基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法

摘 要： "針對(duì)傳統(tǒng)花朵授粉算法（FPA）在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)搜索精度低和收斂速度慢等問(wèn)題，提出了一種基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法（HSFPA）。采用自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略改進(jìn)轉(zhuǎn)換概率，動(dòng)態(tài)平衡全局授粉和局部授粉之間的關(guān)系；在全局授粉階段，提出一種動(dòng)態(tài)全局搜索策略，既可以加快算法收斂速度，又能增加花粉種群的多樣性，防止花粉陷入局部最優(yōu)；局部搜索增強(qiáng)策略使得花粉能夠充分開(kāi)發(fā)當(dāng)前優(yōu)質(zhì)花粉周?chē)乃阉骺臻g，提高收斂精度；花粉越界修正策略進(jìn)一步加強(qiáng)了算法的探索能力。通過(guò)對(duì)10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行仿真測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，HSFPA算法在搜索速度和尋優(yōu)精度方面具有更好的效果。

關(guān)鍵詞： "群智能算法； 花朵授粉算法； 轉(zhuǎn)換概率； 函數(shù)優(yōu)化； 多策略

中圖分類號(hào)： "TP301 ""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： "1001-3695（2022）02-006-0361-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.08.0311

Flower pollination algorithm based on hybrid strategy

Li Kewen， Liang Yongqi， Li Shaohui

（College of Computer Science amp; Technology， China University of Petroleum， Qingdao Shandong 266580， China）

Abstract： "Aiming at the problems of low search accuracy and slow convergence speed of traditional flower pollination algorithm （FPA） in solving complex problems， this paper proposed an improved flower pollination algorithm based on hybrid stra-tegy （HSFPA）. It adopted an adaptive transition probability strategy to improve the transition probability and dynamically ba-lance the relationship between global pollination and local pollination. In the stage of global pollination， it proposed a dynamic global search strategy， which could not only accelerate the convergence speed of the algorithm， but also increase the diversity of pollen population and prevented pollen from falling into local optimization. The local search enhancement strategy enabled pollen to fully develop the search space around the current high-quality pollen and improved the convergence accuracy. Pollen cross-border correction strategy further strengthened the exploration ability of the algorithm. Through the simulation test of 10 benchmark functions， the experimental results show that the HSFPA algorithm has better effect in search speed and optimization accuracy.

Key words： "swarm intelligence algorithm; flower pollination algorithm; transition probability; function optimization; multi strategy

0 引言

花是地球上最迷人的生物結(jié)構(gòu)之一，開(kāi)花植物的出現(xiàn)是地球發(fā)展史上的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，通過(guò)傳粉來(lái)產(chǎn)生后代是植物進(jìn)化過(guò)程中產(chǎn)生的一種十分精妙的繁殖方式。花朵能夠經(jīng)受自然法則的優(yōu)勝劣汰存活至今，與其能夠產(chǎn)生大量花粉進(jìn)行繁殖密不可分，花朵授粉算法（FPA）就是一種模擬真實(shí)世界中花朵授粉過(guò)程的啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法。最初，Kazemian等人［1］提出了一種新的數(shù)據(jù)聚類算法，用來(lái)模擬蜜蜂對(duì)花朵進(jìn)行授粉的行為，稱為FPAB。之后，為了模擬更廣泛的花朵繁殖過(guò)程的概念，Yang［2］于2012年進(jìn)一步提出了一種模仿現(xiàn)實(shí)花朵授粉行為的優(yōu) 化方法，稱為花朵授粉算法（flower pollination algorithm， FPA）。算法模仿了兩種不同的傳粉過(guò)程，分別為自花傳粉和異花傳粉，前者所有的傳粉行動(dòng)都發(fā)生在花朵自身周?chē)笳叩幕ǚ郾徊糠蛛S機(jī)移動(dòng)到很遠(yuǎn)的地方。花朵授粉算法具有調(diào)節(jié)參數(shù)少、靈活性強(qiáng)、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單易擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)，另外由于其對(duì)現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題的有效適用性而引起了人們的廣泛關(guān)注。FPA在諸多領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用并取得了良好的效果，如經(jīng)濟(jì)調(diào)度［3］、裝配順序優(yōu)化［4］、信號(hào)和圖像處理［5］、背包問(wèn)題［6］、旅行商問(wèn)題［7］、二次分配［8］、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)［9］，以及許多其他問(wèn)題。

