0，1]上仍具備隨機分布的特點。當 μ=2 時，Logistic混沌映射在[0，1]上的取值是一個常數，而增加擾動的Logistic混沌映射生成的序列在[0，1]上仍具備隨機分布的特點。

2.5 頻數檢驗

對Logistic混沌映射和增加擾動的Logistic混沌映射生成的序列進行頻數檢驗，生成序列長度為10 000，相應的實驗結果如表1所示。

實驗結果表明，增加擾動的Logistic混沌映射生成的序列不僅能夠通過頻數檢驗，而且 χ2 2 的取值與Logistic映射生成序列的 χ2 1 的值屬于同數量級，說明增加擾動的Logistic混沌映射生成序列與Logistic混沌映射生成序列的頻數檢驗結果等效。

2.6 平衡度分析

圖5給出Logistic混沌映射和增加擾動的Logistic混沌映射在不同初始條件下生成序列的平衡度分布情況的實驗結果，其中混沌系統初始條件從0變化到1，產生的序列長度為10 000，擾動過程中參數 k=100，v=0.7 。

實驗結果表明，兩種映射產生的二值序列均具有良好的平衡度，平衡度的計算結果除奇異點外均接近0，說明這兩種映射產生的二值序列的平衡度統計結果良好，而且還表明這兩種映射具有等效的平衡度。

2.7 自相關性分析

設擾動Logistic混沌映射經過迭代計算，得到混沌序列 {a 1，a 2，…，a n|a i∈（0，1），i=1，2，…，n} ，由于混沌映射生成的序列為實值序列，則要先對其進行二值化處理。本文采用一種線性的混沌序列二值化方法，定義相應的二值序列 {b 1，b 2，…，b n} 為

b i= "-1 a ilt;0.5

1 a i≥0.5 """i=1，2，…，n ""（10）

二值序列的長度為 n ，則序列的自相關系數定義為

ac （m）= 1 n ∑ n-m i=1 b ib i+m ""（11）

其中： m 為步長參數。自相關系數的值與步長 m 有關，當步長變化時，如果自相關系數變化越小，說明二值序列的隨機性越好。圖6為Logistic混沌映射和增加擾動的Logistic混沌映射生成序列的自相關性分析。

實驗結果表明，當步長參數 m≠0 時，兩種映射產生的二值序列的自相關系數接近0，說明應用這兩種映射產生的二值序列均具有良好的自相關性。

2.8 初值敏感性分析

初值敏感性分析中，對增加擾動的Logistic混沌系統的初始條件進行微小變化，取初始值 x 0=0.3，x 1=0.300 000 000 000 001 ，生成序列長度為100，擾動過程中參數 k=100，v=0.716 54 ，得到對應不同初始值的混沌軌跡如圖7所示。

由圖7可知，增加擾動的Logistic混沌映射對于初始值10-15的微小變化，混沌軌跡表現出明顯的差異，表明增加擾動的Logistic混沌映射對于初值較為敏感。

2.9 位變化率

接下來統計當混沌系統的初始條件發生微小變化時，經典Logistic混沌映射、增加擾動的Logistic映射以及Tent-Logistic組合混沌映射所生成序列的位變化率的變化情況，表2給出了相應的統計結果。

根據表2結果可知，對于初始條件的微小改變，三種映射生成序列的位變化率均接近50%，說明這三種映射均具有良好的初值敏感性。

2.10 分叉迭代次數

以下給出經典Logistic混沌映射、增加擾動的Logistic混沌映射以及Tent-Logistic組合混沌映射對應不同分叉判定閾值所需要的平均迭代次數，在（0，1）上取10 000個采樣點，計算相鄰點之間產生混沌序列所需的平均分叉迭代次數，擾動過程中參數 k=100，v=0.716 54 ，表3是相應的實驗結果。通過表3的實驗結果可知，當分叉判斷閾值較小時，增加擾動的Logistic混沌映射所需的平均迭代次數小于經典Logistic混沌映射和Tent-Logistic組合混沌系統所需的平均迭代次數，說明增加擾動的Logistic混沌映射的分叉速度較快，從而保證了增加擾動的Logistic混沌映射在加密過程中能夠較快地進入穩定的混沌狀態。

2.11 安全性分析

密鑰空間的大小是衡量一個加密算法安全性的重要指標之一，密鑰空間小的加密算法不能有效地抵擋密鑰窮舉攻擊。在基于本文所增加擾動的混沌系統的加密算法中，若將混沌系統原始的系統參數和本文在擾動過程中增加的兩個系統參數共同作為密鑰，則加密算法的密鑰空間得到有效增大，可以更有效地抵抗密鑰窮舉攻擊，有效增強了加密算法的安全性。與現有的混沌系統相比，本文所提增加擾動的混沌系統的迭代計算過程更為復雜，生成的偽隨機序列在混沌系統狀態參數取值區間上分布更為均勻，且周期更大，具備更好的安全性。

3 結束語

針對現有混沌系統方案的缺點提出了一種對數字混沌系統在其混沌狀態參數取值區間上進行擾動的方案。 與現有的混沌系統相比，擾動后的混沌系統可以有效改善有限精度效應引起的混沌動力學特性退化問題，增加擾動的混沌系統具有更大的參數范圍和更高的復雜度。本文方法不需要任何的外部熵源，且適用于所有采用迭代計算 表示的混沌系統。以Logistic混沌映射為例進行的實驗仿真及分析表明，本文方法能夠產生具有更好密碼學特性的偽隨機序列，具有更好的應用前景。下一步將對混沌系統的迭代過程進行優化，在不降低安全性的前提下提高計算效率。

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