基于魯棒H∞控制的無人機縱向自動駕駛儀設計*

李勇，李樹豪，黨利

(鄭州航空工業管理學院 航空工程學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

無人機(unmanned aerial vehicle，UAV)可以被定義為一種由動力驅動、機上無人駕駛的航空器[1]。固定翼無人機與旋翼無人機相比較，固定翼無人機的升力是由位于機身兩側的固定機翼所產生的，其優點是續航時間長、飛行速度快、飛行效率高和載荷大，缺點是起飛和降落時機場需要有長距離跑道以及不能進行空中懸停等[2]。

飛行控制技術是現代飛行器設計中的關鍵技術之一。在強勁的軍事及民用需求牽引下，無人飛行器技術與飛行控制技術迅速融合，極大推動了無人機的蓬勃發展[3]。無人機已經在軍事和民用中得到了廣泛應用。軍事應用包括偵察、監視(空中、陸地、海上)、邊境巡邏和對地打擊等。民用應用包括監視、森林防火、航拍及城市地圖繪制等。

對無人機能力的日益增長的要求意味著有相當多的用來保證閉環系統穩定性、魯棒性和性能的先進控制方法正在進行研究，如最優控制、魯棒控制、非線性控制、智能控制等都是無人機飛行控制非常感興趣的熱點研究領域。

自20世紀50年代以來，根軌跡圖、Bode和Nyquist圖、頻響分析等經典控制器設計技術在航空航天工業的自動飛行控制系統中得到了成功和廣泛的應用。當要設計具有高內部耦合的多變量系統的控制器時，經典控制技術是有限的[4]。

在設計飛行控制器之前，必須確定飛機的數學非線性模型，傳統上，模型參數是通過風洞試驗測量飛機上的氣動力和力矩來確定的。近年來，計算流體力學(computational fluid dynamics，CFD)方法變得越來越重要。在此基礎上，計算了飛機的轉動慣量，并根據實驗數據確定了飛機發動機模型。然而，這些標準過程既昂貴又耗時，對于許多無人機應用來說可能負擔不起或不可行[5]。

在實踐中，大多數飛行控制設計技術都需要一個關于某些配平條件的飛機動力學的線性化模型。飛機線性模型通常由六自由度(six degree-of-freedom，6-DOF)非線性模型[6-8]導出，或者利用參數識別方法通過實驗測量確定[9-11]。有了精確的線性模型，就可以成功地設計出飛行控制器。然而，線性模型永遠不會是完全準確的。

由于真實的飛機動力學模型參數不是完全已知的，且飛機動力學是非線性的，所以飛機的飛行表示是不準確的。通常，這主要是因為有些特性不容易建模。此外，模型參數中存在未建模的動態和誤差，因此在飛機動態模型中總是存在建模誤差[12]。

近年來，國內在飛行器自動駕駛儀控制系統設計方面主要有以下成果及進展。文獻[13]通過大量的數學仿真、地面半實物仿真和空中帶飛試驗，深入的考核了作者所在單位自主開發的無人機自動駕駛儀的整體設計性能，同時經過帶飛試驗進一步驗證所采用的PID(proportional,integral and derivative)控制方法的可行性。文獻[14]提出了一種新的實現無人機自動駕駛儀調參的方法。利用T-S模糊模型對被控對象進行建模,完成控制系統設計,然后利用模糊運算規則自動生成調參算法,明顯提高了設計效率。無人機控制系統設計實例證明了方法的正確性。文獻[15]在電傳飛機縱向自動駕駛儀控制律的初步設計過程中,以電傳飛機的縱向低階等效系統為控制對象,采用零極點偶配置方法合理地配置零極點偶,使縱向自動駕駛儀控制律的設計得到了最大程度的簡化。用所獲得的控制律進行了數字仿真,仿真結果表明,縱向自動駕駛儀各個功能模式獲得了良好的動態響應特性,滿足了各項指標的要求,從而證明了這種設計方法是簡便可行的。文獻[16]提出了BTT(bank to turn)傾斜轉彎導彈的增益調度魯棒H∞自動駕駛儀設計方法，建立了BTT導彈線性變參數(linear parameter-varying，LPV)系統數學模型；提出了LPV系統增益調度魯棒H∞控制設計方法和設計過程，通過把BTT導彈自動駕駛儀分為俯仰、偏航/滾轉通道分別進行設計，并以俯仰通道為例進行了仿真驗證；仿真結果表明該控制算法具有良好的控制性能，從而，驗證了增益調度魯棒H∞控制算法的正確性和有效性。

