數(shù)學(xué)方法能否證明法律問題

何柏生

在法學(xué)界，越來越多的學(xué)者在研究法學(xué)的過程中注重?cái)?shù)學(xué)方法的運(yùn)用。在20 世紀(jì)八九十年代，法學(xué)界注重?cái)?shù)學(xué)方法的學(xué)者雖然有但人數(shù)并不多。進(jìn)入21 世紀(jì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究法學(xué)的人越來越多，具體體現(xiàn)為實(shí)證方法的廣泛運(yùn)用。近幾年，從人工智能角度研究法學(xué)的著述非常多，幾乎法學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科都有體現(xiàn)，這使法學(xué)的數(shù)學(xué)化向前大大邁進(jìn)了一步。

用數(shù)學(xué)方法研究法學(xué)無疑提高了法學(xué)的科學(xué)性，使法律“科學(xué)”變得更加名副其實(shí)。不過，如同自然科學(xué)那樣，能否運(yùn)用數(shù)學(xué)方法證明法學(xué)或法律問題，這是許多學(xué)者關(guān)心并曾探討過的問題。本文主要研究這一問題，以使法學(xué)界同仁對數(shù)學(xué)方法有更深入的認(rèn)識。

一、數(shù)學(xué)對法學(xué)學(xué)科影響等級分析

馬克思曾說：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。”〔1〕［法］保爾·拉法格：《憶馬克思》，載中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局編：《回憶馬克思》，人民出版社2005 年版，第191 頁。1996 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者莫里斯認(rèn)為，雖然不能認(rèn)定誰是最早應(yīng)用數(shù)學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，但馬克思肯定是先驅(qū)者之一。馬克思在《資本論》中就曾運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)問題。參見郭廣迪：《馬克思與經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化——從相傳馬克思的一句話談起》，載《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版）》2012 年第4 期，第108 頁。康德也說過與此內(nèi)容相近的話：“在任何特定的理論中，只有其中包含數(shù)學(xué)的部分才是真正的科學(xué)。”〔2〕轉(zhuǎn)引自［美］М·克萊因：《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》，李宏魁譯，湖南科學(xué)技術(shù)出版社1997 年版，第42 頁。馬克思和康德都是哲學(xué)家，也精通數(shù)學(xué)，所以，他們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識是有“哲學(xué)眼光”的，值得重視。從哲學(xué)家口中說出這樣的話，與從數(shù)學(xué)家口中說出，內(nèi)涵是不一樣的。一門學(xué)科，想成為科學(xué)，就必須讓數(shù)學(xué)參與學(xué)科建設(shè)，成功運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，建立學(xué)科體系，進(jìn)行嚴(yán)密的理論論證。法學(xué)被稱為科學(xué)，邀請數(shù)學(xué)參與學(xué)科建設(shè)，進(jìn)行理論論證是題中應(yīng)有之義。

數(shù)學(xué)對各門學(xué)科的影響深度和廣度是不相同的。對有些學(xué)科影響深且范圍廣，如物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)；對有些學(xué)科影響淺且范圍窄，如法學(xué)。學(xué)者湯姆森（М. Thomрson）把數(shù)學(xué)對各個(gè)學(xué)科的影響差異分為四個(gè)等級：第一級是數(shù)據(jù)和信息的搜集；第二級是科學(xué)原理和經(jīng)驗(yàn)定律的定量表述；第三級是數(shù)學(xué)模型的表述、研究和證實(shí)；第四級是用數(shù)學(xué)模型來獲得科學(xué)洞察力。〔3〕參見［美］湯姆森：《科學(xué)中的數(shù)學(xué)化》，劉定一譯，載《世界科學(xué)》1985 年第8 期，第51-53 頁。

在這四個(gè)等級內(nèi)，可以說，數(shù)學(xué)對物理學(xué)、化學(xué)、生物等學(xué)科都有廣泛的影響。而在人文社會科學(xué)內(nèi)，數(shù)學(xué)的影響往往限于某些等級，涉及全部四個(gè)等級的不多。因?yàn)檠堇[法是數(shù)學(xué)的基本方法，科學(xué)家利用數(shù)學(xué)并不僅僅用于計(jì)算，或把數(shù)據(jù)資料組織起來，而是為了概念的構(gòu)造，用演繹法推導(dǎo)出未知的定理，把世界的真實(shí)面貌展示出來。歷史上，“數(shù)學(xué)化使科學(xué)理論形成一個(gè)統(tǒng)一的整體或嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系，從中往往能夠推出意想不到的定律或結(jié)論（比如由電磁場方程預(yù)言電磁波，從狹義相對論導(dǎo)出質(zhì)能關(guān)系式，基于相對論性電子方程斷定正電子的存在），從而洞察實(shí)在的深層秘密”。〔4〕李醒民：《科學(xué)論：科學(xué)的三維世界》（下卷），中國人民大學(xué)出版社2010 年版，第734 頁。所以，第四級在人文社科領(lǐng)域內(nèi)，數(shù)學(xué)對其影響不大。

在法學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，利用搜集到的數(shù)據(jù)和信息進(jìn)行法學(xué)研究是非常普遍的，尤其是近一二十年。在大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)和信息的獲取都非常容易，利用獲取的數(shù)據(jù)和信息進(jìn)行定量分析很常見。許多采用實(shí)證方法研究問題的論文都屬于第一級，如蘇力所作的《從法學(xué)著述引證看中國法學(xué)——中國法學(xué)研究現(xiàn)狀考察之二》、左衛(wèi)民所作的《地方法院庭審實(shí)質(zhì)化改革實(shí)證研究》、熊謀林所作的《三十年中國法學(xué)研究方法回顧——基于中外頂級法學(xué)期刊引證文獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)比較（2001—2011）》、屈茂輝所作的《基于裁判文書的法學(xué)實(shí)證研究之審視》、白建軍所作的《中國民眾刑法偏好研究》等論文。〔5〕參見蘇力：《從法學(xué)著述引證看中國法學(xué)——中國法學(xué)研究現(xiàn)狀考察之二》，載《中國法學(xué)》2003 年第2 期；左衛(wèi)民：《地方法院庭審實(shí)質(zhì)化改革實(shí)證研究》，載《中國社會科學(xué)》2018 年第6 期；熊謀林：《三十年中國法學(xué)研究方法回顧——基于中外頂級法學(xué)期刊引證文獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)比較（2001-2011）》，載《政法論壇》2014 年第3 期；屈茂輝：《基于裁判文書的法學(xué)實(shí)證研究之審視》，載《現(xiàn)代法學(xué)》2020 年第3 期；白建軍：《中國民眾刑法偏好研究》，載《中國社會科學(xué)》2017 年第1 期。

“所謂法律實(shí)證研究，本質(zhì)上是一種以數(shù)據(jù)分析為中心的經(jīng)驗(yàn)性法學(xué)研究。詳言之，就是以法律實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)象作為關(guān)注點(diǎn)，通過收集、整理、分析和運(yùn)用數(shù)據(jù)，特別是嘗試應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法進(jìn)行相關(guān)研究的范式。”〔6〕左衛(wèi)民：《一場新的范式革命?——解讀中國法律實(shí)證研究》，載《清華法學(xué)》2017 年第3 期，第45 頁。在法律實(shí)證研究方法興起之前，法學(xué)界的研究方法主要采用法教義學(xué)以及社科法學(xué)。法教義學(xué)、社科法學(xué)的研究方法雖然對推動我國法學(xué)發(fā)展起過重要作用，但法律實(shí)證研究方法優(yōu)點(diǎn)是法教義學(xué)、社科法學(xué)無法替代的，它是法學(xué)向科學(xué)邁進(jìn)的重要一步。因?yàn)榉蓪?shí)證研究方法內(nèi)含著數(shù)學(xué)方法，而數(shù)學(xué)是引導(dǎo)諸學(xué)科走向科學(xué)的最重要的牽引力。數(shù)學(xué)化意味著科學(xué)化，哪門學(xué)科數(shù)學(xué)化程度高，意味著哪門學(xué)科科學(xué)化程度高。

程金華曾對我國21 種法學(xué)核心期刊和10 種法學(xué)擴(kuò)展版來源期刊以及《中國社會科學(xué)》雜志從1979 年到2015 年發(fā)表的題目含有“實(shí)證”一詞的論文進(jìn)行檢索，得到573 篇論文。不難看出，采用實(shí)證研究方法的研究人員在我國法學(xué)界越來越多，這意味著數(shù)學(xué)對我國法學(xué)研究的影響越來越大。盡管我國學(xué)者對“實(shí)證”的理解不盡一致，但不管怎樣，“實(shí)證”中缺少不了定量分析，缺少不了數(shù)學(xué)方法的影響。也就是說，數(shù)學(xué)在第一級，即在搜集數(shù)據(jù)和信息并對之進(jìn)行分析上，對我國法學(xué)的影響已經(jīng)非常普遍。那么，數(shù)學(xué)在第二級、第三級和第四級上對我國法學(xué)或法律有無影響？

數(shù)學(xué)分為兩類：一類是算的問題，典型算的問題是解方程；一類是證的問題，即證明定理。〔7〕參見胡作玄：《數(shù)學(xué)與社會》，大連理工大學(xué)出版社2008 年版，第19-22 頁。在自然科學(xué)諸學(xué)科中，用數(shù)學(xué)方法論證某個(gè)問題司空見慣。如果在某個(gè)學(xué)科中，定理不夠多，顯示這個(gè)學(xué)科的發(fā)展還不夠成熟，還需要不斷開拓發(fā)展。但在社會科學(xué)中，除了個(gè)別學(xué)科，如經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科外，其他學(xué)科中定理很少，法學(xué)就屬于這樣的學(xué)科。

公理不需要演繹證明，而定理需要演繹證明，用推理的方法得出結(jié)論。演繹法是數(shù)學(xué)最基本的方法，運(yùn)用推理最典型的學(xué)科是數(shù)學(xué)。亞里士多德的形式邏輯雖然是研究推理的，但其形式邏輯在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，與數(shù)學(xué)的演繹法密不可分。〔8〕參見何柏生：《法律文化的數(shù)學(xué)解釋》，商務(wù)印書館2015 年版，第209-228 頁。數(shù)學(xué)方法能否證明法律問題在于能否用推理的方法或者演繹法證明法律問題。在回答這個(gè)問題之前，我們先考察能否用數(shù)學(xué)方法證明其他社會問題。

這里所說的“社會問題”是指人類社會出現(xiàn)的問題，是相對于自然界存在的問題而言的。用數(shù)學(xué)方法論證社會問題已有悠久的歷史，早在古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯提出“萬物皆數(shù)”命題，就意味著用數(shù)學(xué)方法論證自然、社會的一切問題。老子的“一生二，二生三，三生萬物”也有用數(shù)學(xué)或者說用神秘?cái)?shù)字論證自然、社會一切問題的意味。