花果授粉算法（FPA）在解決常規(guī)問(wèn)題時(shí)可以取得令人滿意的結(jié)果，但是在解決一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)仍然受限于較低的搜索精度和收斂速度。自花朵授粉算法提出以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，形成了許多不同的版本。Draa等人［10］對(duì)相關(guān)論文進(jìn)行了批判性的審查，并集中討論了缺陷，分析了轉(zhuǎn)換概率對(duì)FPA性能的影響。Dubey等人［11］通過(guò)一個(gè)常數(shù)縮放因子而不是一個(gè)隨機(jī)數(shù)來(lái)控制局部授粉，從而增加算法的收斂能力。此外，還增加了一個(gè)開(kāi)發(fā)步驟來(lái)調(diào)整最佳解決方案。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在解決中小尺度和大尺度的問(wèn)題上具有優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于大尺度的問(wèn)題，該算法仍需要改進(jìn)。Abdel-Raouf等人［12］在IFPCH中，根據(jù)所選擇的混沌映射定義轉(zhuǎn)換概率、萊維步長(zhǎng)和局部授粉隨機(jī)數(shù)，并將該算法應(yīng)用 于定積分的數(shù)值計(jì)算，結(jié)果表明，在FPA中加入混沌映射對(duì)其性能有顯著影響。Zhou等人［13］考慮了三種輔助增強(qiáng)機(jī)制，提出了基于對(duì)立的全局精英學(xué)習(xí)策略（GEOLS），通過(guò)同時(shí)評(píng)估候選解及其對(duì)立解，擴(kuò)大探索范圍，獲得更好的解。陸克中等人［14］在FPA中引入量子搜索機(jī)制，并對(duì)失活個(gè)體進(jìn)行自適應(yīng)變異。寧杰瓊等人［15］提出了一種 t -分布擾動(dòng)策略和變異策略的花授粉算法（tMFPA），實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有較好的尋優(yōu)精度和收斂速度。張水平等人［16］從提高種群初始解的質(zhì)量、細(xì)化種群內(nèi)個(gè)體分工、動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索三個(gè)方面對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了尋優(yōu)精度和收斂速度。

本文提出了一種基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法，相較于傳統(tǒng)花朵授粉算法而言具有更快的收斂速度和更高的尋優(yōu)精度。混合策略主要包括自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略、動(dòng)態(tài)全局搜索策略、局部搜索增強(qiáng)策略、花粉越界修正策略。自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略可以改善算法在解空間的搜索過(guò)程，使算法在自花傳粉和異花傳粉之間達(dá)到平衡，提升算法的綜合性能。動(dòng)態(tài)全局搜索策略不僅可以增加花粉種群的多樣性，使得過(guò)早收斂的花粉跳出局部最優(yōu)，增加了找到全局最優(yōu)解的可能性，還有利于提高算法收斂速度。局部搜索增強(qiáng)策略將花朵分為四個(gè)等級(jí)，利用優(yōu)質(zhì)花朵吸引蜜蜂等傳粉者，使花粉由劣質(zhì)花朵傳播到優(yōu)質(zhì)花朵處，提高算法的收斂速度，同時(shí)花粉的運(yùn)動(dòng)不僅擁有自花傳粉的特征，而且以一種螺旋收縮的方式接近目標(biāo)花朵，對(duì)解空間的搜索更加充分，有利于提高算法的尋優(yōu)精度。最后在HSFPA中采用了增強(qiáng)的花粉越界修正策略，以進(jìn)一步加強(qiáng)搜索能力。通過(guò)對(duì)不同基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，相較于傳統(tǒng)的花朵授粉算法，本文改進(jìn)的HSFPA能夠顯著地提高算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，具有更好的優(yōu)化性能。