1 某固定翼無人機縱向LPV模型及縱向TP模型分析

本文提出了一種基于增益調度輸出反饋H∞控制[17-19]的無人機縱向自動駕駛儀的設計方法，即速度保持和高度保持。需要采用線性變參數技術進行建模并用于整個飛行包線控制系統的分析和設計。

通常，LPV模型是使用代數處理方法從原始非線性方程模型導出的。然而，由這些方法得到的LPV模型往往是非線性依賴于時變參數的，尤其是縱向雅可比LPV模型，其非線性依賴于速度和高度。在非線性參數依賴的情況下，通常使用網格LPV模型來合成控制器，然而，啟發式網格技術的結果是不可靠的，并且分析結果依賴于網格點的選擇[20]。

本文采用TP(tensor-product)模型變換，將縱向非線性參數相關的LPV模型轉換為TP凸多面體模型形式。

1.1 基于雅可比的縱向LPV模型

本文采用雅可比方法從標準六自由度運動方程出發，推導出適用于一般非線性模型且結構模型簡單的縱向LPV模型。

考慮傳統固定翼飛機的標準六自由度運動方程，雖然一般固定翼飛機的氣動系數結構的確切形式并不確定，但文獻[21-22]提出了典型的線性模型結構。本文中使用的文獻[21]中的線性模型結構如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

三維空間中的六自由度動力學方程，通常可以簡化為二維空間中三自由度動力學的2個運動，即縱向運動和橫向運動。在本文中，只考慮縱向運動。另外，假設飛機在機翼水平、高度和空速不變的情況下飛行，并且假設它只能在北方下部平面中機動，因此飛機所有側向狀態都凍結且等于0，即

v=p=r=β=φ=ψ=yE=0.

另外，當

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

在工程實踐應用中，無人機的質量慣性力矩Ix，Iy，Iz可以用文獻[23]中提出的扭擺實驗來確定，其中質量慣性力矩Ixz經常被忽略。此外，發動機推力T可以使用在文獻[23]中提出的技術來建模和估計。本文中，推力是從表1中的數據建模的，在表1中，數據通過使用MATLAB軟件TRIM函數來配平某型固定翼無人機非線性模型[24]在關于機翼水平、恒定高度和空速飛行條件下而獲得的。

表1 關于某型無人機在機翼水平和恒定高度、 空速飛行狀態下發動機仿真數據Table 1 Engine simulation data of a certain UAV at wing level,constant altitude and airspeed

推力的一個簡單模型符合表1中的數據，它是

T=CT0+CTuu+CTuhuh+CTrpmrpm+

CTurpmurpm+CThrpmhrpm+

CTuhrpmuhrpm,

(12)

其中上述方程式中的所有推力系數在表2中給出。

表2 某型固定翼無人機的發動機推力系數Table 2 Engine thrust coefficient of a fixed-wing UAV

來自表1的模擬推力和來自式(12)的估計推力的比較如圖1所示。

圖1 模擬推力和估計推力之間的比較Fig.1 Comparison between simulated thrust and estimated thrust

針對某型固定翼無人機非線性數學模型。用雅可比線性化方法對該模型在機翼水平、恒定高度和空速飛行條件下線性化后，得到了作為狀態空間系統的縱向LTI模型:

(13)

這里，

并且

CTurpmrpmtrim+CTuhrpmhtrimrpmtrim)，

(14)

(15)

(16)

Xθ=-gcosθtrim，

(17)

(18)

CTuhrpmutrimhtrim)，

(19)

(20)

(21)

(22)

Zθ=-gsinθtrim,

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

hu=sinθtrim，

(29)

hw=-cosθtrim，

(30)

hθ=utrimcosθtrim+wtrimsinθtrim.

(31)

那么，可以得出

(32)

wtrim=utanαtrim,

(33)

θtrim=αtrim,

(34)

(35)

(36)

從式(14)～(36)可以看出，穩定性導數和控制導數僅與速度和高度呈非線性關系。在速度和高度一定的情況下，式(13)為縱向LTI模型。當速度和高度在整個飛行包線上緩慢變化時，式(13)成為一個縱向非線性參數相關的LPV模型。

此外，這些方程表明，該LPV模型的精度取決于提供氣動力系數和推力系數信息的準確性。

傳統上，空氣動力系數通常是利用風洞試驗通過測量引入到飛機上的氣動力和力矩來確定的。在已知氣動系數的情況下，縱向非線性參數相關LPV模型式(13)在整個參數空間的所有點的系統矩陣可以用式(14)～(36)確定。

