基于衰減路徑時變性的壓力容器疲勞裂紋安全裕度研究

謝 陽, 趙 波, 龍 偉, 劉華國, 李炎炎

(1. 四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 成都 610065; 2. 先進(jìn)制造技術(shù)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610065)

1 引 言

隨著我國邁入中國制造2025計(jì)劃，壓力容器作為關(guān)乎經(jīng)濟(jì)發(fā)展的特種儲存設(shè)備，其重要性越來越明顯，尤其在石油天然氣工程、核動力工程、化工工程和空氣動力學(xué)試驗(yàn)等國家重點(diǎn)工程項(xiàng)目中被廣泛使用.大型壓力容器在生產(chǎn)制造和環(huán)境介質(zhì)等外部條件影響下，其表面和內(nèi)部會存在各種先天性或后發(fā)性缺陷，如凹坑、夾渣、裂紋、未焊透等.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，引起這些事故最主要的缺陷形式是裂紋[1-2].傳統(tǒng)方法對于壓力容器安全程度的評估是在考慮彈性斷裂和塑性失穩(wěn)的基礎(chǔ)上，形成雙判據(jù)失效評定圖(Failure Assessment Diagram, FAD)[3].對于安全程度的計(jì)算為“射線法”，但是射線法只能從靜態(tài)的角度出發(fā)，判斷裂紋缺陷靜態(tài)的剩余安全裕度大小，無法表征裂紋擴(kuò)展過程中的時變性對含裂紋缺陷下的動態(tài)安全裕度[4].本文的主要研究目的是通過對不同類型的裂紋在擴(kuò)展過程中裂紋幾何形態(tài)變化的研究，得出不同裂紋類型下的安全衰減路徑，建立含缺陷壓力容器在不同裂紋初始尺寸下的動態(tài)安全裕度表征模型;從而解決傳統(tǒng)安全裕度計(jì)算方法無法實(shí)時表征安全裕度大小的缺點(diǎn)，為含缺陷壓力容器的安全裕度評定提供新的思路.

2 裂紋的擴(kuò)展規(guī)律及關(guān)聯(lián)函數(shù)

不同類型的裂紋在擴(kuò)展過程中裂紋幾何形態(tài)變化影響著安全衰減路徑的建立，進(jìn)而影響含缺陷壓力容器在不同初始裂紋尺寸下，動態(tài)安全裕度表征的準(zhǔn)確性，所以對于裂紋擴(kuò)展規(guī)律的探究十分必要.

2.1 裂紋擴(kuò)展規(guī)律準(zhǔn)則

根據(jù)大型壓力容器構(gòu)造特點(diǎn)，其曲率很小，可以忽略不計(jì). 將含裂紋處簡化為如圖1所示受均勻張力的平板進(jìn)行研究[5].計(jì)算時將表面裂紋和埋藏裂紋規(guī)則化為(半)圓形或(半)橢圓形.

圖1 含埋藏裂紋的平板Fig.1 Flat plate with emdedded cracks

疲勞裂紋擴(kuò)展主要是描述裂紋在疲勞載荷作用下的形狀變化.不同類型的裂紋都遵循基于斷裂力學(xué)理論及實(shí)驗(yàn)提出的疲勞裂紋擴(kuò)展式[6-8]，即Paris公式:

(1)

式中ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍;C和m是與材料有關(guān)的參數(shù), 通過試驗(yàn)測得,m取值2～7.

考慮到裂紋擴(kuò)展存在“閉合效應(yīng)”，Elber[9-10]最早發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象，同時，定義了裂紋閉合系數(shù)U并給出經(jīng)驗(yàn)公式U=0.5+0.4R，Schijve[11]對公式進(jìn)行修正如下：

U=0.55+0.35R+0.1R2

(2)

將式(2)代入式(1)，有：

(3)

利用Paris公式分別計(jì)算裂紋長度值c和深度值a與疲勞應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的積分關(guān)系.以埋藏裂紋為例，如圖2，在計(jì)算中只考慮前端的中心裂紋處A和邊界裂紋處B. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(4)

(5)

上兩式中ΔKA、ΔKB分別為中心裂紋處A，邊界裂紋處B的應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化范圍；CA、CB分別為中心裂紋處A，邊界裂紋處B的Paris公式常數(shù).

