基于Schnerr-Sauer模型的噴嘴含沙空化流動計算

夏玉立，趙 越

（1.浙江省水利發展規劃研究中心，杭州 310019；2.國際小水電中心，杭州 310002）

0 引 言

空化是一種復雜的多相流動，受空核、表面張力、表面粗糙度等因素的影響，在壓強低于飽和蒸汽壓時發生，其本質為相變［1］。空化能夠誘導強烈的振動與噪聲，對材料造成嚴重的空蝕破壞，但同時又可用于提高切割、清洗、破巖等方面的工作效率［2］。我國西北地區河流沙粒含量不同，圖1所示為黃河不同觀測站處沙粒含量的變化，沙粒不同的粒徑與含量對空化初生和空化發展具有顯著影響，對運行的流體機械也會造成空蝕與磨蝕的聯合破壞。

季斌和羅先武［3］采用基于質量傳輸方程的空化模型對繞三維水翼的空化流動進行了數值模擬，得到的空穴形態與空泡脫落周期和實驗結果相比吻合度較高；Arndt 等人［4］研究了NACA0015 水翼空化的流體動力特性，發現了攻角與空化數的變化會對其產生影響；李向賓等［5］通過對湍流模型進行修正，并采用修正前后的湍流模型模擬繞水翼時的超空化現象，結果表明修正后的模擬結果與試驗結果更為吻合；戚定滿［6］等通過邊界元的研究方法模擬了兩個空泡相鄰時的運動情況和演變規律，并且得出當空泡發生潰滅時速度與時間的關系；Gregorc 等［7］分析了不同沙粒與清水比例對空化發展程度的影響；Borkent 等［8］研究了4種不同類型的沙粒對空化流動發展的影響；Wagterveld等［9］分析發現空泡的擴展能夠使晶體做加速運動；Pavard 等［10］發現在高壓與微射流的影響下，空泡能夠成功地將沙粒推開；張濤等［11］發現了空蝕與磨蝕對翼型聯合破壞的影響因素。

本文通過選取沙粒粒徑分別為0.02、0.04、0.06、0.07、0.08 mm，沙粒含量分別為0.02、0.04、0.06、0.07、0.08，著重研究了不同沙粒粒徑與沙粒含量對噴嘴內空化流動的影響。數值計算過程選用RNGk-ε湍流模型及Schnerr-Sauer 空化模型求解二維噴嘴內不同沙粒粒徑與含量下的含沙粒空化流動。

1 數值算法

1.1 基本方程

沙粒對二維噴嘴內空化流動影響數值計算的連續性方程、動量方程、輸運方程［12］如下所示：

式中：u為混合速度；ρm為混合密度；ρl、ρs與ρv為清水、沙粒、與氣體的密度；αl、αs和αv為清水、沙粒、氣體的含量；μm為混合黏度；μl、μs與μv為清水、沙粒、氣體的黏度；m+為蒸發過程中的源項；m-為凝結過程中的源項。

1.2 空化模型

Schnerr-Sauer 模型是一種均質流模型，具有模型中不存在經驗系數的特點［13］，本文使用Schnerr-Sauer 空化模型來求解二維噴嘴內清水介質與氣體之間的質量傳輸。

式中：rb為空泡半徑，其值為1.0×10-5mm；pv為飽和蒸汽壓；p為局部壓力。

1.3 湍流模型

為充分考慮流動過程旋轉效應的影響，本文使用RNGk-ε湍流模型［14］來封閉空化流動過程中的雷諾時均Naiver-Stokes方程。

式中：k為湍動能；ε為湍流耗散率；Gk為由平均速度梯度所產生的動能生成項；C1ε與C2ε為經驗常數；αk、αε與cμ的值分別為1.39、1.39、0.09。

考慮到氣相是可以壓縮的，對RNGk-ε湍流模型進行修正，方程（11）中，n為常數，根據相關文獻研究，取其值為10［15］。修正后，使得空化區域的湍動黏度顯著下降，湍動黏度的修正函數如圖2所示。