1 花朵授粉算法（FPA）

FPA是一種元啟發(fā)式算法，通過(guò)自然界的授粉過(guò)程進(jìn)行建模，此過(guò)程對(duì)于有花（被子）植物的繁殖是必需的，這些植物約占所有植物物種的80％。為了達(dá)到繁殖的目的，授粉過(guò)程將花粉從某些花朵轉(zhuǎn)移到其他花朵，這種過(guò)程通常有非生物的（風(fēng)或雨進(jìn)行授粉過(guò)程）和生物的（花粉由昆蟲(chóng)或動(dòng)物轉(zhuǎn)移）兩種類型。前者被看做局部授粉（自花授粉）過(guò)程，花粉通常來(lái)自同一花，或者屬于同一植物的花；后者屬于全局授粉（異花授粉）過(guò)程，花粉是從遠(yuǎn)方另一株植物的花中轉(zhuǎn)移而來(lái)的。在FPA中，假定每棵植物中只有一朵花，每朵花只產(chǎn)生一個(gè)花粉，這樣花粉、花和植物是等同的概念。將一朵花或一個(gè)花粉看做一個(gè)候選解，在優(yōu)化過(guò)程中，對(duì)解空間的探索就是由自花和異花授粉完成的。

假設(shè)種群為 X={ x "1， x "2，…， x "n}，其中每個(gè)花或者花粉配子 x "i對(duì)應(yīng)一個(gè)解，每個(gè)花粉配子由d 維向量表示，每個(gè)維度對(duì)應(yīng)于要解決的優(yōu)化任務(wù)的決策變量。

結(jié)合開(kāi)花植物授粉過(guò)程的特征，F(xiàn)PA基于以下四條理想化規(guī)則進(jìn)行定義：

a）全局授粉規(guī)則。全局授粉即異花授粉通常是基于生物的，花粉由鳥(niǎo)類、昆蟲(chóng)、蜜蜂或蝙蝠等授粉媒介的作用而傳播很長(zhǎng)距離，其傳播可以使用萊維分布進(jìn)行建模。其更新公式為

xt+1 i=xt i+levy×（x best－xt i ） "（1）

其中： xt i、xt+1 i是解向量 x "i在第t次迭代和第t+1次迭代的值；x best是當(dāng)前種群中的最優(yōu)解；levy是萊維飛行步長(zhǎng)。levy的 數(shù)學(xué)表示方式如下：

levy～ λΓ（λ） sin（ π λ 2 ） "π """1 s1+λ "sgt; gt;s 0gt; gt;0 ""（2）

其中： Γ（λ）是 標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)。

b）局部授粉規(guī)則。局部授粉即自花授粉是由非生物等因素進(jìn)行傳粉，其傳播距離較近且范圍較小，往往在花朵自身周?chē)x擇傳粉對(duì)象。其更新公式為

xt+1 i=xt i+ε（ x t j－ x t k） ""（3）

其中： x t j和 x t k是分別來(lái)自相似開(kāi)花植物的不同花朵的花粉，即從所有解中隨機(jī)選擇的兩個(gè)解向量;ε是 ［0，1］服從均勻分布的隨機(jī)變量。

c）恒常性規(guī)則。兩朵相關(guān)花朵之間的授粉行為與其相似程度有關(guān)，通常可以認(rèn)為繁殖概率與所涉及花之間的相似度成正比，花朵相似性越高則授粉概率越高。

d）轉(zhuǎn)換概率規(guī)則。通過(guò)轉(zhuǎn)換概率在開(kāi)發(fā)和探索兩種過(guò)程之間進(jìn)行隨機(jī)切換，從而確定花朵授粉的類型（即全局或局部搜索過(guò)程），確保搜索的質(zhì)量。當(dāng)隨機(jī)概率小于轉(zhuǎn)換概率時(shí)進(jìn)行自花傳粉，否則執(zhí)行異花傳粉過(guò)程。

2 基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法

盡管傳統(tǒng)花朵授粉算法在解決一些相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)效率很高，但是在解決某些給定的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)仍具有一些缺點(diǎn)，例如搜索精度低和收斂速度慢等。為了克服這些問(wèn)題，本文主要從以下四個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：采用自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略動(dòng)態(tài)平衡全局授粉和局部授粉之間的關(guān)系；在全局授粉階段，提出一種動(dòng)態(tài)全局搜索策略，既可以加快算法收斂速度，又能增加花粉種群的多樣性，防止花粉陷入局部最優(yōu)；局部搜索增強(qiáng)策略使得花粉能夠充分開(kāi)發(fā)當(dāng)前優(yōu)質(zhì)花粉周?chē)乃阉骺臻g，提高收斂精度；花粉越界修正策略進(jìn)一步加強(qiáng)算法的探索能力。結(jié)合以上四種策略，最終提出一種基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法（flower pollination algorithm based on hybrid strategy，HSFPA）。