美國數(shù)學(xué)家韋爾德（R. L. Wilder）曾說：“我們不要忘記，所謂證明，不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含義。”〔9〕轉(zhuǎn)引自蕭文強(qiáng)：《數(shù)學(xué)證明》，大連理工大學(xué)出版社2008 年版，第6 頁。從中外數(shù)學(xué)史可以看出，不同的文化，數(shù)學(xué)證明的方法是不同的。巴比倫、埃及、印度和中國這四大文明古國都有自己的數(shù)學(xué)，但證明方法不是完全一樣的。尤其是古希臘的數(shù)學(xué)，證明方法與四大文明古國更不一樣。四大文明古國的數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)，而古希臘的數(shù)學(xué)是演繹數(shù)學(xué)，證明方法相差甚大。現(xiàn)代數(shù)學(xué)普遍采用的證明方法是在古希臘發(fā)展起來的演繹數(shù)學(xué)，最經(jīng)典的證明方法是公理化方法，在歐幾里得的《幾何原本》中體現(xiàn)得最為典型。

問題是，直到19 世紀(jì)公理化方法才開始在數(shù)學(xué)中被普遍采用，那么，為什么公理化方法被稱為數(shù)學(xué)方法？這是因?yàn)椋簲?shù)學(xué)在很長時(shí)期主要研究數(shù)和形，即代數(shù)和幾何。雖然數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域在19 世紀(jì)之前都沒有采用公理化方法，但公理化方法的完整呈現(xiàn)始于歐幾里得的《幾何原本》。況且在《幾何原本》之前，公理化方法也是在數(shù)學(xué)中率先采用的。柏拉圖曾說：“我想你知道，研究幾何學(xué)、算學(xué)以及這一類學(xué)問的人，首先要假定偶數(shù)與奇數(shù)、各種圖形、三種角以及其他諸如此類的東西。他們把這些東西看成已知的，看成絕對假設(shè)，他們假定關(guān)于這些東西是不需要對他們自己或別人作任何說明的，這些東西是任何人都明白的。他們就從這些假設(shè)出發(fā)，通過首尾一貫的推理最后達(dá)到他們所追求的結(jié)論。”〔10〕［古希臘］柏拉圖：《理想國》，郭斌和等譯，商務(wù)印書館1986 年版，第269 頁。所以，不僅是數(shù)學(xué)家，而且其他學(xué)科的人都將公理化方法公認(rèn)為一種數(shù)學(xué)方法。正如美國數(shù)學(xué)家懷爾德所說：“據(jù)推測，為了在穩(wěn)固的基礎(chǔ)上發(fā)展幾何學(xué)，避免出現(xiàn)像芝諾悖論以及不可通約量的危機(jī)，希臘人在數(shù)學(xué)中發(fā)展了公理化方法。事實(shí)上，我們的先輩認(rèn)為公理是幾何學(xué)的一部分，就像最近的學(xué)生認(rèn)為對數(shù)是三角函數(shù)的一部分一樣。人們在幾何學(xué)中使用公理，而不是在算術(shù)或代數(shù)中（除非像希臘人操作的那樣，這些東西本身能夠被包含在幾何中）。因此，公理化方法的引入必須歸功于幾何學(xué)。”〔11〕［美］R. L. 懷爾德：《數(shù)學(xué)概念的演變》，謝明初等譯，華東師范大學(xué)出版社2019 年版，第67 頁。

歷史上，哲學(xué)家斯賓諾莎曾在其著作《倫理學(xué)》中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法證明哲學(xué)、法學(xué)、政治學(xué)、倫理學(xué)等問題。《倫理學(xué)》一書由27 個(gè)界說、22 個(gè)公則（公理）和259 個(gè)命題構(gòu)成一個(gè)完整的哲學(xué)體系。可以說，自然科學(xué)著作中采用公理化方法的很多，如《幾何原本》《自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，但完全采用公理化方法構(gòu)筑理論體系且理論論證完全建立在公理化方法基礎(chǔ)之上的社會科學(xué)著作中，《倫理學(xué)》可謂具有開創(chuàng)性。哲學(xué)家葉秀山說：“表面上看，《倫理學(xué)》的論述方式是非常古老的，它幾乎完全模仿幾何學(xué)的方法，先有一批‘公則’，每一個(gè)‘公則’下都有簡短‘證明’；然后有許多‘命題’，‘命題’下不但有‘證明’，‘證明’下還有一些‘附釋’，形式上是很刻板的，現(xiàn)代的人讀起來會有枯燥之感。逐漸地，我從他那枯燥的‘證明’過程中，體會出一些意思來了，覺得形式雖然刻板，但內(nèi)容還是很過硬的。只要你靜下心來認(rèn)真讀，就會覺得他用‘證明’的方法把哲學(xué)——形而上學(xué)的命題‘推導(dǎo)’出來，顯得是那樣的堅(jiān)定不移，要想反駁它，倒也是很不容易的。”〔12〕葉秀山：《斯賓諾莎哲學(xué)的歷史意義——再讀〈倫理學(xué)〉》，載《江蘇行政學(xué)院學(xué)報(bào)》2003 年第1 期，第5 頁。斯賓諾莎的《倫理學(xué)》雖然是哲學(xué)、倫理學(xué)著作，但書內(nèi)也論證了一些法哲學(xué)問題，如自由問題；因此，也可以說，早在17 世紀(jì)，斯賓諾莎已用數(shù)學(xué)的公理化方法論證了法學(xué)問題。

我國當(dāng)代學(xué)者也有采用公理化方法構(gòu)筑自己的理論體系的，如北京大學(xué)哲學(xué)系的王海明教授，其在專著《新倫理學(xué)》《國家學(xué)》中就運(yùn)用公理化方法以推導(dǎo)出全書的內(nèi)容。

除了倫理學(xué)外，在人文社科中，經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)是采用公理化體系比較多的學(xué)科。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，許多名著都采用公理化方法。如美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅的名著《社會選擇與個(gè)人價(jià)值》對“社會選擇”問題采用公理化方法處理。1983 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者、西方著名數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布魯?shù)摹秲r(jià)值理論：對經(jīng)濟(jì)均衡的公理分析》一書是現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)劃時(shí)代的名作，書中也采用了公理化方法。馬爾薩斯的《人口原理》一書的理論體系構(gòu)成也采用了公理化方法。

在哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，采用公理化方法構(gòu)筑理論體系的學(xué)者也不少。笛卡爾就曾運(yùn)用四個(gè)公理推導(dǎo)出其理論體系。〔13〕參見何柏生：《法律文化的數(shù)學(xué)解釋》，商務(wù)印書館2015 年版，第147-148 頁。2011 年，牛津大學(xué)哲學(xué)、邏輯學(xué)教授沃爾克·哈爾巴赫出版了一本名為《真之公理化理論》的書，用公理化方法研究哲學(xué)的核心概念“真”。〔14〕參見［德］沃爾克·哈爾巴赫：《真之公理化理論》，邵強(qiáng)進(jìn)等譯，科學(xué)出版社2021 年版，見“內(nèi)容簡介”。

我國一些學(xué)者對先秦儒家經(jīng)典和老子學(xué)說進(jìn)行公理化詮釋，甘筱青教授帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)已出版過這方面的專著計(jì)有：《〈論語〉的公理化詮釋》《〈孟子〉的公理化詮釋》《〈荀子〉的公理化詮釋》《〈老子〉的公理化詮釋》。〔15〕參見甘筱青等：《〈論語〉的公理化詮釋》（修訂版），江西人民出版社2012 年版；甘筱青等：《〈孟子〉的公理化詮釋》，江西人民出版社2014 年版；甘筱青等：《〈荀子〉的公理化詮釋》，江西人民出版社2015 版；甘筱青等：《〈老子〉的公理化詮釋》，江西人民出版社2016 年版。

用公理化方法研究社會科學(xué)的論著還有許多，如楊浩的論文《圖書館學(xué)研究與公理化方法》、歐陽維誠的論文《編輯學(xué)研究與數(shù)學(xué)公理化》、徐俊杰的論文《論政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的公理化》等論文。〔16〕參見楊浩：《圖書館學(xué)研究與公理化方法》，載《圖書館學(xué)研究》1988 年第3 期；徐俊杰：《論政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的公理化》，載《社會科學(xué)》1986 年第12 期；歐陽維誠：《編輯學(xué)研究與數(shù)學(xué)公理化》，載《編輯學(xué)刊》1990 年第4 期。限于篇幅，這里從略。

總之，在社會科學(xué)領(lǐng)域，采用公理化方法的著述是比較多的，有些著作已經(jīng)成為名著，影響巨大。所以，公理化方法不但在自然科學(xué)領(lǐng)域被廣泛采用，而且在社會科學(xué)領(lǐng)域不斷地?cái)U(kuò)大影響力，甚至成為一些學(xué)科（如經(jīng)濟(jì)學(xué)）“研究的基本方法”。這是數(shù)學(xué)方法對社會科學(xué)的一次重大影響。

二、幾個(gè)著名數(shù)學(xué)定理對法學(xué)的影響

在法學(xué)界，精通數(shù)學(xué)的人非常少。而在經(jīng)濟(jì)學(xué)界，精通數(shù)學(xué)的人則特別多，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家就是著名的數(shù)學(xué)家，如馮·諾伊曼、納什、費(fèi)雪、阿羅，等等。利用數(shù)學(xué)方法對經(jīng)濟(jì)問題或社會問題進(jìn)行證明，現(xiàn)在已經(jīng)很普遍，如阿羅不可能性定理、哥德爾不完全性定理、納什均衡理論。這些定理或理論，看似與法學(xué)無關(guān)，其實(shí)密切相連。從某些角度來說，這些定理也可看成數(shù)學(xué)對法學(xué)問題的證明。

（一）阿羅不可能性定理對法學(xué)的影響

阿羅不可能性定理是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J.Arrow）提出的。阿羅在紐約市立學(xué)院上大學(xué)，所學(xué)專業(yè)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。在哥倫比亞大學(xué)獲碩士學(xué)位，所學(xué)專業(yè)是統(tǒng)計(jì)學(xué)。以后，又在哥倫比亞大學(xué)獲經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位。這就是說，阿羅既有高深的數(shù)學(xué)知識，又有專業(yè)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，為他從數(shù)學(xué)角度研究經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了條件。阿羅不可能性定理正是從數(shù)學(xué)角度證明經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的重要成果。當(dāng)然，阿羅不可能性定理不僅僅是經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，還與政治學(xué)、法學(xué)、社會學(xué)、哲學(xué)等問題有關(guān)，因此也可以說，阿羅用數(shù)學(xué)方法證明了法學(xué)問題。

阿羅不可能性定理研究的是社會選擇理論。所謂“社會選擇”，也稱集體選擇，是將“眾多社會成員的個(gè)人偏好（利益）聚合為一個(gè)最終的社會偏好（利益）”。〔17〕聶智琪：《政治學(xué)視角下的社會選擇理論：一個(gè)前提性的梳理》，載《經(jīng)濟(jì)社會體制比較》2007 年第4 期，第92 頁。所以，“社會選擇理論研究的是偏好是如何聚合的，或者說，在一組偏好存在的前提下，如何將另一個(gè)偏好構(gòu)建為個(gè)體偏好的共識”；〔18〕［西］維森斯·拖拉：《數(shù)學(xué)與決策——數(shù)學(xué)讓你做決定》，呂紅艷譯，中信出版集團(tuán)2020 年版，第53 頁。并根據(jù)偏好序列為公眾提供公共消費(fèi)的產(chǎn)品和服務(wù)，其中提供的公共產(chǎn)品和服務(wù)就包括法律政策。