2 數值計算

2.1 基本介紹

在對二維噴嘴內含沙粒空化流動的數值計算過程中，清水介質為主相，沙粒與氣體為次相，將非冷凝氣體的影響予以忽略［16］。由于沙粒粒徑較小，將沙粒視作球形擬流體處理。

2.2 空化數定義

空化數用于描述空化發展的形態，為一無量綱數，常包含有初生空化數、臨界空化數，其定義如方程（12）所示［19］。

式中：v∞為無窮遠處流場的速度；p∞為無窮遠處的壓力。

2.3 模型與網格

計算選用流體力學驗證手冊［17］里的二維噴嘴模型，入口直徑為23 mm，出口直徑為8 mm，噴嘴總長為48 mm，噴孔的長度為32 mm。為提高數值計算的精確度，對計算模型運用結構化網格進行離散，并對網格做無關性分析，結果如表1所示。發現隨網格數的增加，清水介質的空化數的變化較小，最大相對誤差小于0.3%，因此為節約計算資源，在后續的清水介質空化流動與含沙粒空化流動的數值計算過程中，選取的網格數目為14 330。

表1 網格無關性分析Tab.1 Grid independence analysis

2.4 物理參數與邊界條件

數值計算過程中的溫度為25°C，沙粒密度為2 650 kg/m3，氣體密度為0.025 58 kg/m3，黏度為1.26×10-6Pa·s，空泡的半徑為1.0×10-5m，空泡數密度為1.0×1013，飽和蒸汽壓為3 540 Pa。噴嘴入口設定為總壓入口250 MPa，出口設定為靜壓出口95 kPa。計算通過標準壁面函數來處理壁面處的湍流流動，為加速收斂，用SIMPLEC算法求解整個流場。

2.5 算法驗證

為驗證上述算法的合理性，對繞二維NACA0015 翼型的空化流動進行數值計算并與實驗結果進行對比。此翼型的弦長為115 mm，攻角為5°，整個計算域為120 mm×500 mm，如圖4所示。

數值計算將上下邊界設置為無滑移邊界條件，左側邊界設置為速度入口，右側邊界設置為壓力出口，壓力的給定依據特定的空化數。當空化數為σ=1.5 時，翼型表面的壓力系數的實驗與數值計算結果如圖5所示，兩者吻合良好［18］，計算結果表明上述算法用于數值計算含沙粒空化流動具有一定的可行性。

3 結果分析

選取沙粒粒徑為0.07 mm 與沙粒含量在8%下的噴嘴空化流動計算結果，觀察靜壓、氣體、與沙粒在二維噴嘴內的分布特性。

3.1 靜壓與氣體分布

如靜壓的分布圖6所示，低壓區主要集中在噴孔起始段的兩側，且兩者的分布均為軸對稱分布，與氣體體積分數分布圖7中高體積分數區基本重合，該現象表明該區域為含沙粒空化流動初生區域。

3.2 沙粒分布

沙粒分布對空化流動的發生與發展有著較為顯著的影響，可誘導形成更多的空核，同時也對壓力脈動形成顯著的影響。流動下的沙粒的分布如圖8所示，由于沙粒重力造成的沉降，沙粒堆積與靜壓和氣體體積分數的分布類似，呈軸對稱分布于噴嘴入口段的兩側。

3.3 空化數的變化

如表2所示，通過式（12）計算得到各工況下的含沙粒空化流動的空化數均低于清水介質下的1.379；通過圖9與圖10 可以看出空化數隨沙粒粒徑與沙粒含量的變化存在波動，沙粒促進了空化流動在二維噴嘴內的發展，但促進空化程度各不相同。

表2 含沙粒空化流動的空化數Tab.2 Cavitation number in cavitation flow containing sand particles

3.3.1 空化數隨沙粒含量的變化

圖9為當沙粒粒徑給定時，空化數隨沙粒含量的變化。當沙粒粒徑為0.02 與0.04 mm 時，空化數隨沙粒含量的增加持續下降，而當沙粒含量為0.08 時達到最小值，此時對空化流動的影響最為劇烈。當沙粒粒徑為0.06 mm 時，空化數隨沙粒含量的改變有較劇烈的波動，呈“W”型變化；當沙粒含量為0.06 時空化數達到最大值，此時的沙粒對空化流動的影響最小。當沙粒粒徑為0.07 與0.08 mm 時，兩者的空化數隨沙粒含量的變化相類似，空化數表現為整體下降，但在沙粒含量由0.04 變為0.06 時，空化數又有適度的增長，空化數同沙粒粒徑為0.02 與0.04 mm時的類似，也在沙粒含量為0.08時達到最小值。