2.1 自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略

FPA能夠有效執(zhí)行離不開(kāi)轉(zhuǎn)換概率 p 對(duì)全局和局部搜索過(guò)程的調(diào)控，在全局授粉期間允許花粉大范圍探索解空間，找到最優(yōu)解存在的大致位置，而局部授粉階段則是在最優(yōu)解附近進(jìn)行更細(xì)致的尋找，從而找出全局最優(yōu)解。FPA在解決問(wèn)題方面比許多其他算法更有優(yōu)勢(shì)，因?yàn)檫@兩個(gè)過(guò)程是一個(gè)接一個(gè)地隨機(jī)發(fā)生的（基于轉(zhuǎn)換概率），從而保持了種群中解的多樣性，但是使用固定的轉(zhuǎn)換概率對(duì)這兩個(gè)尋優(yōu)階段進(jìn)行隨機(jī)選擇，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致FPA迷失方向并偏離全局最優(yōu)解。如果轉(zhuǎn)換概 率p的取值過(guò)大，算法大部分時(shí)間處于全局搜索階段，導(dǎo)致算法收斂慢，不利于收斂精度的提高；如果轉(zhuǎn)換概率p的取值過(guò)小，算法大部分時(shí)間處于局部搜索階段，致使種群中大部分個(gè)體在局部最優(yōu)值附近徘徊而陷入局部最優(yōu)，影響算法的全局尋優(yōu)能力。因此，本文提出了一種新的策略，通過(guò)改進(jìn)轉(zhuǎn)換概率p的取值實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài) 調(diào)整尋優(yōu)過(guò)程。具體的轉(zhuǎn)換概率計(jì)算公式為

p（t）= p min+（p max－p min）× cos "π "2 × t T """""""R 1lt;0.5

p min+（p max－p min）× Fitness max，t－Fitness i，t Fitness max，t－Fitness min，t "R 1≥0.5 """"（4）

其中： p min和p max分別是轉(zhuǎn)換概率的最小值和最大值，分別取相關(guān)文獻(xiàn)中效果較好的0.2和0.8; t為種群當(dāng)前迭代次數(shù);T為種群最大迭代次數(shù);Fitness min，t和Fitness max，t分別是種群第t次迭代過(guò)程中花粉個(gè)體的最小適應(yīng)度值和最大適應(yīng)度值;Fitness i，t是 第t次迭代中當(dāng)前花粉個(gè)體的適應(yīng)度值;R 1為隨機(jī)擾動(dòng)因子，是［0，1］ 的隨機(jī)數(shù)，用來(lái)控制公式的選擇。

從公式中可知， R 1lt;0.5時(shí)，轉(zhuǎn)換概率p的取值隨著迭代次數(shù)的增加而從1到0非線性遞減，在迭代初期p的取值較大，算法主要執(zhí)行全局搜索，收斂速度較快，在解空間中的探索范圍更大;在迭代后期p的取值較小，算法以局部搜索為主，在解空間中搜索更加細(xì)致，更容易找到全局最優(yōu)解。同時(shí)根據(jù) cos函數(shù)在 "0， π "2 ""的取值變化可知，前期變化速度稍快，后期變化速度稍慢，這種特性有利于提高種群的收斂能力。 R 1≥0.5時(shí)，轉(zhuǎn)換概率p受到適應(yīng)度值的影響，前期種群中的適應(yīng)度值差異很大，p取值較大，以全局搜索為主，后期算法處于收斂過(guò)程，適應(yīng)度值差異逐漸減小;p取較小的值，主要進(jìn)行局部搜索。上述公式在考慮迭代次數(shù)影響的同時(shí)也將適應(yīng)度值作為轉(zhuǎn)換概率p的取值依據(jù)，有利于提高算法的整體尋 優(yōu)效果。