圖2 埋藏裂紋初始形狀Fig.2 The initial shape of the embedded crack

將式(4)和(5)進(jìn)行數(shù)值迭代，能夠獲得關(guān)于裂紋缺陷深度值與長度值的關(guān)聯(lián)關(guān)系：

(6)

從式(6)可知，裂紋在深度和長度方向上的關(guān)聯(lián)關(guān)系，不僅與裂紋尖端處應(yīng)力強(qiáng)度因子K，而且和材料常數(shù)C、m相關(guān). 對于表面裂紋，其在裂紋長度方向上存在較大的塑性區(qū)，受表面的延展性阻礙作用[12]，在一定程度上將影響長度c的擴(kuò)展，可以取CA=0.9mCB，針對埋藏裂紋而言，其不存在表面延展性作用取CA=CB. 因此，埋藏裂紋和表面裂紋通過以下方式擴(kuò)展：

(7)

式中Δa(Δa→0)為裂紋中心處A點(diǎn)的擴(kuò)展變化量；Δc為裂紋邊界處B點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展變化量. 由式(7)可知，裂紋在深度和長度方向上的關(guān)聯(lián)關(guān)系，主要與裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K有關(guān)，且式(7)可寫成：

(8)

將式(8)分別進(jìn)行迭加計(jì)算后，能得到裂紋擴(kuò)展變化n次后的尺寸值，分別取裂紋初始深度和長度值為a0、c0，長度尺寸an、深度值cn，其表示式為：

an=a0+nΔa(n=1, 2, 3...)

(9)

(10)

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

大型壓力容器埋藏裂紋所在部分假設(shè)成如圖2所示的平板，分析位于平板的橫截面區(qū)域所對稱埋藏缺陷相關(guān)的裂紋路徑，該缺陷受疲勞I型載荷下的均勻張力. 本文運(yùn)用Newman和Raju[13-15]提供的計(jì)算埋藏裂紋和表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K的方法. 埋藏裂紋計(jì)算方程受拉應(yīng)力下0≤a/c≤∞、c/b<0.5且-π≤φ≤π時有效，當(dāng)取0≤a/c≤0.2，則有a/t<1.25(a/c+0.6)；當(dāng)取0.2≤a/c≤∞，則有a/t<1；表面裂紋計(jì)算方程受拉應(yīng)力作用下0≤a/c≤2、c/b<0.5和0≤φ≤π有效，當(dāng)取0≤a/c≤0.2，則有a/t<1.25(a/c+0.6)；當(dāng)取0.2≤a/c≤2，則有a/t<1，但兩者對于a/t>0.8作者尚未給出確定的精度，其中a是裂紋深度值(mm)；b是裂紋所在平板長度的一半(mm)；c是裂紋長度的一半(mm)；t是裂紋所在平板厚度(mm).

埋藏裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子Ke表達(dá)式如下:

(11)

表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子Ks表達(dá)式如下:

(12)

公式中St為受到的拉力；Sb、Hs分別為受到的彎曲應(yīng)力和彎曲修正系數(shù)；φ為裂紋擴(kuò)展角度；Fs、Fe、Q為計(jì)算中的過程變化量, 和裂紋形狀變化有關(guān)，具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[14].

我們通過以上公式可以求解裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，進(jìn)一步分析裂紋擴(kuò)展的擴(kuò)展變化情況.

2.3 裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析與迭代計(jì)算

假設(shè)裂紋呈(半)圓形或(半)橢圓形，裂紋前沿裂紋點(diǎn)的擴(kuò)展方向都垂直于裂紋前端方向，如圖2.將橢圓形裂紋的前沿運(yùn)用Simpson公式離散化分成長度相同的z段.并且每個裂紋點(diǎn)n都在垂直于裂紋前端方向上擴(kuò)展并且遵循Paris公式，使裂紋的最大裂紋擴(kuò)展量△amax在擴(kuò)展變化過程中保持恒定，這樣與橢圓形裂紋前沿上所有裂紋點(diǎn)都相關(guān)聯(lián)，且最大裂紋擴(kuò)展量對應(yīng)存在最大應(yīng)力強(qiáng)度因子△Kmax.根據(jù)Paris迭代計(jì)算公式(7)，得到如下公式，通過該公式可以求解橢圓形裂紋前沿上任意一點(diǎn)n的裂紋擴(kuò)展量△an.