阿羅在《社會選擇與個(gè)人價(jià)值》一書中，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法論證了投票問題，形成了著名的阿羅不可能性定理。阿羅研究的是“非市場”決策問題，他最初雖然是從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度出發(fā)研究此問題的，但這個(gè)問題不限于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，因?yàn)榉▽W(xué)領(lǐng)域、政治學(xué)領(lǐng)域、社會學(xué)領(lǐng)域等領(lǐng)域也涉及這個(gè)問題。所以，只要把某些命題、關(guān)鍵詞加以改動，變?yōu)榉▽W(xué)的命題、關(guān)鍵詞，阿羅不可能性定理就會變?yōu)橐粋€(gè)法學(xué)定理。

社會選擇理論是公共選擇理論的組成部分。美國著名的公共選擇理論專家丹尼斯·C.繆勒就持此觀點(diǎn)，認(rèn)為：“我們可以把公共選擇定義為是對非市場決策的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究，或者簡單地定義為是把經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用于政治科學(xué)的分析。就研究對象而言，公共選擇無異于政治科學(xué)：國家理論、投票規(guī)則、選民行為、黨派、官僚體制等。然而，公共選擇的方法論卻是經(jīng)濟(jì)學(xué)的。”〔19〕［美］丹尼斯· C. 繆勒：《公共選擇理論》，楊春學(xué)等譯，中國社會科學(xué)出版社1999 年版，第4 頁。當(dāng)然，也有學(xué)者認(rèn)為社會選擇理論與公共選擇理論是不同的，美國學(xué)者布坎南就持此觀點(diǎn)。本文認(rèn)可丹尼斯· C. 繆勒等學(xué)者的觀點(diǎn)。

從20 世紀(jì)40 年代末到50 年代初，公共選擇理論大師共有三位，即阿羅、布坎南 （Вuchanan）和森（Sen）。〔20〕參見阮守武：《公共選擇理論的方法與研究框架》，載《經(jīng)濟(jì)問題探索》2009 年第11 期，第1 頁。公共選擇理論的分析方法雖然源于經(jīng)濟(jì)學(xué)，分析的對象卻不是經(jīng)濟(jì)市場而是政治市場，在許多方面涉及法律問題。三位公共選擇理論大師研究的問題都與法律問題有關(guān)，尤其是布坎南，他撰寫的著作，如《贊同的計(jì)算：憲法民主的邏輯基礎(chǔ)》《自由的限度》《憲法契約中的自由》，完全是法學(xué)著作。當(dāng)然，其是從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度、公共選擇理論角度研究法學(xué)問題的。羅爾斯的名著《正義論》也是一本公共選擇理論方面的書籍。這是一本政治學(xué)專著，但誰又說它不是一本法學(xué)專著呢？這些著作豐富了法學(xué)理論，使法學(xué)理論有了新的分析視角。這種法學(xué)研究方法就是中國法學(xué)界倡導(dǎo)的社科法學(xué)。“社科法學(xué)的陣營本身是多元化的，不同的研究群體和學(xué)說在性質(zhì)、方法和理論上有差異，其理論抱負(fù)也未必完全一樣。但是，其共同點(diǎn)是保持智識上的開放性，否認(rèn)規(guī)范性研究作為法學(xué)研究的唯一正確出路。”〔21〕王啟梁：《中國需要社科法學(xué)嗎》，載《光明日報(bào)》2014 年8 月13 日，第16 版。從公共選擇理論角度研究法學(xué)，會使人們對法學(xué)問題的認(rèn)識更加深入。

社會選擇理論既然是公共選擇理論的組成部分，那么社會選擇理論就與政治科學(xué)密切相關(guān)，而政治科學(xué)與法律科學(xué)是密切聯(lián)系的，如投票規(guī)則的制定就與憲法或選舉法有關(guān)。正如英國社會學(xué)家布萊恩·特納所說：“好的理論必須介入到道德論題，與政治世界保持關(guān)聯(lián)。”〔22〕轉(zhuǎn)引自王啟梁：《中國需要社科法學(xué)嗎》，載《光明日報(bào)》2014 年8 月13 日，第16 版。社會選擇理論或者公共選擇理論就與政治問題密不可分。因此，阿羅不可能性定理既研究的是經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，也研究的是政治學(xué)問題、法學(xué)問題（當(dāng)然還有倫理學(xué)問題）。站在布萊恩· 特納的立場上，阿羅不可能性定理就是一個(gè)好的理論，能分析許多學(xué)科的問題。

在阿羅不可能性定理提出前，帕累托、庇古的理論在福利經(jīng)濟(jì)學(xué)界影響巨大。帕累托認(rèn)為，社會的改革，在增加一部分人利益的情況下，又不損害他人的利益，這才是最優(yōu)的，社會選擇與個(gè)人選擇在這種情況下才是一致的。經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的原理在政治、法律領(lǐng)域同樣適用，都是集合個(gè)人的選擇以形成社會選擇，如立法在議會（我國是人大及其常委會）的通過過程就是如此。正常的議會表決，全體一致是極少的，所以，社會選擇一般不會經(jīng)每個(gè)人同意才能做出，而是由多數(shù)人的意志決定。在現(xiàn)代社會，社會選擇與個(gè)人選擇一致起來的原則就是少數(shù)服從多數(shù)。在我國，無論是政治生活還是法律生活，都遵從這一原則。這一原則為現(xiàn)代社會普遍接受。但阿羅卻挑戰(zhàn)這一原則，發(fā)現(xiàn)按少數(shù)服從多數(shù)原則所確立的社會選擇并不反映多數(shù)人的意愿。阿羅這一結(jié)論是用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)證明的，其結(jié)論更具說服力。可以說，阿羅不可能性定理震驚了世界。

阿羅不可能性定理是這樣表述的：如果X 中的事件個(gè)數(shù)不小于3，那么不存在任何遵循原則U、Р、I、D 的社會福利函數(shù)。由阿羅不可能性定理可以得出兩個(gè)推論（設(shè)事件個(gè)數(shù)≥3）：推論1：遵循原則U、Р、I 的社會福利函數(shù)一定不遵循D，即它是獨(dú)裁規(guī)則。推論2：遵循原則U、Р、D 的社會福利函數(shù)一定不遵循獨(dú)立性原則I。

阿羅通過嚴(yán)密的數(shù)理邏輯推導(dǎo)證明，不可能存在任何一種社會選擇方法，能同時(shí)滿足如下五個(gè)條件，即無限制原則、一致性原則、獨(dú)立性原則、非獨(dú)裁原則和傳遞性原則。從個(gè)人偏好順序出發(fā)，無法推導(dǎo)出反映多數(shù)人意愿的社會選擇順序，無法得到一個(gè)合乎自由民主要求的規(guī)則。不管怎么做，都要違背五個(gè)條件中的一個(gè)。〔23〕無限制原則是指任何人的表態(tài)不受限制，不能規(guī)定對某些人不允許其某種表態(tài)。一致性原則是指社會選擇與個(gè)人選擇應(yīng)該是一致的，社會選擇不能與個(gè)人選擇相違背。人人都認(rèn)為不好的事，社會也應(yīng)該認(rèn)為是不好的。獨(dú)立性原則是指選擇的方案不應(yīng)該受到不相關(guān)的可選方案存在的影響。當(dāng)人們在關(guān)于兩件事進(jìn)行討論決策時(shí)，社會根據(jù)大家對兩件事的態(tài)度就能決定，不必牽涉其他事。倘若不做如此假設(shè)，選舉結(jié)果就會受偶發(fā)事件的影響。如選舉總統(tǒng)，總統(tǒng)候選人是三人，突然一候選人死去，對另外兩個(gè)候選人的投票，不應(yīng)該受死去候選人的影響。非獨(dú)裁原則是指不能把個(gè)人的偏好當(dāng)作社會偏好，社會選擇不能依賴于一個(gè)人的偏好，不能不考慮別人的意見，不能一個(gè)人說了算。傳遞性原則是指對于任何偏好組合，如果社會偏好a 勝于b，b 勝于c，則社會偏好a 勝于c。參見［美］肯尼斯·J. 阿羅：《社會選擇與個(gè)人價(jià)值》（第3 版），丁建峰譯，格致出版社、上海三聯(lián)書店、上海人民出版社2020 年版，第26-35 頁；史樹中：《數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)》，大連理工大學(xué)出版社2008 年版，第164-165 頁；［西］維森斯·拖拉：《數(shù)學(xué)與決策——數(shù)學(xué)讓你做決定》，呂紅艷譯，中信出版集團(tuán)2020 年版，第57-59 頁；何正斌譯著：《經(jīng)濟(jì)學(xué)300 年》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社2010 年，第274-276 頁。這就是說，阿羅用數(shù)學(xué)方法證明了民主選舉投票結(jié)果的不確定性，并且易于為人操縱，千百年來形成的少數(shù)服從多數(shù)的民主選舉制度的正當(dāng)性被阿羅摧毀了。倘若要求社會理性在邏輯上不能互相沖突，就必然會出現(xiàn)一個(gè)獨(dú)裁者；倘若不要任何形式的獨(dú)裁，做出來的社會選擇往往是非理性的。西方政治家、法學(xué)家向來炫耀的西方民主選舉制度，經(jīng)過阿羅的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，竟然面目如此可憎，無法實(shí)現(xiàn)社會正義。不但絕對民主是不可能實(shí)現(xiàn)的，更讓人感到驚悚的是，民主與獨(dú)裁成為一對聯(lián)體怪胎。

阿羅在《社會選擇與個(gè)人價(jià)值》（第3 版）開首就提到：“資本主義民主之下的社會選擇，實(shí)質(zhì)上有兩種方法：投票，通常用于做出‘政治’決策；市場機(jī)制，通常用于做出‘經(jīng)濟(jì)’決策。當(dāng)今應(yīng)時(shí)而生的混合經(jīng)濟(jì)體制的民主政體，如英國、法國和斯堪的納維亞諸國，也同樣采用這兩種方法，只不過，這些國家更加重視投票方法，以及直接或間接建立在投票機(jī)制而非價(jià)格機(jī)制之上的決策流程。”〔24〕［美］肯尼斯·J. 阿羅：《社會選擇與個(gè)人價(jià)值》（第3 版），丁建峰譯，格致出版社、上海三聯(lián)書店、上海人民出版社2020 年版，第1 頁。對于民主制度，我們以往更多關(guān)注的是政治民主、法律上的民主，而忽視了經(jīng)濟(jì)民主。其實(shí)，政治民主、法律上的民主屬于法律共同體研究的領(lǐng)域，經(jīng)濟(jì)民主也應(yīng)屬于，如股東民主就是公司得以形成獨(dú)立意志的基石，對之進(jìn)行研究既是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，也是公司法不可缺少的組成部分。在現(xiàn)代社會，議會幾乎在每個(gè)國家都有，只不過叫法不同。但現(xiàn)代議會制度的思想根源不是來自古希臘、古羅馬，而是來自中世紀(jì)。西方中世紀(jì)的行會、貿(mào)易公司，采用的就是間接民主的代議方式，把董事會作為權(quán)力的中心。在這種公司的權(quán)力分配制度影響下，產(chǎn)生了今天國家政治系統(tǒng)中的代議制。即美國的司法審查制度也源于“英國采用公司模式進(jìn)行殖民而產(chǎn)生的制度實(shí)踐所造成的思維習(xí)慣”。〔25〕鄧峰：《代議制的公司——中國公司治理中的權(quán)力和責(zé)任》，北京大學(xué)出版社2015 年版，第12-13 頁。所以，阿羅研究的許多政治決策和經(jīng)濟(jì)決策都與法律密不可分，也可算法律的組成部分。