2.2 動(dòng)態(tài)全局搜索策略

通過(guò)對(duì)原始FPA的分析可知，全局授粉階段利用萊維飛行和最優(yōu)花粉個(gè)體控制種群的更新。萊維飛行模擬萊維分布，這是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，有助于增加種群多樣性，增強(qiáng)探索搜索空間的能力，最優(yōu)花粉可以為種群向著最優(yōu)解方向收斂提供指導(dǎo)。但是將這兩種機(jī)制融合到一個(gè)式子中，將會(huì)降低算法在前期的收斂速度和對(duì)最優(yōu)解的搜索效率，影響全局尋優(yōu)能力。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種全新的動(dòng)態(tài)全局搜索策略，具體公式如下：

x i，t= x best，t－ A ×| C ×x best，t－x i，t| "R 2lt;p

x i，t+levy×（x best，t－x i，t） R 2≥p """"（5）

其中： x i，t和x best，t分別為算法進(jìn)行第t次迭代時(shí)的當(dāng)前個(gè)體和花粉種群中的最優(yōu)個(gè)體；R 2為隨機(jī)擾動(dòng)因子，是［0，1］的隨機(jī)數(shù)，用來(lái)控制公式的選擇；levy為萊維飛行步長(zhǎng)函數(shù)； A 和 C 都是系數(shù)向量；a為收斂因子，隨著算法迭代次數(shù)從2線性遞減到0；r 1和r 2取［0，1］的隨機(jī)數(shù)。 A 和 C "按照如下公式計(jì)算：

A =2a×r 1－a ""（6）

C =2×r 2 ""（7）

根據(jù)公式可知，迭代初 期p的取值較大，R 2lt;p概率大，算法主要執(zhí)行式（5）的第一個(gè)式子。 該式子定義了最優(yōu)花粉引導(dǎo)其余花粉的更新過(guò)程，種群中的個(gè)體可以快速到達(dá)最優(yōu)值附近，有利于加快算法的收斂速度。隨著迭代過(guò)程的不斷進(jìn)行，p的取值逐漸減小，此時(shí)R 2≥p的概率 增大，算法按照式（5）的第二個(gè)式子進(jìn)行更新，該公式為原始FPA的萊維飛行機(jī)制，在算法后期用于維持花朵種群的多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)。

2.3 局部搜索增強(qiáng)策略

在原始FPA中，局部搜索機(jī)制是在當(dāng)前個(gè)體的基礎(chǔ)上，圍繞種群中的兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體進(jìn)行位置更新，算法在求解過(guò)程中具有盲目性和隨機(jī)性。雖然隨機(jī)選擇的子代花粉能夠很好地保證種群之間個(gè)體的多樣性，但是如果種群中個(gè)體的適應(yīng)度值很差，則算法很難得到最優(yōu)解。當(dāng)種群的演化過(guò)程進(jìn)入后期階段，種群中花粉個(gè)體的位置更新容易陷入停滯，增大了算法在收斂后期陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種局部搜索增強(qiáng)策略，對(duì)局部授粉公式進(jìn)行重新定義，改進(jìn)后的公式如下：

x i，t=x i，t+ω×ε×（ x t j－ x t k）+

（1－ω）× e bl× cos（2π l）×（x best，t－xt i）×levy ""（8）

其中： x i，t和x best，t分別為第t次迭代中的當(dāng)前花粉個(gè)體和種群最優(yōu)個(gè)體; x t j和 x t k為從所有解中隨機(jī)選擇的兩個(gè)解向量;ε為［0，1］的隨機(jī)變量;ω為權(quán)重系數(shù)，用于控制兩種更新方式的比例，這里取ω=0.5;b為定義對(duì)數(shù)螺旋形狀的常量系數(shù);l為［-1，1］的隨機(jī)數(shù);levy為萊 維飛行步長(zhǎng)函數(shù)。

在式（8）中，存在兩種更新方式：a）原始FPA的局部更新方式，即局部的隨機(jī)游走過(guò)程；b）基于萊維飛行的螺旋更新機(jī)制，在最優(yōu)花粉的指引下，花粉個(gè)體沿著螺旋形的路徑移動(dòng)，能夠擴(kuò)大局部搜索范圍，有助于充分開(kāi)發(fā)最優(yōu)解附近的空間，提高算法的收斂精度，迭代后期萊維飛行有助于擺脫停滯，防止陷入局部最優(yōu)，結(jié)合兩種更新方式可以使算法擁有更好的局部尋優(yōu)性能。