1.2 縱向TP凸多面體模型

基于上節縱向非線性參數相關LPV模型(13)的系統，速度和高度是唯一的時變參數。某型固定翼無人機的整個飛行范圍中，其速度和高度分別從337.6 ft/s到759.5 ft/s和1 000 ft到18 000 ft。

TP模型變換是一種可用于獲得有限個LMI的替代方法，對于有限個LMI，該方法將給定的非線性參數相關的LPV模型(13)變換為TP凸多面體模型。應用MATLAB中的張量積模型轉換工具箱來確定LTI頂層系統矩陣Sa和加權函數wa(p(t))。變換空間定義為Ω=[337.6，759.5]×[1 000，18 000]，采樣網格密度為500×100。此外，在變換過程中使用了CNO凸包的加權類型，以便具有緊致的外殼表示。由此可得8×6×10×7的張量，其速度維度的奇異值分別為：39 198，2 554.5，697.63，49.012，1.048 6，0.032 623，0.000 503 45和4.248 3e-005。高度維度分別為：39 191，2 754.9，103.23，0.405 44，0.001 827 8和1.403 9e-005。

這意味著某型固定翼無人機的縱向非線性參數相關LPV模型可以精確地表示為8×6=48個LTI頂點系統的凸組合。然而，在實際應用中，控制器的數量較少，因此，只保留了速度和高度維度上的4個和3個最大奇異值，而在實際應用中，我們只保留了4個奇異值和3個最大奇異值。LTI頂點系統的個數減少到5×4=20。從理論上講，L2矩陣范數逼近的最大誤差是丟棄的小奇異值之和。

因此，

1.048 6+0.032 623+0.000 503 45+4.248 3e-005+0.405 44+0.001 827 8+1.403 9e-005=1.489 1。

將分解的TP多面體模型與原始的非線性參數相關的LPV模型式(13)在Ω給出的范圍內隨機選擇2 000多個參數值(速度和高度)進行比較，得到L2矩陣范數的最大誤差和平均誤差分別為0.003 590 4和0.002 577 7。

分解的TP多面體模型可以將復雜度降低一半，同時它仍然可以足夠精確地用于工程實際的實驗。因此，縱向TP多面體模型可以寫為

(Ai,jx(t)+Bi,ju(t))，

(37)

其中，權函數wn,j(pn(t))如圖2所示。此外，圖3顯示了w1(p(t))和w2(p(t))作為確定wa(p(t))的一個示例。

圖2 縱向TP多面體模型的一維參數的CNO型 凸權函數wn,j(pn(t))Fig.2 CNO type convex weight function of one-dimensional parameter of longitudinal TP polyhedron model,wn,j(pn(t))

圖3 縱向TP多面體模型的二維參數的CNO型 凸權函數wa(p(t))Fig.3 CNO convex weight function of two-dimensional parameters of longitudinal TP polyhedron model,wa(p(t))

下面顯示了該TP多面體模型的一些LTI系統矩陣Sa：

(38)

(39)

?

(40)

2 基于增益調度的H∞自動駕駛儀設計

在實際應用中，在應用魯棒H∞控制方法設計一個LPV控制器之前，對象模型通常需要增加一些加權函數。在本文中，我們使用了混合靈敏度標準[25-26]。

(41)

該混合靈敏度函數的目的是分別用性能加權函數W1和魯棒性加權函數W2對靈敏度函數S和控制靈敏度函數KS進行整形。由此，可得出一個善于跟蹤指令(即跟蹤誤差較小)、善于抑制干擾(即減小干擾對輸出的影響)、對測量噪聲敏感性低、控制量較小、對附加對象擾動具有魯棒穩定性的控制器。圖4顯示了用于合成的加權開環連接結構。

其中

(42)

(43)

(44)

Wpre-filter的目的是使被控對象模型的矩陣B2和D12與參數無關[17]，因此可以采用增益調度輸出反饋H∞控制器設計方法[17]。此外，手動調整加權函數W1和W2的值，直到達到閉環系統的性能和魯棒性的期望目標。

圖4 縱向TP凸多面體對象模型的加權開環結構圖Fig.4 Weighted open-loop structure diagram of longitudinal TP convex polyhedron object model