(13)

式中△an是第n點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展變化量，△amax是計(jì)算過程中最大裂紋擴(kuò)展變化量，△Kn是第n點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化，△Kmax是最大應(yīng)力強(qiáng)度因子變化.基于Newman和Raju的方程(式(11)、(12))，有如下公式：

(14)

通過上式計(jì)算得到某一時刻下任意一點(diǎn)的裂紋變化量，利用最小二乘法進(jìn)行擬合形成新的橢圓形裂紋前沿，進(jìn)而可以得到不同時刻下裂紋擴(kuò)展深度和長度的變化規(guī)律.同時利用Python語言將上述數(shù)值計(jì)算模型編程，分析裂紋路徑變化規(guī)律，通過迭代計(jì)算得出裂紋深度和長度的變化曲線.通常裂紋形狀變化通過裂紋的深長比a/c和相對裂紋深度a/t來表示，根據(jù)計(jì)算繪制了a/c隨a/t的函數(shù)變化曲線.主要迭代流程如圖3. 流程圖中：Δai為深度方向第i次的裂紋擴(kuò)展變化量；Δci為長度方向第i次的裂紋擴(kuò)展變化量.

圖3 迭代計(jì)算流程示意圖

2.4 關(guān)聯(lián)函數(shù)分析

首先運(yùn)用Python語言對模型編程，收斂計(jì)算得到了數(shù)值結(jié)果，將埋藏裂紋和表面裂紋的裂紋前沿離散化為均勻長度的z段，令循環(huán)計(jì)算過程中裂紋最大深度變化值△amax=0.00001t，壓力容器常用材料16MnR在Paris公式中材料相關(guān)系數(shù)m取值為2～4，這里取m=3.圖4繪制了埋藏裂紋和表面裂紋在初始裂紋尺寸為(a/t)0={0.02, 0.2, 0.4}和(a/c)0={0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0}共15個初始裂紋尺寸不同的深長比(a/c)隨相對裂紋深度(a/t)的函數(shù)變化情況.

圖4 表面裂紋和埋藏裂紋擴(kuò)展變化對比圖(線上彩色)

從圖4分析可知：(1) 埋藏裂紋和表面裂紋受拉作用下，裂紋形狀變化趨勢相同，當(dāng)(a/c)0<1時，裂紋深長比a/c隨相對裂紋深度a/t增加而變大，靠近于1時趨于穩(wěn)定；當(dāng)(a/c)0>1時，裂紋深長比a/c隨相對裂紋深度a/t增加而變小，靠近于1時趨于穩(wěn)定，表明兩種裂紋受拉伸應(yīng)力作用時，最后的形狀變化趨向于近似a=c的方向發(fā)展.將圖4中兩種裂紋所有曲線分別收斂于某一趨勢的路徑定義為“最優(yōu)擴(kuò)展路徑”，表面裂紋的“最優(yōu)擴(kuò)展路徑”比埋藏裂紋更低.(2) 對于相同類型的裂紋，初始裂紋相對裂紋深度(a/t)0一定時，初始深長比(a/c)0的值越大，曲線會更快收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑；當(dāng)(a/t)0≥0.2受到拉應(yīng)力時，曲線會更慢收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑.(3) 對于不同類型的裂紋，表面裂紋比埋藏裂紋曲線更快收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑.

選取圖4中部分不同的初始裂紋點(diǎn)所形成的曲線進(jìn)行曲線擬合，生成表1和表2的裂紋關(guān)聯(lián)函數(shù).

表1 埋藏裂紋深度a和長度c變化關(guān)聯(lián)函數(shù)

表2 表面裂紋深度a和長度c變化關(guān)聯(lián)函數(shù)

將本文提出的數(shù)值計(jì)算模型進(jìn)一步驗(yàn)證，在相應(yīng)工況下運(yùn)用數(shù)值模型計(jì)算文獻(xiàn)[16-17]裂紋初始值下變化趨勢與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)值比較，即使考慮到工程材料中疲勞裂紋擴(kuò)展的固有實(shí)驗(yàn)誤差，模型預(yù)測和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的一致性也非常好.

圖5 表面裂紋模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對比(線上彩色)

以裂紋擴(kuò)展變化關(guān)聯(lián)函數(shù)為基礎(chǔ)，基于缺陷失效評定圖計(jì)算得出缺陷安全衰減路徑，提出路徑速度積安全裕度動態(tài)計(jì)算模型，實(shí)際表征出缺陷裂紋變化過程中剩余安全裕度的大小.傳統(tǒng)安全裕度研究方法模型有射線法安全裕度模型、衰減路徑法安全裕度模型和模糊評定法安全裕度模型三種，這三種安全裕度模型的計(jì)算方法見文獻(xiàn)[4, 18]，雖然以上三種傳統(tǒng)安全評定模型都有各自優(yōu)點(diǎn)，但都沒有考慮裂紋擴(kuò)展速度即考慮時變性對于安全裕度表征的影響進(jìn)行準(zhǔn)確判定.因此基于衰減路徑法安全裕度模型，考慮裂紋時變性的問題，提出新的剩余安全裕度模型.