（二）哥德爾不完全性定理對法學(xué)的影響

哥德爾不完全性定理（有人譯為哥德爾不完備性定理）是奧地利學(xué)者（后加入美籍）哥德爾創(chuàng)立的。由于創(chuàng)立了哥德爾不完全性定理，哥德爾被稱為20 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其在邏輯上的貢獻(xiàn)僅次于亞里士多德。〔26〕1965 年，奧地利著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家摩根施特恩（Oskar Мorgenstern）在致外交部部長的一封信中寫道：“毫無疑問，哥德爾是在世的最偉大的邏輯學(xué)家；確實(shí)，像外爾和馮·諾伊曼這樣的杰出思想家都承認(rèn)他確實(shí)是自萊布尼茨以來，或者說是自亞里士多德以來最偉大的邏輯學(xué)家……愛因斯坦曾對我說，他自己的工作本身對他來說已不再是那么重要了，他去研究院，只是為了能享有同哥德爾一同步行回家的特權(quán)。”［奧］約翰·卡斯蒂等：《邏輯人生——哥德爾傳》，劉曉力等譯，上海科技教育出版社2002 年版，第1 頁。1931 年，年僅25 歲的哥德爾發(fā)表了一篇題為《論〈數(shù)學(xué)原理〉及有關(guān)系統(tǒng)的形式之不可判定命題》論文。該文“既推翻了數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都能被公理化的信念和努力，又摧毀了希爾伯特設(shè)想的證明數(shù)學(xué)內(nèi)部相容性的全部希望。同時(shí)，這種否定最終促成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的劃時(shí)代變革，既分清了數(shù)學(xué)中的‘真’與‘可證’的概念，又把分析的技巧引入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。”〔27〕蔡天新：《數(shù)學(xué)簡史》，中信出版集團(tuán)2017 年版，第297 頁。該文闡述的內(nèi)容被稱為哥德爾第一不完全性定理：對于包含自然數(shù)系的形式體系F，如果是相容的，則F 中一定存在一個(gè)不可判定命題S，使得S 與S 之否定在F 中皆不可證。在第一不完全性定理的基礎(chǔ)上，哥德爾又創(chuàng)立了第二不完全性定理：對于包含自然數(shù)系的形式系統(tǒng)F，如果是相容的，則F 的相容性不能在F中被證明。

在哥德爾創(chuàng)立不完全性定理前，許多數(shù)學(xué)家對于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題非常關(guān)注。最早的幾何學(xué)基礎(chǔ)是由歐幾里得的《幾何原本》奠定的。但歐氏幾何體系存在不少缺陷，有的公理不夠簡明，有的是多余的；有的概念訴諸直觀，有的術(shù)語沒有明確定義，有的定義是無意義的循環(huán)定義。微積分出現(xiàn)后，引起了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)。為了消除危機(jī)，人們對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題更加關(guān)注。極限理論建立后，數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)便解決了。極限理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，實(shí)數(shù)理論則以集合論為基礎(chǔ)。集合論是19世紀(jì)后期數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的。數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題歸結(jié)到集合論上，集合論成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。由集合論衍生出來的數(shù)學(xué)分支很多，如一般拓?fù)鋵W(xué)、維數(shù)理論、測度論等；集合論也成為分形、分維、混沌等數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。集合論衍生出來的數(shù)學(xué)與經(jīng)典數(shù)學(xué)大為不同，被稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)。然而，“羅素悖論”（又稱“理發(fā)師悖論”）的出現(xiàn)，宣告集合論這個(gè)基礎(chǔ)也是存在問題的。為了消除悖論，數(shù)學(xué)家把集合論加以公理化，建立一種不會產(chǎn)生悖論的集合論。早在1899 年，希爾伯特出版的《幾何基礎(chǔ)》一書徹底清除了歐幾里得幾何學(xué)體系中的缺陷，發(fā)展了公理學(xué)，建立了新的公理學(xué)基礎(chǔ)。希爾伯特使幾何學(xué)具備了嚴(yán)密的公理化基礎(chǔ)，并使古典數(shù)學(xué)的內(nèi)容形式化。德國數(shù)學(xué)家策梅羅在希爾伯特研究公理化的基礎(chǔ)上，對集合論加以公理化。希爾伯特也認(rèn)為，羅素的“理發(fā)師悖論”主要是因?yàn)殂Ｕ撔躁愂鲋猩婕罢Z義內(nèi)容。倘若建立一種無意義的形式化的框架，也就是采用形式系統(tǒng)，就可以解決“理發(fā)師悖論”中涉及的問題。然而，哥德爾不完全性定理證明這是不可能的，企圖把數(shù)學(xué)形式化的打算是行不通的。不管是幾何學(xué)還是集合論，抑或是其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，都無法做到完全的公理推演，都不能保證自身內(nèi)部不存在矛盾，不出現(xiàn)悖論。希爾伯特盡管在幾何公理化方面成績卓著，使數(shù)學(xué)更加邏輯嚴(yán)密，但完全的公式化終究拯救不了數(shù)學(xué)，無法消除公理化方法的局限。“這樣，哥德爾不完全性定理的證明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭論不休的時(shí)期，走向了一個(gè)新的時(shí)代。”〔28〕胡作玄：《數(shù)學(xué)是什么》，北京大學(xué)出版社2008 年版，第239 頁。

哥德爾不完全性定理研究的是數(shù)學(xué)的元問題，元問題屬于根本性問題，對數(shù)學(xué)學(xué)科影響非常重大。當(dāng)然，哥德爾不完全性定理也屬于邏輯學(xué)中的元問題，對數(shù)理邏輯的發(fā)展影響重大。而數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，對其他學(xué)科有著舉足輕重的影響。因此，哥德爾不完全性定理對數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、其他學(xué)科的影響都是巨大的。

從古至今，人們都在追求確定的知識，渴望知識千古不變。人們把這種知識寄希望于數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)。我們知道，世界有三大邏輯體系，即西方的亞里士多德邏輯體系、中國的邏輯體系（名辯學(xué)）和印度的邏輯體系（因明學(xué)）。亞里士多德邏輯體系與中國的邏輯體系（名辯學(xué)）、印度的邏輯體系（因明學(xué)）有很大不同。亞里士多德邏輯體系有兩個(gè)支柱，即“不經(jīng)證明而被看作真的前提或公設(shè)的集，以及一些保證從一個(gè)真陳述變換為另一個(gè)真陳述的推理規(guī)則”。亞里士多德邏輯體系采用的是三段論推理，也就是說，演繹推理是數(shù)學(xué)和亞里士多德邏輯體系共同采用的方法，這種推理獲得的知識具有必然性、確定性。但哥德爾不完全性定理卻給演繹推理致命一擊，認(rèn)為“即使存在純數(shù)之間的真實(shí)關(guān)系，演繹邏輯的方法也因太弱而不能使我們證明所有這些事實(shí)。換句話說，真（Truth）就是大于證明”，〔29〕［奧］約翰·卡斯蒂等：《邏輯人生——哥德爾傳》，劉曉力等譯，上海科技教育出版社2002 年版，第2 頁。真與證明不是同一的。在法學(xué)領(lǐng)域，哥德爾不完全性定理同樣適用。

法學(xué)已經(jīng)發(fā)展了幾千年，法學(xué)的各個(gè)學(xué)科內(nèi)部都有嚴(yán)密的邏輯體系，法學(xué)的各個(gè)學(xué)科相互之間也都有緊密聯(lián)系。整個(gè)法學(xué)雖然分為許多學(xué)科，但在理論體系上卻協(xié)調(diào)一致。與法學(xué)相對應(yīng)，法律各部門內(nèi)部之間也都有嚴(yán)密的邏輯體系，法律各部門之間都有緊密聯(lián)系。從邏輯上說，法學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部理論之間、法律內(nèi)部規(guī)則之間與不同層級之間的法律，都必須具有無矛盾性、完備性和可證明性。法律人竭力想使法律內(nèi)部規(guī)則之間與不同層級之間的法律，具有無矛盾性、完備性和可證明性，但事實(shí)上，這種目的是無法達(dá)到的。“完美無缺”的法律在現(xiàn)實(shí)中從來沒有出現(xiàn)過，相反，大量的法律存在大大小小的漏洞。有的法學(xué)家認(rèn)為法律漏洞的出現(xiàn)是由于立法者認(rèn)識上存在缺陷，以及法律滯后于飛速發(fā)展的社會生活。有一些法律漏洞確實(shí)來自這些原因，但并不全然。可以說，不管法律人多么努力，法律修改得多么及時(shí)，法律漏洞是永遠(yuǎn)消除不了的，因?yàn)椋诂F(xiàn)象的后面，存在著固有的邏輯，這就是哥德爾不完全性定理在起作用。“立法者雖然可以通過建立更多的法律條文或?qū)Ψ蓷l文進(jìn)行解釋以完善法律體系，這種增加法律條文的行為或法律解釋在系統(tǒng)內(nèi)是可證明的，是協(xié)調(diào)的。但新增加的法律條文和法律解釋會形成新的法律系統(tǒng)，新的法律系統(tǒng)會形成新的矛盾命題，法律是永遠(yuǎn)不可完全的。法律的不可完全形成思維的邏輯困惑，它帶給法律人的困惑是法律系統(tǒng)自身無法解決的。”〔30〕李順萬：《法律完全性悖論及其解決方法》，載《江西社會科學(xué)》2009 年第9 期，第166 頁。

前面已經(jīng)說過，哥德爾不完全性定理帶給演繹推理致命一擊的是，演繹邏輯的方法因太弱而不能使我們證明所有事實(shí)。法官運(yùn)用法律進(jìn)行裁判，采用的是演繹推理。但當(dāng)法律存在漏洞時(shí)，法官就得想方設(shè)法填補(bǔ)法律漏洞，把原本的演繹推理變?yōu)轭惐韧评怼＿@時(shí)，“法官尋求的是相同案件相同處理，形式的演繹推理在這種場景被弱化——法律系統(tǒng)嚴(yán)密的邏輯要求與司法實(shí)踐中邏輯的弱化同樣形成思維的悖論”。〔31〕李順萬：《法律完全性悖論及其解決方法》，載《江西社會科學(xué)》2009 年第9 期，第166 頁。法律漏洞無疑是法律系統(tǒng)不完全的直接表現(xiàn)，盡管法律人在千方百計(jì)地尋求彌補(bǔ)法律漏洞，但到頭來，法律漏洞卻永遠(yuǎn)無法填補(bǔ)，讓眾多法律人發(fā)出無奈的感嘆。哥德爾的偉大之處就在于讓人們知道，即使跟著邏輯的腳步走，人們也會犯錯(cuò)，遇到無法解決的問題。