在解空間中，對(duì)于最優(yōu)值的位置并不確定，為了進(jìn)一步增強(qiáng)局部搜索的性能，本文篩選出適應(yīng)度值排名前三的個(gè)體作為優(yōu)質(zhì)花粉，分別定義 為F 1、F 2、F 3，不 單獨(dú)使用一個(gè)最優(yōu)值，而是利用三者位置的綜合信息預(yù)測(cè)全局最優(yōu)解的潛在位置，引導(dǎo)其余劣質(zhì)花粉向著全局最優(yōu)位置更新，增強(qiáng)尋優(yōu)過(guò)程中優(yōu)質(zhì)個(gè)體之間的信息交互。更新后的計(jì)算公式如下：

D 1=|X best，t－X i，t| ""（9）

D 2=|X secondbest，t－X i，t| ""（10）

D 3=|X thirdbest，t－X i，t| ""（11）

D= D 1+D 2+D 3 3 """（12）

x i，t=x i，t+ω×ε×（ x t j－ x t k）+

（1－ω）×ebl× cos（2π l）×D×levy ""（13）

其中： X best，t、X secondbest，t、X thirdbest，t 分別為排名前三的優(yōu)質(zhì)花粉個(gè)體。

2.4 花粉越界修正策略

在原始FPA中，當(dāng)新位置超出搜索范圍時(shí)，通常不作處理或?qū)⑵涮鎿Q為該范圍，這大大降低了算法的優(yōu)化效率。本文提出了一種全新的越界修正策略，將越界花粉移動(dòng)至搜索空間中的隨機(jī)位置，有助于提升花朵授粉算法的探索能力。越界花粉的新位置根據(jù)式（14）進(jìn)行更新。

x i，t= ub+R 3× ub－x i，t x i，t ×ub "x i，tgt;ub

lb+R 3× "lb－x i，t x i，t ×lb "x i，tgt;lb """""（14）

其中： ub和lb分別為上界和下界；R 3為 ［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

2.5 HSFPA流程

HSFPA流程如圖1所示。

具體步驟如下：

a）設(shè)置 種群大小N、最大迭代次數(shù)T、測(cè)試函數(shù)維度dim等參 數(shù)，隨機(jī)產(chǎn)生初始花粉的位置。

b）執(zhí)行自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略，利用式（4）計(jì)算轉(zhuǎn)換概率 p ，計(jì)算結(jié)束進(jìn)入c）。

c）如 果randlt;p，算 法進(jìn)入異花授粉過(guò)程，此時(shí)執(zhí)行動(dòng)態(tài)全局搜索策略，按照式（5）更新花粉個(gè)體的位置坐標(biāo)；如 果rand≥p，算 法進(jìn)入自花授粉過(guò)程，此時(shí)執(zhí)行局部搜索增強(qiáng)策略，采用式（13）更新花粉個(gè)體的位置坐標(biāo)。

d）檢查種群中的個(gè)體是否越界，如果發(fā)生越界，則利用式（14）執(zhí)行花粉越界修正策略，否則進(jìn)入e）。

e）根據(jù)新解計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度值并更新當(dāng)前的花粉個(gè)體。