3.1 路徑速度積安全裕度模型

3.1.1 衰減路徑與速率拐點(diǎn) 由圖6可知，隨著裂紋尺寸變化，失效評定圖上失效點(diǎn)從D到C的變化并非呈現(xiàn)射線狀變化而是呈現(xiàn)曲線狀變化，且疏密程度不同的失效點(diǎn)逐漸靠近缺陷失效曲線(FAC)，將DC所連成的散點(diǎn)曲線稱為衰減路徑，仿真過程中由于裂紋類型變化或者規(guī)則化處理的原因衰減路徑會出現(xiàn)斷點(diǎn)跳躍的情況[2]. 同時，從圖7[19-20]裂紋擴(kuò)展速率圖中可以看出，從第二階段到第三階段速度突然增加時存在一個分界點(diǎn)C，將該點(diǎn)稱為“速率拐點(diǎn)”. 對應(yīng)衰減路徑圖6中存在某一失效點(diǎn)到達(dá)速率拐點(diǎn)臨界線之后，任意兩個失效點(diǎn)之間的距離突然逐漸增大，將該點(diǎn)稱也定義“速率拐點(diǎn)”.

圖6 三種安全裕度模型示意圖

圖7 長短裂紋速率變化示意圖

(15)

裂紋擴(kuò)展中裂紋增長量為Δa，考慮厚度大小無量綱化處理后有Δa/t，則裂紋增長長度可表示為an/t=Δa1/t+Δa2/t+...+Δan/t，失效路徑表征為：

(16)

將含缺陷的衰減速率圖轉(zhuǎn)化成圖8的υ-S圖，該圖能反映裂紋失效速度υ隨裂紋擴(kuò)展變化長度的趨勢，其變化趨勢與圖7的變化趨勢極為一致.其中，S0點(diǎn)表示缺陷裂紋開始擴(kuò)展，S1點(diǎn)表示第二階段開始點(diǎn)，Si點(diǎn)表示擴(kuò)展過程中任一點(diǎn)，Sn表示速率拐點(diǎn).

3.1.3 路徑速度積剩余安全裕度表征 不同大小的缺陷裂紋尺寸與失效速度有關(guān)，同時反映了設(shè)備的安全程度. 由于第三階段失穩(wěn)崩潰速度較快，考慮到壓力容器評定安全性問題，這里將速率拐點(diǎn)作為分界線，在速度積安全裕度計(jì)算過程中把第三階段作省略處理. 利用υ-S路徑速度積對應(yīng)面積來表示其剩余的安全裕度大小如圖8.

圖8 表面裂紋速度積計(jì)算示意圖

將擴(kuò)展過程中任一點(diǎn)Si的速度積大小用Ai表示：

(17)

分析式(17)可知，Ai的大小是S對υ積分求面積，同理，如圖8，對任意兩個點(diǎn)Si，Sj之間的速度積大小可定義為：

(18)

根據(jù)以上定義，對于剩余速度積Ain和全域速度積A的計(jì)算可分別定義為

(19)

(20)

以表面裂紋情況計(jì)算，衰減路徑轉(zhuǎn)化后得到速度積散點(diǎn)曲線υ(S)，將各個點(diǎn)運(yùn)用插值法擬合成圖8的冪函數(shù)曲線，可表示為：

(21)

其中bi(i=1, 2, 3，...，M)表示常數(shù).

通過以上定義可知，全域速度積還可代換為A=Ai+Ain，則安全系數(shù)F=A/Ai，計(jì)算失效點(diǎn)Si的剩余安全裕度為：

M=1-1/F=Ain/A=Ai+Ain/A

(22)

隨著裂紋擴(kuò)展安全裕度不斷降低，紅色面積Ain逐漸快速趨向于0.

3.2 速度積安全裕度模型實(shí)例

以壓力容器常用材料為16MnR為例，假設(shè)壁厚t=20 mm的容器內(nèi)部存在一條初始裂紋深度a0=6 mm，長度2c0=30 mm的表面裂紋，即(a/t)0=0.3, (a/c)0=0.4.通過關(guān)聯(lián)函數(shù)模型計(jì)算并擬合得到y(tǒng)=1.12343x1+1.73772x2-5.88087x3+5.21485x4-1.62323x5+0.01806的關(guān)聯(lián)函數(shù)，然后計(jì)算得到安全衰減路徑. 由于裂紋擴(kuò)展過程中變成穿透裂紋，所以出現(xiàn)斷點(diǎn)跳躍情況. 同時考慮了形成初始裂紋之前的微小短裂紋擴(kuò)展，且假設(shè)微小短裂紋的擴(kuò)展情況滿足上面長裂紋擬合的深度與長度變化的關(guān)聯(lián)函數(shù)表達(dá)式，最終得到裂紋從裂紋源形成到失效的全域衰減路徑，如圖9.