當(dāng)然，法律的不完全性與數(shù)論系統(tǒng)的不完全性是有一定區(qū)別的，但二者產(chǎn)生的原因都來自系統(tǒng)自身的矛盾。哥德爾發(fā)現(xiàn)不完全性定理啟發(fā)于“說謊者悖論”和“理查德悖論”，所以，哥德爾對悖論是有研究的，認(rèn)為悖論的產(chǎn)生與語義的封閉性有關(guān)。要排除語言的封閉性，就必須把語言分為不同的層次，不能用對象語言而只能用元語言討論語句的意義、真假。因此，在形式語言中可以消除語義悖論，但在自然語言中是無法做到的。而法律語言屬于自然語言，用自然語言建構(gòu)的法律系統(tǒng)，用語言層次論是難以消除其存在的悖論的。

其實(shí)，哥德爾不完全性定理證明過程完全是符號化的、形式化的推理，不涉及內(nèi)容。由于哥德爾不完全性定理研究的是元數(shù)學(xué)、元邏輯，它對許多學(xué)科都適用。所以，如果把法律內(nèi)容帶入該定理，也就是“把意義（語義內(nèi)容）添加到由形式系統(tǒng)的符號構(gòu)成的純句法的符號中去”，〔32〕［奧］約翰·卡斯蒂等：《邏輯人生——哥德爾傳》，劉曉力等譯，上海科技教育出版社2002 年版，第25 頁。那么，這個(gè)定理就是法律定理。由此，我們可以說，法律定理也能用形式化的數(shù)學(xué)語言或邏輯語言證明。

在法學(xué)界，德沃金認(rèn)為法律是一個(gè)“封閉完美體系”，在法律帝國里，不允許存在法律漏洞。“基于哥德爾的不完全性定理，建立在邏輯形式系統(tǒng)模型之上的法律完全性主張不能成立; 相反，若以社會系統(tǒng)為模型重新審視德沃金的法律完全性命題，則該命題的成立是可以得到保證的。而由形式系統(tǒng)向社會系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換，則為法律完全性命題的可能性論證提供了一個(gè)新的路徑。”〔33〕李貞元：《德沃金的法律完全性命題如何可能——從形式系統(tǒng)到社會系統(tǒng)》，載《系統(tǒng)科學(xué)學(xué)報(bào)》2015 年第2 期，第10 頁。

在國內(nèi)，有學(xué)者用哥德爾不完全性定理分析歷史上存在的幾種民主理論的局限性，指出了應(yīng)當(dāng)選擇的可行路徑。從古至今，先后出現(xiàn)過古典主義民主模式、平民主義民主模式、法治民主（麥迪遜式民主）模式和精英主義民主模式。萬紹紅在《民主的路徑：哥德爾不完全性定理的視界》一文中認(rèn)為，古希臘的雅典民主制度被認(rèn)為是民主的古典主義模式，實(shí)行“人民的統(tǒng)治”，決策規(guī)則是“完全一致”的同意規(guī)則，試圖將每個(gè)人的意愿融入民主系統(tǒng)。由于一致同意的規(guī)則不僅成本太高，更重要的是，“哥德爾不完全性定理指出要構(gòu)建達(dá)致一致同意的實(shí)踐系統(tǒng)是根本不可能的，多主體投票環(huán)境中投票悖論也證明了一致同意的虛幻性”。平民主義民主模式認(rèn)為民主是多數(shù)人的絕對民主，民主以政治平等為目標(biāo)，把少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則作為決策規(guī)則。這一模式糾正了古典主義民主模式“完全一致”的不可行性，但多數(shù)規(guī)則容易形成多數(shù)人暴政，導(dǎo)致集體選擇的非理性結(jié)果。從哥德爾不完全性定理分析，“‘多數(shù)規(guī)則’理論在邏輯上并不是自洽的，它往往會走向它的反面，即‘多數(shù)規(guī)則’悖論。平民主義民主理論為了實(shí)現(xiàn)自身的自洽，試圖采用‘多數(shù)規(guī)則’在內(nèi)部證明自己的一致性，恰恰犯了在系統(tǒng)內(nèi)證明自己一致性的幻想。”法治民主模式認(rèn)為，民主是一種妥協(xié)藝術(shù)，要實(shí)行憲法控制，對多數(shù)人的主權(quán)進(jìn)行限制。但“麥迪遜的所謂完美的憲法控制形式系統(tǒng)，也不是自足的”，容易形成少數(shù)人的暴政。精英主義民主模式認(rèn)為，民主歷來不是人民統(tǒng)治，實(shí)際上是少數(shù)精英的統(tǒng)治，民主其實(shí)就是由人民選舉由誰來充當(dāng)政治精英。“精英主義民主意圖建構(gòu)一個(gè)完美的‘精英’來引領(lǐng)人民朝向民主，在哥德爾不完全性定理的精義那里，所謂完美是不存在的，存在的只是所謂完美的想象。”〔34〕萬紹紅：《民主的路徑：哥德爾不完全性定理的視界》，載《阿壩師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)》2005 年第3 期，第23-24 頁。

以上古典主義民主模式、平民主義民主模式、法治民主（麥迪遜式民主）模式和精英主義民主模式都不符合哥德爾不完全性定理，是注定無法實(shí)現(xiàn)的。那么，有什么民主模式在現(xiàn)實(shí)中具有可行性呢？美國學(xué)者達(dá)爾提出了一個(gè)方案，即多元主義民主理論模式。達(dá)爾認(rèn)為，民主社會的一個(gè)特征就是人們都生活在一定的利益集團(tuán)中，在政治問題上很難形成多數(shù)，形不成控制一切的勢力，政治生活中出現(xiàn)的是以團(tuán)體為單元的大大小小的群體之間的多重博弈。所以，民主是多重少數(shù)人的統(tǒng)治。達(dá)爾的多元主義民主理論是一種“趨向民主”，是一步步向真實(shí)民主逼近，帶有自生自發(fā)的性質(zhì)。哥德爾不完全性定理告訴人們，在一個(gè)無矛盾的形式系統(tǒng)中，永遠(yuǎn)存在不可證明的定理，因此，人們把握真理的能力是有限度的。“達(dá)爾對理性抱有深深的疑慮，因而不曾也不敢建構(gòu)一個(gè)完美的形式系統(tǒng)以建構(gòu)民主。民主從達(dá)爾開始，從烏托邦的純粹民主步向了經(jīng)驗(yàn)的協(xié)商民主，既具有合理性又具有合法性，或者說正當(dāng)性。”〔35〕萬紹紅：《民主的路徑：哥德爾不完全性定理的視界》，載《阿壩師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)》2005 年第3 期，第41 頁。達(dá)爾建構(gòu)的多元主義民主理論是符合哥德爾不完全性定理的。所以，作為法學(xué)中重要的民主理論，通過哥德爾不完全性定理也可驗(yàn)證其可行性。

（三）納什均衡對法學(xué)的影響

博弈論，又稱對策論，研究在不同策略情況下人們是如何行事的。博弈論是數(shù)學(xué)家與經(jīng)濟(jì)學(xué)家合作的產(chǎn)物，現(xiàn)代博弈論幾乎與經(jīng)濟(jì)學(xué)同步發(fā)展，是在回答經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中所提問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，如同功利主義的創(chuàng)始人邊沁，在研究法學(xué)的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了功利主義。

博弈論主要是由馮·諾伊曼創(chuàng)立。1928 年，馮·諾伊曼提出了二人零和對策的極小化極大定理，宣告了博弈論的誕生。圖克（TucKer）研究了“囚徒困境”問題，納什提出了“納什均衡”理論，師徒二人奠定了非合作博弈論的基石。納什均衡已成為現(xiàn)代博弈論中最為核心的概念，極大地推動了博弈論的發(fā)展。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主羅杰·邁爾森（Мyerson）認(rèn)為，納什的非合作博弈理論是20 世紀(jì)人類最杰出的智力成果之一，其發(fā)現(xiàn)意義堪與生物學(xué)中發(fā)現(xiàn)DNA 的雙螺旋結(jié)構(gòu)相媲美。〔36〕參見［美］湯姆·齊格弗里德：《納什均衡與博弈論》，洪雷等譯，化學(xué)工業(yè)出版社2011 年版，第36 頁。而納什均衡理論奠定了現(xiàn)代非合作博弈論的基礎(chǔ)，此后，博弈論的發(fā)展大都與此有關(guān)，或完善它，或修正它。

納什均衡是指博弈的參與者針對對方的行動作出最佳反應(yīng)，使所有參與者的愿望都能得到滿足。納什均衡預(yù)示著局中人倘若不改變其策略，則別的局中人不能單方面改變自己的策略以增加自己的效用。局中人在有限的情況下參加有限行為的對策，就會至少存在一個(gè)這樣的均衡。

博弈論沖擊了主流的經(jīng)濟(jì)思想，以往亞當(dāng)·斯密的比喻“看不見的手”已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的“公理”，認(rèn)為市場參與者在追逐個(gè)人利益的同時(shí)客觀上會為整個(gè)社會財(cái)富的增長作出貢獻(xiàn)。但博弈論昭示人們，個(gè)人利己的合理追求并不導(dǎo)致社會最優(yōu)結(jié)果，“囚徒困境”就是典型例證。亞當(dāng)·斯密的“看不見的手”卻被“囚徒”死死地揪住不放，經(jīng)濟(jì)學(xué)家不得不為“囚徒”重新改寫經(jīng)濟(jì)學(xué)理論。然而，通過“囚徒困境”，“‘納什均衡’告訴我們，只有在利他中才能真正利己，也只有在使他人充分受益中才能使個(gè)人利益最大化，在受益者各方的共同努力下實(shí)現(xiàn)‘雙贏’”。〔37〕程祖瑞：《經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化導(dǎo)論》，中國社會科學(xué)出版社2003 年版，第103 頁。這個(gè)結(jié)論雖然讓亞當(dāng)·斯密及其信徒聽了不悅，但對法學(xué)卻是個(gè)福音，因其與社會主義核心價(jià)值觀是一致的，對指導(dǎo)立法、司法和守法有重要的參考價(jià)值。

在法學(xué)領(lǐng)域，雖然這么多年，國內(nèi)已有不少學(xué)者用博弈論研究法學(xué)，但與經(jīng)濟(jì)學(xué)相比還相差很遠(yuǎn)，研究的領(lǐng)域也不夠廣泛。有學(xué)者說過：“沒能充分利用博弈理論是不幸的，因?yàn)楝F(xiàn)代博弈理論為人們理解法律規(guī)則如何影響人的行為提供了非常深刻的洞察力。”〔38〕［美］道格拉斯·G.拜爾等：《法律的博弈分析》，嚴(yán)旭陽譯，法律出版社1999 年版，第1 頁。所以，當(dāng)眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家運(yùn)用博弈論分析經(jīng)濟(jì)問題取得輝煌成就時(shí)，法學(xué)家不能袖手旁觀，把這一新方法置若罔聞，使法律問題得不到庖丁解牛那樣的犀利解法。