f）判斷是否滿足算法終止條件，如果滿足條件，則轉(zhuǎn)到g），否則轉(zhuǎn)到b），進(jìn)行新一輪的迭代更新。

g）輸出全局最優(yōu)解和相應(yīng)的最優(yōu)值，算法結(jié)束。

3 實(shí)驗(yàn)效果

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證本文所提算法的優(yōu)化能力，將改進(jìn)的花朵授粉算 ""法（HSFPA）與原始花朵授粉算法（FPA）、粒子群算法（PSO）［17］以及近年來(lái)新提出的基于動(dòng)態(tài)全局搜索和柯西變異的花朵授粉算法（DCFPA）［18］、改進(jìn)花朵授粉算法（MFPA）［19］、基于蝙蝠算法的花粉算法（BA-FPA）［20］、基于三種策略改進(jìn)的花粉算法（IFPA）［21］進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)中，各算法設(shè)置種群數(shù)量為50，最大迭代次數(shù)1 000次，其中FPA設(shè)置轉(zhuǎn)換概率 p=0.8，λ =1.5，其他對(duì)比算法均采用相應(yīng)文獻(xiàn)中的參數(shù)設(shè)置。本文選擇10個(gè)廣泛使用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)評(píng)估算法的效果，其中包括5個(gè)單峰函數(shù)和5個(gè)多峰函數(shù)，表1列出了測(cè)試函數(shù)名稱和表達(dá)式、峰值、取值范圍、最優(yōu)值、維度等信息。這些實(shí)驗(yàn)均在PC機(jī)（配置為4 GB內(nèi)存、903 GB硬盤(pán)、Intel i7-4790CPU）上采用Python環(huán)境實(shí)現(xiàn)，所有算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上均獨(dú)立運(yùn)行20次，最后獲得10個(gè)測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值、平均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差等結(jié)果。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.2.1 搜索精度分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)算法HSFPA在搜索精度方面的尋優(yōu)效果，將其與FPA、PSO、DCFPA、MFPA、IFPA、BA-FPA等算法在表1給出的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，不同算法的最優(yōu)值、平均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差等實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，其中加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示最優(yōu)的結(jié)果。

從表2中可以看出，在給定的迭代次數(shù)下，PSO算法均值和標(biāo)準(zhǔn)差均較高，特別是在Bent Cigar、Rastrigin、Zakharov、Styblinski等測(cè)試函數(shù)上距離理論最優(yōu)值有較大差距。FPA在Bent Cigar、Rastrigin、Griewank、Zakharov、Quartic等函數(shù)上效果較差，容易陷入局部最優(yōu)而無(wú)法找到全局最優(yōu)值。DCFPA和MFPA效果優(yōu)于FPA和PSO算法，且最后能夠收斂到理論最優(yōu)值附近，其中MFPA與本文的HSFPA相比在Quartic函數(shù)上均可以取得最優(yōu)值，但是HSFPA在均值和標(biāo)準(zhǔn)差等方面優(yōu)于MFPA，且收斂精度更高。同時(shí)可以看出，HSFPA的效果優(yōu)于IFPA、BA-FPA。在所有的對(duì)比函數(shù)中，本文的HSFPA在最優(yōu)值、均值、最差值、標(biāo)準(zhǔn)差等方面均取得較好的效果，尋優(yōu)結(jié)果接近極值函數(shù)的理論值，其中較小的最優(yōu)值、最差值和均值表明算法可以獲得較好的解的質(zhì)量，準(zhǔn)確性和收斂精度更高，而更小的標(biāo)準(zhǔn)差則反映出算法具有更穩(wěn)定的性能，上述各項(xiàng)指標(biāo)綜合反映了本文的HSFPA具有良好的尋優(yōu)能力。

3.2.2 收斂速度分析

為了直觀地觀察FPA、DCFPA、MFPA和HSFPA等相關(guān)花朵授粉算法在收斂速度方面的表現(xiàn)，以迭代次數(shù)為橫軸，以適應(yīng)度值作為縱軸，繪制出各算法對(duì)表1中的不同標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的適應(yīng)度收斂曲線，具體內(nèi)容如圖2所示。

從圖2中可以看出，F(xiàn)PA位于四條曲線中的最上方，優(yōu)化效果最差。例如，在對(duì)Tablet測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)過(guò)程中前期處于停滯狀態(tài)，直到300代左右才開(kāi)始收斂；在對(duì)Michalewicz測(cè)試函數(shù)優(yōu)化的迭代后期陷入局部最優(yōu)，算法停滯，無(wú)法找到全局最優(yōu)解。DCFPA和MFPA的收斂速度相近，曲線位于FPA和HSFPA之間，尋優(yōu)性能優(yōu)于FPA，但是相比HSFPA仍有差距。對(duì)于所有測(cè)試函數(shù)，本文提出的改進(jìn)算法HSFPA位于所有曲線下方，不僅在前期收斂劇烈，曲線下降速度快，而且后期保持平滑，基本上沒(méi)有出現(xiàn)振蕩情況，具有良好的穩(wěn)定性。對(duì)Styblinski函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，HSFPA在前期以快于其他對(duì)比算法的速度收斂，并在200代左右緩慢下降，在第320代左右時(shí)曲線迅速下降，算法第一次跳出局部最優(yōu)值，此后在第600代左右時(shí)又跳出第二個(gè)局部最優(yōu)值，并迅速找到全局最優(yōu)值，證明改進(jìn)算法能夠很好地克服傳統(tǒng)FPA容易陷入局部極值的問(wèn)題。對(duì)Sphere、Rastrigin、Griewank、Quartic、Tablet、Ackley、Bent Cigar等函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，HSFPA表現(xiàn)出很大的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，在迭代前期能夠迅速朝著正確方向收斂到全局最優(yōu)解，相比其他對(duì)比算法而言收斂速度更快且避開(kāi)了局部最優(yōu)值。