圖9 表面裂紋安全衰減路徑實(shí)例計(jì)算示意圖Fig.9 Schematic diagram of calculation of safety attenuation path of surface crack

通過關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算裂紋從微小短裂紋出現(xiàn)到最后崩潰的全域衰減路徑，同樣進(jìn)行速度積轉(zhuǎn)化，如圖，由放大圖可以看出考慮微裂紋擴(kuò)展時，裂紋擴(kuò)展速率是先增大后減小最后進(jìn)入長裂紋擴(kuò)展階段，其趨勢與圖7中長短裂紋變化一致，同時文獻(xiàn)[19-20]也指出短裂紋擴(kuò)展速度隨長度增長而降低，到達(dá)某一尺寸后再迅速增大然后進(jìn)入長裂紋擴(kuò)展速率趨勢.計(jì)算安全裕度時考慮其速率拐點(diǎn)，取速度變化量是前一次速度變化量的兩倍為速率拐點(diǎn)作臨界線，這里取速率拐點(diǎn)為S=0.874 5,υ=0.306 77，對應(yīng)則的Lr=0.5450,Kr=0.4660，如圖10.

圖10 表面裂紋速度積實(shí)例計(jì)算示意圖Fig.10 Schematic diagram of calculation of surface crack velocity product example

將臨界線后面第三階段速度進(jìn)行省略然后利用速度積分求面積來表征安全裕度，與射線法，衰減路徑法和模糊評定法計(jì)算的安全裕度進(jìn)行比較，運(yùn)用壽命安全裕度評估剩余路徑速度積安全裕度模型的合理性，計(jì)算結(jié)果由圖11和表3所示.

圖11 安全裕度實(shí)例計(jì)算對比圖

表3 裂紋變化時的剩余安全裕度大小

從圖11和表3可以看出，裂紋擴(kuò)展尺寸均勻變化時，射線法，衰減路徑法和模糊評定法變化趨勢初期比較平緩，當(dāng)?shù)竭_(dá)0.8后時，剩余裕度會出現(xiàn)突然降低的變化，而路徑速度積隨著裂紋尺寸變化趨勢平緩且與圖8中速度υ有關(guān)，速度越大安全裕度下降越快.計(jì)算的壽命裕度變化與路徑速度積變化規(guī)律基本也一致.與衰減路徑法相比，路徑速度積法的差別可達(dá)42%左右，而與壽命裕度法相比最大差別僅為2%.說明路徑速度積法更符合裂紋擴(kuò)展下安全裕度變化，能較好的實(shí)時表征動態(tài)安全裕度的大小.

4 結(jié) 論

本文主要針對含缺陷壓力容器安全評估展開研究.傳統(tǒng)安全裕度判定方法如射線法只能判斷設(shè)備是否安全，而無法準(zhǔn)確得出剩余安全裕度大小，針對這一局限，本文通過找出不同類型裂紋擴(kuò)展形狀關(guān)聯(lián)變化函數(shù)，得到裂紋的安全衰減路徑，進(jìn)而考慮裂紋擴(kuò)展變化中的時變性建立路徑速度積的安全裕度表征模型.并與射線法、衰減路徑法和模糊評定法進(jìn)行比較，從剩余壽命法角度對比了其實(shí)用性，論證模型的可靠性.本文主要研究內(nèi)容如下：(1) 基于Paris公式進(jìn)行迭代得到裂紋擴(kuò)展規(guī)律公式，應(yīng)用Newman等的數(shù)值計(jì)算K的理論，考慮裂紋存在閉合效應(yīng)下埋藏裂紋和表面裂紋擴(kuò)展規(guī)律變化情況，改變Paris公式中材料系數(shù)m證明裂紋擴(kuò)展變化與材料有關(guān)，并利用Python計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行模型編程，得到不同初始值下裂紋的變化規(guī)律圖，建立埋藏裂紋和表面裂紋在擴(kuò)展過程中深度a和長度c的關(guān)聯(lián)變化函數(shù).(2) 基于傳統(tǒng)安全裕度模型無法考慮裂紋擴(kuò)展下時變性問題，根據(jù)速度積概念，建立了新的大型壓力容器剩余安全裕度模型.以表面裂紋為例進(jìn)行討論分析，從壽命安全裕度角度評價路徑速度積安全裕度模型，結(jié)果符合較好.