“……現(xiàn)代的立法理念應(yīng)當(dāng)積極培育利益博弈，努力使利益博弈達(dá)成有效均衡。利益博弈的充分是有效均衡的前提，而只有讓更多的民眾參與立法才能使利益博弈更加充分。”〔39〕參見金小鵬：《論法與利益博弈、利益衡量》，中國人民大學(xué)2009 年法學(xué)博士論文。正義是社會制度的首要價(jià)值。法律不在于它是否有條理、有效率，而在于它是否正義；不正義的法律再有條理、效率，社會都應(yīng)摒棄。要想法律變得正義，在多元社會，立法時(shí)必須讓社會利益與官方通過博弈形成一種平衡，實(shí)現(xiàn)利益的協(xié)調(diào)。

運(yùn)用博弈論分析法律問題的論文不少。如王俊用博弈論分析見義勇為行為，并提出立法建議。見義勇為行為是弘揚(yáng)社會正氣且敢于同壞人做斗爭的行為，符合社會主義核心價(jià)值觀。但在很長一段時(shí)期內(nèi)，這種行為在社會上得不到弘揚(yáng)。王俊用博弈論分析了見義勇為行為得不到弘揚(yáng)的原因，其認(rèn)為作為理性人，人決定見義勇為的臨界點(diǎn)就是預(yù)期收益等于預(yù)期成本時(shí)。在見義勇為行為得不到系統(tǒng)的、持續(xù)的法律保障下，見義勇為者的收益為負(fù)值。由于缺乏信任，很少有人單打獨(dú)斗地將自己置于不利地位。因此，在他人遭受危難的情況下，在場者博弈的納什均衡結(jié)果是袖手旁觀、見死不救。這樣，別人采取何種策略（救還是不救）對自己都不會造成損失。所以，必須通過立法，運(yùn)用法律的手段填補(bǔ)信任的缺失，在法律中作出規(guī)定，對見義勇為行為予以適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和保護(hù)，尤其要加大保護(hù)力度，免除其后顧之憂；在他人遭受危難，自己有條件救助卻沒救助時(shí)，則予以法律懲罰。〔40〕參見王俊：《從博弈論視角透析見義勇為的立法路徑》，載《廣東商學(xué)院學(xué)報(bào)》2010 年第2 期，第85-88 頁。只有這樣，才會打破納什均衡，改變袖手旁觀、見死不救的局面，使社會風(fēng)氣發(fā)生根本改觀。

也有學(xué)者用博弈論分析司法腐敗問題。何遠(yuǎn)瓊在《站在天平的兩端——司法腐敗的博弈分析》一文中首先分析了原被告雙方當(dāng)事人在司法腐敗問題上的博弈，用二元矩陣來表示司法腐敗中原被告雙方當(dāng)事人之間的完全但不完美信息的博弈模型。作者用納什均衡的方法或嚴(yán)格占優(yōu)的方法求解這個(gè)博弈，得出原被告雙方當(dāng)事人都會采取賄賂策略這個(gè)解。接下來，作者構(gòu)建并分析了當(dāng)事人與法官之間的司法腐敗博弈模型，認(rèn)為當(dāng)事人與法官之間的博弈存在著多個(gè)解。當(dāng)事人和法官之間要達(dá)成賄賂這個(gè)均衡解，就只有在法官的腐敗行為產(chǎn)生的收益大于腐敗行為產(chǎn)生的成本和當(dāng)事人行賄行為產(chǎn)生的收益大于其舉報(bào)行為產(chǎn)生的收益的情況下才能實(shí)現(xiàn)。法官作為理性的博弈參與人，為了安全起見，一般只會接受當(dāng)事人一方的賄賂，那種吃了原告吃被告的說法在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的概率不高。作者還構(gòu)建并分析了法官與法官之間的司法腐敗博弈模型，以及加入律師變量后的司法腐敗博弈模型。總之，司法腐敗屬于小群體博弈，參與人對博弈的最終結(jié)果可能并不知曉。另外，司法腐敗在這種小群體范圍內(nèi)舉報(bào)率是非常低的，因?yàn)殡p方之間存在長期博弈的機(jī)會，如律師和法官之間。司法腐敗博弈存在多重均衡。

也有學(xué)者運(yùn)用博弈論研究訴訟法。上海交通大學(xué)凱原法學(xué)院教授王福華在論文《程序選擇的博弈分析》一文中研究了民事訴訟過程中的博弈行為。作者認(rèn)為“訴訟當(dāng)事人之間的關(guān)系具有交叉和對抗的特點(diǎn)，彼此的訴訟行為存在相互影響，因此訴訟具備了博弈論發(fā)生作用的場景”。〔41〕王福華：《程序選擇的博弈分析》，載《法治現(xiàn)代化研究》2020 年第5 期，第138 頁。在民事訴訟的每個(gè)環(huán)節(jié)，雙方訴訟當(dāng)事人都存在博弈的契機(jī)。作為理性人，民事訴訟雙方當(dāng)事人為了自身的利益，會精心選擇仲裁程序、非訟化程序或訴訟程序，以及決定訴訟的內(nèi)容和范圍，決定是否撤回、訴訟上和解、認(rèn)諾、舍棄等。由于民事訴訟不同于刑事訴訟，訴訟當(dāng)事人對主張的權(quán)利選擇余地大，這就使訴訟活動的每個(gè)階段都有可選方案，都有博弈的可能。程序選擇是一種雙方的博弈，不僅自己在選擇，而且還要考慮對方的選擇，根據(jù)對方的選擇而制定自己的對策。在民事訴訟中，雙方當(dāng)事人的程序選擇也存在一個(gè)均衡狀態(tài)，即納什均衡。“雙方當(dāng)事人達(dá)成協(xié)議約定管轄法院、適用簡易程序以及選擇調(diào)解程序解決糾紛，都是典型的程序博弈均衡；撤訴、承認(rèn)對方當(dāng)事人的訴訟請求等同樣是博弈均衡。”〔42〕王福華：《程序選擇的博弈分析》，載《法治現(xiàn)代化研究》2020 年第5 期，第142 頁。程序博弈過程中所實(shí)現(xiàn)的納什均衡未必意味著當(dāng)事人會得到最佳收益，因?yàn)橼A得訴訟的勝利還取決于當(dāng)事人掌握信息的多少、是否聘有訴訟經(jīng)驗(yàn)豐富的律師等條件；但納什均衡的實(shí)現(xiàn)，意味著雙方當(dāng)事人可以根據(jù)這種一致的預(yù)測，決定應(yīng)該選擇的糾紛解決程序，還意味著程序選擇博弈為訴訟合作提供了契機(jī)，使當(dāng)事人博弈的結(jié)果趨于和諧。所以，博弈論也能在司法上為和諧社會的實(shí)現(xiàn)貢獻(xiàn)力量。

誠實(shí)信用原則是民法中的一項(xiàng)重要原則，常被稱為民法特別是債法中的最高指導(dǎo)原則或“帝王規(guī)則”，在大陸法系中甚至被看作民法中唯一的基本原則。西方一些學(xué)者認(rèn)為誠信原則是“作為自然法之代表的對實(shí)在法的監(jiān)督者”。〔43〕徐國棟：《民法基本原則解釋——成文法局限性之克服》，中國政法大學(xué)出版社1992 年版，第77 頁。對這樣的一個(gè)重要的民法原則，我國法學(xué)界自然會對之進(jìn)行多角度深入研究。褚霞在《民法誠實(shí)信用原則的博弈論分析》一文中從博弈論角度分析誠實(shí)信用原則。在當(dāng)事人雙方都秉持誠實(shí)、恪守承諾的情況下，誠實(shí)信用原則的應(yīng)用有利于實(shí)現(xiàn)當(dāng)事人之間利益的均衡。但在一次性交易中，若沒有法律、道德這些外來約束，雙方當(dāng)事人的占優(yōu)策略是不遵守誠實(shí)信用原則，由此形成納什均衡。當(dāng)然，這一均衡是缺乏效率的。要使誠信策略占優(yōu)，成為雙方當(dāng)事人的首選，就必須或增加交易次數(shù)，或采用法律規(guī)制增加不誠信策略的成本。民事主體遵守誠信原則是出于利益的衡量。把誠信原則上升為法律是政府、社會和個(gè)人博弈過程中的最優(yōu)選擇。但在法律實(shí)施中，由于誠信原則是概括性規(guī)定，內(nèi)涵和外延具有不確定性，是給法官的空白委任狀，所以，要使誠信原則具有操作性，必須界定其適用條件，完善社會信用建設(shè)，健全信息公開制度，加大懲罰欺詐的力度。〔44〕參見褚霞：《民法誠實(shí)信用原則的博弈論分析》，載《東北財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)》2002 年第5 期，第90-91 頁。

從以上的介紹中可以看出，我國法學(xué)界運(yùn)用博弈論研究法律問題的領(lǐng)域頗為廣泛，一些研究論文相當(dāng)有深度。從國內(nèi)外來看，研究著作已有一批，如美國學(xué)者道格拉斯 ·G. 拜爾等撰寫的《法律的博弈分析》，約翰·西拉斯（John Cirace）撰寫的《法律、經(jīng)濟(jì)學(xué)和博弈理論》；中國學(xué)者李晟赟撰寫的《法律訴訟中的博弈》，徐偉功撰寫的《沖突法的博弈分析》。至于論文，已有不少。作者在知網(wǎng)上在“主題”選項(xiàng)下，用“法律的博弈分析”語句進(jìn)行搜索，共出現(xiàn)學(xué)術(shù)期刊論文170 篇，學(xué)位論文215 篇。所以，可以得出結(jié)論，目前法學(xué)界用博弈論方法研究法律問題已經(jīng)較為普遍。由于納什均衡在博弈論中的核心地位，幾乎任何一篇“法律的博弈分析”的論文，都繞不開納什均衡。納什均衡是數(shù)學(xué)理論，但采用這個(gè)方法研究法律問題也別開生面，增加了法學(xué)的研究深度。假如納什當(dāng)初在論證納什均衡時(shí)，像其師艾伯特·塔克（Albert Tucker）以“囚徒困境”名義闡述非零和博弈中的模型，那么，納什均衡就是一個(gè)法學(xué)定理。邊沁在法學(xué)中研究出功利主義哲學(xué)，是功利主義法學(xué)影響了功利主義哲學(xué)。應(yīng)該說，功利主義法學(xué)和功利主義哲學(xué)同時(shí)誕生。如果納什像邊沁那樣做，納什均衡就既是一個(gè)法學(xué)定理，也是一個(gè)數(shù)學(xué)定理。