3.2.3 HSFPA的時(shí)間復(fù)雜度分析

本文將HSFPA與FPA在相同環(huán)境下，通過(guò)運(yùn)行時(shí)間來(lái)觀察本文算法是否滿足時(shí)間復(fù)雜度較低的要求。實(shí)驗(yàn)中種群數(shù)量設(shè)置為20，迭代次數(shù)為300，所有算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上均獨(dú)立運(yùn)行20次。HSFPA與FPA在不同測(cè)試函數(shù)下的最小運(yùn)行時(shí)間與平均運(yùn)行時(shí)間如表3所示。

從表3可以看出，與FPA相比HSFPA運(yùn)行時(shí)間略長(zhǎng)，這是因?yàn)镠SFPA增加了多種策略，計(jì)算復(fù)雜度有所增加，但耗時(shí)增加并不太大。此外HSFPA的尋優(yōu)精度和收斂速度遠(yuǎn)高于FPA，且HSFAP可收斂到近似最優(yōu)解，而FPA在很多測(cè)試函數(shù)上未能收斂，綜合以上幾個(gè)實(shí)驗(yàn)可以看出HSFPA是可行的。

通過(guò)上述所有實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的HSFPA融合了自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略、動(dòng)態(tài)全局搜索策略、局部搜索增強(qiáng)策略和花粉越界修正策略四種策略的優(yōu)勢(shì)，在所對(duì)比的算法中取得了良好效果。自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略有效的原因是能夠平衡算法全局搜索和局部搜索的過(guò)程，調(diào)整算法在解空間的搜索；動(dòng)態(tài)全局搜索策略有效的原因是利用隨機(jī)因子動(dòng)態(tài)選擇更新公式，在加快算法收斂速度的同時(shí)增加了種群多樣性；局部搜索增強(qiáng)策略有效的原因是將螺旋更新與隨機(jī)游走相結(jié)合，在優(yōu)質(zhì)花粉的引導(dǎo)下進(jìn)行尋優(yōu)，充分開(kāi)發(fā)當(dāng)前優(yōu)質(zhì)花粉周?chē)乃阉骺臻g，提高收斂精度；花粉越界修正策略通過(guò)調(diào)整越界花粉的新位置，加強(qiáng)了算法的探索能力。結(jié)合以上策略及實(shí)驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)的HSFPA算法證明是有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)FPA是一種模仿開(kāi)花植物傳粉過(guò)程的智能優(yōu)化算法，隨著其發(fā)展，現(xiàn)已應(yīng)用于不同科學(xué)領(lǐng)域的各種優(yōu)化問(wèn)題，但其在解決復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)存在搜索精度低和收斂速度慢等局限性。針對(duì)這些問(wèn)題，本文提出了一種基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法（HSFPA）。自適應(yīng)轉(zhuǎn)換概率策略使花粉種群在全局搜索和局部搜索過(guò)程之間靈活轉(zhuǎn)換，提高了搜索過(guò)程的平衡性；動(dòng)態(tài)全局搜索策略和局部搜索增強(qiáng)策略有助于改進(jìn)兩個(gè)尋優(yōu)過(guò)程，提升算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，同時(shí)增加花粉種群多樣性，防止陷入局部最優(yōu)；花粉越界修正策略進(jìn)一步加強(qiáng)了算法的探索能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提基于混合策略改進(jìn)的花朵授粉算法HSFPA與其他算法相比具有更好的表現(xiàn)，證明了本文的改進(jìn)策略能夠促進(jìn)傳統(tǒng)FPA尋優(yōu)性能的有效提升。在未來(lái)研究中，HSFPA將結(jié)合具體問(wèn)題背景，進(jìn)一步應(yīng)用到不同領(lǐng)域的復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題中。

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