3.3.2 空化數隨沙粒粒徑的變化

空化數隨沙粒粒徑的變化如圖10所示，當沙粒含量為0.02與0.04 時，空化數的變化整體呈現“V”走勢，而當沙粒粒徑為0.06 mm 時所得到的空化數值最小。沙粒含量為0.02 時的空化數隨沙粒粒徑由0.02 mm 增加至0.04 mm 而變大，但當沙粒含量為0.04 時卻有較為顯著的下降，而沙粒含量為0.06、0.07、0.08 下的空化數隨沙粒粒徑的變化具有相同的規律。通過計算結果可以看出，隨沙粒粒徑的增加，空化數呈現先減少后增加再減少的變化趨勢，但在具體的沙粒粒徑含量范圍內，空化數的變化程度各不相同，但都在沙粒含量為0.04 時空化數出現最小值，說明了沙粒對空化流動影響的多樣性。

4 沙粒作用

含沙空化流動的空化數均小于清水下的空化數表明沙粒促進了空化流動的發展，綜合考慮沙粒的特性以及對流場變化的影響，其主要原因解釋如下：

（1）在含沙粒空化流動中，沙粒能夠誘發形成更多的空核，從而形成更多的空泡，空核初生演化為空化泡的過程［20］如圖11所示。

（2）虛擬質量力［21］為間接接觸力，在含沙粒空化流動中有較為顯著的作用，該力能夠使得清水、沙粒、氣體的混合動能增加。依據伯努利方程可知，在此力的作用下壓力會得到顯著降低，從而有效促進空化流動的發展。

（3）沙粒是一種疏水性不浸潤的固體材料，二維噴嘴內的含沙粒空化流動下所形成的拉應力比清水空化流動大，更容易形成空泡，進而促進空化的發生與發展。

（4）由于清水與沙粒的密度差，當清水的速度減小時，由于受到慣性的影響，沙粒的速度會小于清水速度形成速度差，進而造成滑移速度。圖12 為清水空化流動與含沙水空化流動下的滑移速度比較，以沙粒粒徑為0.06 mm，沙粒含量分別為0.02、0.04、0.06、0.08 的滑移速度云圖分布為例進行說明。計算結果表明，含沙粒空化流動的滑移速度相比清水流動更大，同時依據公式（13）還可得到，含沙粒空化流動下的薩夫曼升力［22］也要大于清水空化流動。可以看出在滑移速度與薩夫曼升力的共同影響下，含沙粒空化流動中的壓降顯著，相比清水流動更加能夠促進空化流動的發展。

式中：第1 項表示為速度在y方向上的梯度；第2 項表示為清水與沙粒之間的滑移速度的絕對值。

（5）含沙粒空化流動的湍動能高于清水空化流動。以沙粒粒徑為0.06 mm，沙粒含量為0.02、0.04、0.06、0.08的湍動能分布云圖13為例進行說明。湍動能增大致使壓力波動程度變大，能夠顯著促進含沙粒空化流動中壓力的下降，促使空化流動在二維噴嘴內的發展。

5 結 論

本文基于Schnerr-Sauer 空化模型和RNGk-ε湍流模型研究二維噴嘴內不同沙粒粒徑與沙粒含量下的含沙粒空化流動，并選用流體力學驗證手冊中的二維噴嘴模型進行計算分析，得到的主要結論有。

（1）靜壓、氣體體積分數、沙粒在二維噴嘴內的分布均為軸對稱分布。

（2）沙粒粒徑為0.06、0.07、0.08 mm 時的空化數隨沙粒含量的波動程度高于沙粒粒徑為0.02 mm 與0.04 mm 時的空化數，而當沙粒含量為不變量時，空化數波動程度受沙粒粒徑變化影響更大大。

（3）沙粒特性、滑移速度、薩夫曼升力、湍動能的共同作用促進了噴嘴內的含沙水流動空化的發展。□