三、數(shù)學(xué)方法在一定程度上可以證明法律問題

通過以上對用數(shù)學(xué)方法論證哲學(xué)社會科學(xué)問題的考察，以及幾個(gè)著名數(shù)學(xué)定理對法學(xué)影響的考察，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)方法在一定程度上可以證明法律問題。數(shù)學(xué)對社會科學(xué)、對法學(xué)的影響是全方位的，不但體現(xiàn)在第一級，即數(shù)據(jù)和信息的搜集上；而且體現(xiàn)在第二、三、四級上，即科學(xué)原理和經(jīng)驗(yàn)定律的定量表述上、數(shù)學(xué)模型的表述、研究和證實(shí)上、用數(shù)學(xué)模型來獲得科學(xué)洞察力上。

（一）數(shù)學(xué)對社會科學(xué)的影響是全方位的

從本文一、二部分可以看到，數(shù)學(xué)對社會科學(xué)產(chǎn)生了深刻影響。我們知道，自然科學(xué)不同于社會科學(xué)，數(shù)學(xué)對自然科學(xué)的影響是全面的、深入的，在一定意義上可以說，許多數(shù)學(xué)方法就是為自然科學(xué)的某些領(lǐng)域量體定制的，是為了推動自然科學(xué)的發(fā)展而發(fā)展起來的。〔45〕當(dāng)然，有些數(shù)學(xué)方法也是為某些社會科學(xué)量體定制的，如射影幾何、博弈論、角谷定理、集值映射的積分理論、近似不動點(diǎn)計(jì)算的算法等。射影幾何起源于繪畫，文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，為射影幾何的產(chǎn)生和發(fā)展創(chuàng)造了條件；博弈論的產(chǎn)生和發(fā)展與經(jīng)濟(jì)學(xué)有著密切聯(lián)系。社會科學(xué)研究的對象是社會現(xiàn)象，往往受研究主體的態(tài)度和意識的影響。而自然科學(xué)研究的對象是自然界的物質(zhì)現(xiàn)象，研究主體往往持客觀中立態(tài)度。數(shù)學(xué)研究對象是人們抽象出來的，在自然界并不存在，具有形式化的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)是脫離時(shí)間的，具有永恒性。數(shù)學(xué)的“秉性”與自然科學(xué)較為接近，〔46〕數(shù)學(xué)是否屬于自然科學(xué)，存在爭議。有人認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門獨(dú)立于自然科學(xué)的學(xué)科，同思維的關(guān)系更密切一些。我國著名科學(xué)家錢學(xué)森就主張數(shù)學(xué)應(yīng)該與自然科學(xué)、社會科學(xué)并列，具有同等地位。參見何柏生：《法律文化的數(shù)學(xué)解釋》，商務(wù)印書館2015 年版，第31 頁。因此，用數(shù)學(xué)方法研究自然科學(xué)，二者結(jié)合會非常緊密，客觀性得以保持。“基本的事實(shí)就是這樣：科學(xué)現(xiàn)在給大自然所描繪的圖像（看來只有這些圖像能夠與觀察到的事實(shí)一致）是數(shù)學(xué)化的圖像……大自然似乎精通純數(shù)學(xué)的規(guī)則……不管怎么說這一點(diǎn)幾乎是無可爭辯的；大自然和我們的有意識的數(shù)學(xué)心智根據(jù)同樣的規(guī)律來運(yùn)作。”〔47〕［美］М·克萊因：《數(shù)學(xué)與知識的探求》，劉志勇譯，復(fù)旦大學(xué)出版社2005 年版，第242 頁。用數(shù)學(xué)方法研究社會科學(xué)，雖然在一些方面結(jié)合得較為緊密，但由于社會現(xiàn)象非常復(fù)雜，研究主體要持客觀中立態(tài)度比較難，所以用數(shù)學(xué)方法研究社會科學(xué)，在許多領(lǐng)域必然存在“水土不服”現(xiàn)象。

不過，經(jīng)過幾千年的發(fā)展，數(shù)學(xué)已成為一個(gè)龐大的家族，各個(gè)分支學(xué)科在處理問題時(shí)各具特色：有些分支學(xué)科在自然科學(xué)領(lǐng)域游刃有余，在社會科學(xué)領(lǐng)域適用就比較困難；有些分支學(xué)科除能在自然科學(xué)領(lǐng)域適用外，還能在社會科學(xué)領(lǐng)域適用，尤其是20 世紀(jì)以來發(fā)展的數(shù)學(xué)分支。

學(xué)者把數(shù)學(xué)分為三代：第一代數(shù)學(xué)以“數(shù)”為研究中心，第二代數(shù)學(xué)以“事件”為研究中心，第三代數(shù)學(xué)以“思維”為研究中心。〔48〕參見閔珊華：《文學(xué)創(chuàng)作中的數(shù)學(xué)思維方法》，載《中國軟科學(xué)》1994 年第12 期，第108 頁。第一代數(shù)學(xué)用于數(shù)據(jù)和信息的搜集非常合適，第二、三代數(shù)學(xué)用于科學(xué)原理和經(jīng)驗(yàn)定律的定量表述上，用于數(shù)學(xué)模型的表述、研究和證實(shí)上，以及用于數(shù)學(xué)模型來獲得科學(xué)洞察力上都比較合適。所以，數(shù)學(xué)越發(fā)展，越能解決社會科學(xué)的問題。

（二）用數(shù)學(xué)方法論證法律問題已有諸多成功例證

大家知道，幾年前，南昌大學(xué)原校長周文斌因受賄、挪用公款而受審。在庭審過程中，這位工學(xué)博士運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、誤差理論、排列組合等數(shù)學(xué)理論，論證控方所提交證據(jù)的“荒謬”。〔49〕《南昌大學(xué)原校長周文斌受審 用概率論質(zhì)疑證據(jù)》，來源：httрs://news.qq.com/a/20150123/001151.htm，2022 年1 月23 日訪問。筆者沒有旁聽庭審過程，對案情不熟悉，不能判斷周文斌用數(shù)學(xué)方法質(zhì)證的效果，但二審對一審作出了改判，由無期徒刑改為12 年有期徒刑。另外，該案的審理，也表明數(shù)學(xué)方法在法律活動中是有用武之地的。

從博弈論中，我們知道有一個(gè)著名的“囚徒困境”，雖屬博弈論問題，但用法律語言把問題表述出來了。所以，“囚徒困境”完全就是個(gè)法律問題。如同亞里士多德創(chuàng)立了形式邏輯，但西塞羅把它用來研究法律問題，就成了法律邏輯學(xué)，法律邏輯學(xué)就成了法學(xué)研究對象。“囚徒困境”作為法學(xué)（法律）問題，在審訊犯罪嫌疑人時(shí)經(jīng)常會遇到。如果“囚徒”事先沒有溝通，從利益最大化原則出發(fā)，他們會坦白，把對方罪行供出，從而受到從輕處理。但是，“坦白從寬，牢底坐穿”，這是一些累犯、慣犯的切身體會；對于他們來說，從利己出發(fā)，結(jié)果對二人都不利；而共同合作，就能早日出獄。總之，“囚徒困境”雖然有它的經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、政治學(xué)等多方面的意義，但從字面分析，其首先是一個(gè)法律問題，最應(yīng)探尋的是其法律意義。“囚徒困境”是博弈論專家、經(jīng)濟(jì)學(xué)專家講的法律故事，論證方法是數(shù)學(xué)式的。所以，我們完全可以說，“囚徒困境”是用數(shù)學(xué)方法論證的法律問題。而“囚徒困境”具有廣泛的應(yīng)用性，其不但在解決法律方面問題上能適用（如決定訂立合同后是否遵守問題），更是在許多學(xué)科領(lǐng)域都能適用。

在法學(xué)家的著作中，早已有名著采用公理化方法，如霍布斯的《利維坦》《論公民》、孟德斯鳩的《論法的精神》、洛克的《政府論》等著作。〔50〕參見何柏生：《法律文化的數(shù)學(xué)解釋》，商務(wù)印書館2005 年版，第315-317 頁。這些名著從公理出發(fā)，通過嚴(yán)格的演繹推理，得出令人信服的結(jié)論。在近代西方著名的法典中，也廣泛采用公理化方法，如《法國民法典》。歐陸國家的哲學(xué)家把數(shù)學(xué)方法視為認(rèn)識之王，企圖把一切學(xué)科數(shù)學(xué)化。在拿破侖這個(gè)數(shù)學(xué)家〔51〕拿破侖不但是政治家、軍事家，而且是數(shù)學(xué)家。拿破侖對數(shù)學(xué)非常感興趣，在行軍打仗間隙，經(jīng)常研究平面幾何，曾為當(dāng)將軍還是數(shù)學(xué)家而躊躇。他提出了“拿破侖定理”，即以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)。他在立法上認(rèn)為：“將法律化成簡單的幾何公式是可能的，任何一個(gè)能識字并能將兩個(gè)思想聯(lián)系起來的人，就能作出法律上的裁決。”轉(zhuǎn)引自沈宗靈：《現(xiàn)代西方法律哲學(xué)》，法律出版社1983 年版，第98 頁。主持制定的《法國民法典》中，自然不缺乏數(shù)學(xué)因素。近現(xiàn)代法典都有基本原則，《法國民法典》也不例外。自由平等原則、所有權(quán)原則、契約自由原則和公序良俗原則是《法國民法典》的基本原則，構(gòu)成其公理。憲法典在制定過程中，也設(shè)有基本原則，即自由原則、民主原則和法治原則。這三項(xiàng)基本原則也構(gòu)成憲法典的公理。無論是民法典還是憲法典，基本原則是其邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)，法典內(nèi)的任何條文不得違背。

在世界各國的法庭上，用數(shù)學(xué)方法論證法律問題早已普遍化。彭中禮教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)方法在司法審判中的主題涉及三個(gè)層面：第一個(gè)層面是訴訟當(dāng)事人運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來論證某個(gè)法律命題；第二個(gè)層面是法官運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分配權(quán)利義務(wù)；第三個(gè)層面是通過數(shù)學(xué)方法來實(shí)現(xiàn)司法規(guī)則的建構(gòu)。〔52〕參見彭中禮：《法律論證中的數(shù)學(xué)方法》，載《政法論壇》2017 年第5 期，第6 頁。

當(dāng)然，在用數(shù)學(xué)方法論證法律問題上，值得關(guān)注的是我國學(xué)者涂少彬的觀點(diǎn)。涂少彬認(rèn)為法律行為的本質(zhì)是經(jīng)濟(jì)行為。既然經(jīng)濟(jì)行為的數(shù)學(xué)化表達(dá)已經(jīng)成為常態(tài)，那么，法律行為進(jìn)而法律問題的數(shù)學(xué)化表達(dá)就有了理論基礎(chǔ)。“經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)是基于資源稀缺性而以效率為目標(biāo)的行為選擇優(yōu)化的科學(xué)，它能借助邊際分析將行為選擇量化描述，它的研究對象適用于所有它的研究方法能夠切入的學(xué)科，包括法學(xué)。”〔53〕涂少彬：《論法學(xué)表達(dá)數(shù)學(xué)化的可能及限度——基于經(jīng)濟(jì)學(xué)與比例原則的切入》，載《法學(xué)評論》2020 年第4 期，第38 頁。當(dāng)然，在這里應(yīng)明確，盡管精確性是數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，數(shù)學(xué)化表達(dá)常常意味著精確性表達(dá)，但是，數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)也是其不可缺少的部分；因此，法律行為、法律問題的數(shù)學(xué)化表達(dá)也可體現(xiàn)為模糊、隨機(jī)表達(dá)。另外，我們不應(yīng)忘記，經(jīng)濟(jì)學(xué)是選擇的科學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)話題都與個(gè)人選擇有關(guān)。而法律行為也內(nèi)含著法律主體的權(quán)衡與選擇，追求效率最大化。所以，法律行為的本質(zhì)是經(jīng)濟(jì)行為，是一種選擇性的行為。

當(dāng)今的經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化表達(dá)已經(jīng)非常普遍，但在20 世紀(jì)初，經(jīng)濟(jì)學(xué)如同當(dāng)今的法學(xué)，數(shù)學(xué)化表達(dá)程度很低，是邊際革命開辟了經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化表達(dá)的新路徑。把邊際支出和邊際收入相比較，使量化進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)成為可能。于是，通過邊際分析可以對行為選擇進(jìn)行量化評估，并用數(shù)學(xué)模型來表達(dá)。由于法律行為是經(jīng)濟(jì)行為，法律行為同樣可以適用于邊際分析，借助于邊際分析，數(shù)學(xué)便進(jìn)入法學(xué)。“當(dāng)邊際分析進(jìn)入法學(xué)，它不會僅僅止于法律行為，而勢必順著法學(xué)概念的位階一步步滲入上位階，直到貫通整個(gè)法學(xué)理論體系：法律行為的量化表達(dá)引發(fā)法律關(guān)系的構(gòu)成、性質(zhì)及其范圍的量化確定，法律關(guān)系的數(shù)據(jù)化積累反過來影響法律制度的設(shè)定與實(shí)施，進(jìn)而最終明晰法律價(jià)值的權(quán)衡、設(shè)定與落實(shí)；反過來，法律價(jià)值與法律制度層面的量化權(quán)衡與設(shè)定有利于法治共識的擴(kuò)大及其實(shí)踐的科學(xué)化。”〔54〕涂少彬：《論法學(xué)表達(dá)數(shù)學(xué)化的可能及限度——基于經(jīng)濟(jì)學(xué)與比例原則的切入》，載《法學(xué)評論》2020 年第4 期，第41 頁。涂少彬具體分析了人權(quán)價(jià)值和正義價(jià)值如何數(shù)學(xué)化問題。人權(quán)在法學(xué)中被認(rèn)為是至高無上的權(quán)利，人的生命是無價(jià)的。但在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以通過成本收益分析法得出一個(gè)人生命的價(jià)值。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，法律對人權(quán)的保障水平受資源稀缺性制約，人權(quán)的價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)受本國可支配資源的制約；所以，一國法律對人權(quán)保障的水平與人權(quán)保障支出的機(jī)會成本有關(guān)，與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平有關(guān)。因此，生命權(quán)的保障受制于資源稀缺的制約，它能夠通過機(jī)會成本的大小來建立函數(shù)進(jìn)行估算；其他權(quán)利也可通過此方法加以估算。涂少彬的觀點(diǎn)為法學(xué)數(shù)學(xué)化提供了一種可行途徑，至少他對人權(quán)和正義價(jià)值的量化分析許多法學(xué)家從感情上未必同意，但實(shí)際生活中確實(shí)是這么做的。

（三）既精通法學(xué)又精通數(shù)學(xué)的人才在法律數(shù)學(xué)化過程中的必要性

在用數(shù)學(xué)方法證明法律問題時(shí)，必須有精通數(shù)學(xué)的學(xué)者甚至數(shù)學(xué)家的參與。我們從經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化過程中可以看出，經(jīng)濟(jì)學(xué)之所以能在數(shù)學(xué)化過程中取得巨大成績，就是由于大量數(shù)學(xué)家甚至一流數(shù)學(xué)家的參與。馮·諾伊曼是20 世紀(jì)頂尖的數(shù)學(xué)家，在集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、測度論、遍歷理論、群論、算子理論和格論等方面對純粹數(shù)學(xué)作出了杰出貢獻(xiàn)。當(dāng)然，在應(yīng)用數(shù)學(xué)上，他做出的貢獻(xiàn)更大，被稱為“計(jì)算機(jī)之父”“博弈論之父”。由于這樣級別的數(shù)學(xué)家用博弈論研究經(jīng)濟(jì)學(xué)，很快就在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域取得了重要成就。他與經(jīng)濟(jì)學(xué)家摩根斯坦合作，于1944 年出版了《對策論與經(jīng)濟(jì)行為》一書，成為現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開拓者之一。1975 年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的康托洛維奇（Kantorovich）也是蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家，17 歲就解決了一些數(shù)學(xué)難題，22 歲晉升為大學(xué)教授，曾因數(shù)學(xué)成就獲得斯大林獎。他因?qū)?jīng)濟(jì)問題感興趣而研究線性規(guī)劃，利用線性規(guī)劃技巧研究資源配置問題，寫出了《經(jīng)濟(jì)資源的最優(yōu)利用》一書。學(xué)者史樹中曾對2001 年前獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的學(xué)者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，在49 名獲得者中，有16 人曾獲得過數(shù)學(xué)學(xué)位，8 人曾獲得過理工專業(yè)學(xué)位。〔55〕參見史樹中：《諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎與數(shù)學(xué)》，清華大學(xué)出版社2002 年版，第7 頁。沈自強(qiáng)認(rèn)為用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)理論從而獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的人數(shù)占全部人數(shù)的一半以上（數(shù)據(jù)截至2014 年）。參見沈自強(qiáng)：《諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)分布：哲理、數(shù)理與技理》，載《中國傳媒大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》2014 年第6 期，第15 頁。截至2007 年，獲獎的61 人中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)士17 人，占27.87%；獲得數(shù)學(xué)碩士10 人，占16.39%；獲得數(shù)學(xué)博士10 人，占16.39%。擁有數(shù)學(xué)學(xué)位的獲獎?wù)叱^了一半，許多獲獎?wù)叩墨@獎?lì)I(lǐng)域與數(shù)學(xué)有關(guān)。參見尹莉：《諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者的地理分布及數(shù)學(xué)化趨勢》，載《西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》2008 年第2 期，第342 頁。經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化之所以搞得轟轟烈烈，就是因?yàn)橛羞@些數(shù)學(xué)通在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域翻江倒海。

在我國法學(xué)界，既懂法學(xué)又懂?dāng)?shù)學(xué)的人寥寥無幾，更重要的是這些人對采用數(shù)學(xué)方法研究法學(xué)的興趣。前面提到，九江學(xué)院甘筱青教授之所以能帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)，對《論語》《孟子》《道德經(jīng)》《荀子》等書從公理化角度進(jìn)行闡述，對傳播諸子百家做出重要貢獻(xiàn)，就因?yàn)楦鼠闱嗉仍谇迦A大學(xué)獲得過數(shù)學(xué)博士學(xué)位，又對傳統(tǒng)文化感興趣。由于我國法學(xué)院校普遍對數(shù)學(xué)不重視，開設(shè)數(shù)學(xué)課的院校非常少，這就使我國法律人普遍對高等數(shù)學(xué)不熟悉，在法律數(shù)學(xué)化過程中難以有所作為。要改變這種不利局面，不是一朝一夕能解決的。倒是有一些法律碩士，其中不少有理工專業(yè)甚至數(shù)學(xué)專業(yè)背景，他們在法律數(shù)學(xué)化過程中有可能會做出貢獻(xiàn)。

四、結(jié)語

隨著法學(xué)界對數(shù)學(xué)重要性認(rèn)識的加深，數(shù)學(xué)方法在法學(xué)研究中的應(yīng)用越來越廣泛，用數(shù)學(xué)方法論證法學(xué)問題會越來越多。當(dāng)然，比起自然科學(xué)來，許多法學(xué)問題目前尚無法采用數(shù)學(xué)方法論證；但法學(xué)研究人員應(yīng)該清楚，科學(xué)技術(shù)是不斷發(fā)展的，過去無法采用數(shù)學(xué)方法論證的法學(xué)問題，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在可以采用了。比如，隨著計(jì)算機(jī)、信息科學(xué)的發(fā)展而可以采用大數(shù)據(jù)研究法學(xué)問題，過去無法量化處理的法律問題現(xiàn)在就可量化處理了。另外，數(shù)學(xué)也是不斷發(fā)展的，以前無法用數(shù)學(xué)方法解決的法律問題，隨著新的數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)迎刃而解。比如，隨著博弈論的誕生，一些法律問題就可用數(shù)學(xué)方法解決了。“納什的‘美麗心靈’掀起了一場智力革命，并最終推動博弈論從一種時(shí)尚轉(zhuǎn)變?yōu)檎麄€(gè)社會科學(xué)的基礎(chǔ)。”〔56〕［美］湯姆·齊格弗里德：《納什均衡與博弈論》，洪雷等譯，化學(xué)工業(yè)出版社2011 年版，第35-36 頁。

就目前數(shù)學(xué)對法學(xué)的影響來說，在數(shù)學(xué)影響的四個(gè)等級中，數(shù)據(jù)和信息的搜集已經(jīng)在法學(xué)研究中廣泛采用。但在法學(xué)領(lǐng)域中，科學(xué)原理和經(jīng)驗(yàn)定律的定量表述、數(shù)學(xué)模型的表述研究和證實(shí)以及用數(shù)學(xué)模型來獲得科學(xué)洞察力這三個(gè)等級中，雖然不乏成功的實(shí)例，但總的來說，數(shù)學(xué)的影響有待加強(qiáng)。而法學(xué)研究只有廣泛進(jìn)入這三個(gè)等級中，常態(tài)化地采用數(shù)學(xué)方法論證法學(xué)問題，數(shù)學(xué)方法才會成為法學(xué)研究的常用方法，法學(xué)研究才會更加深入。不管怎樣，法學(xué)問題或法律問題，用數(shù)學(xué)方法是可以論證或證明的。“囚徒困境”就是一個(gè)法律問題，已經(jīng)用博弈論這一數(shù)學(xué)方法順利解決。

抽象性是數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念沒有直接的現(xiàn)實(shí)原型，不指稱現(xiàn)實(shí)世界存在的某種具體的東西。數(shù)學(xué)理論往往有多種解釋，每一解釋都是一個(gè)自然科學(xué)、社會科學(xué)的理論。因此，任何一種數(shù)學(xué)方法，只要能解決法律問題，就會形成一種新的理論。如博弈論，用來解釋經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，就會形成一種新的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論；用來解釋法學(xué)問題，就會形成一種新的法學(xué)理論。所以，前文所說的阿羅不可能性定理、哥德爾不完全性定理和博弈論，切勿把它看作與法律無關(guān)的數(shù)學(xué)定理或數(shù)學(xué)理論，只要它能解釋法律問題，說它是法學(xué)定理也未嘗不可。只需把定理中的字母變?yōu)榉蓡栴}，數(shù)學(xué)定理就變成法學(xué)定理。