在擴展了縱向TP凸多面體模型之后，由式(38)～(40)，及加權函數W1和W2，可以使用例程hinfgs來合成LPV控制器。作為hinfgs的結果，得到了γ=3.039 5的LPV控制器。一旦從例程hinfgs中獲得了LPV控制器的20個LTI頂層系統矩陣，就可以通過與構建TP凸多面體模型相同的方式以頂層系統矩陣和加權函數wa(p(t))的組合來構造該LPV控制器，由此得出，

(45)

為了確認達到混合靈敏度標準式(41)，在所有θ∈Θ(θ的凍結值)上計算傳輸矩陣S和KS的奇異值，如圖5中所示。顯然，S和KS的奇異值分別由W1和W2塑造和約束。

圖5 ?θ∈Θ上S和KS的奇異值(θ的凍結值)Fig.5 singular values of S and KS on ?θ∈Θ (freezing value of θ)

圖6 W1S和W2KS在?θ∈Θ(帶凍結的θ)上的H∞范數Fig.6 H∞norm of W1S and W2KS on ?θ∈Θ (θ with freezing)

圖7 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益調度 自動駕駛儀的高度瞬態性能響應曲線Fig.7 Altitude transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

圖8 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益調度 自動駕駛儀的速度瞬態性能響應曲線Fig.8 Speed transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

3 某型無人機六自由度非線性仿真分析結果

在MATLAB SIMULINK仿真環境下，針對某型固定翼無人機設計了H∞增益調度自動駕駛儀，并對其非線性數學模型進行了驗證。仿真中用到的所有20個加權函數wa(p(t))，均使用二維查表來構造。在圖7～13中，給出了模擬飛行器在飛行包線中某一特定點(無人機速度為506 ft/s，高度為10 000 ft)的高度和速度以及俯仰角、俯仰角速率、迎角、升降舵偏轉角、發動機轉速微小要求變化時的瞬態響應。對于飛行包線中的其他點，也得到了類似的響應。在圖9～13中，在特定點驗證H-∞增益調度自動駕駛儀Jinarink非線性動力學模型瞬態性能。響應曲線主要考核無人機飛行控制系統的瞬態響應能力以及無人機飛行姿態變化和發動機性能之間的聯系。

圖9 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益調度 自動駕駛儀的俯仰角瞬態性能響應曲線Fig.9 Pitch angle transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

圖10 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益調度 自動駕駛儀的俯仰角速率瞬態性能響應曲線Fig.10 Pitch rate transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

圖11 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益 調度自動駕駛儀的迎角瞬態性能響應曲線Fig.11 Angle of attack transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

圖12 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益 調度自動駕駛儀的升降舵偏轉角瞬態性能響應曲線Fig.12 Elevator deflection transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

圖13 某型固定翼無人機非線性動力學模型對H∞增益 調度自動駕駛儀的發動機轉速瞬態性能響應曲線Fig.13 Engine speed transient performance response curve of a fixed-wing UAV nonlinear dynamics model to H∞ gain scheduling autopilot

在俯仰角、俯仰角速率、迎角、升降舵偏轉角、發動機轉速發生微小變化時，從曲線可知本文研究的H∞增益調度自動駕駛儀控制系統動態響應性能符合預期，控制系統快速性與準確性能夠得到保證。

圖14～20顯示了覆蓋大范圍飛行包線的模擬飛行。結果表明，閉環控制系統在給定的飛行包絡范圍內穩定性和魯棒性都達到了設計要求。

圖14 給定飛行包線內閉環系統的高度特性曲線Fig.14 Altitude characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖15 給定飛行包線內閉環系統的速度特性曲線Fig.15 Speed characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖16 給定飛行包線內閉環系統的俯仰角特性曲線Fig.16 Pitch angle characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖17 給定飛行包線內閉環系統的俯仰角速率特性曲線Fig.17 Pitch rate characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖18 給定飛行包線內閉環系統的迎角特性曲線Fig.18 Angle of attack characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖19 給定飛行包線內閉環系統的升降舵偏轉角特性曲線Fig.19 Elevator deflection characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

圖20 給定飛行包線內閉環系統的發動機轉速特性曲線Fig.20 Engine speed characteristic curve of a closed-loop system in a given flight envelope

由圖14～20可知，當自動駕駛儀跟蹤速度需求時，存在高度調節效果，當自動駕駛儀跟蹤高度需求時，也存在速度調節效果，這是因為縱向TP多面體模型是準LPV模型，其中調度參數(速度和高度)也是系統的狀態。這是準LPV模型在使用單個二次Lyapunov函數合成LPV控制器時的常見問題，因為參數變化率與系統狀態的變化速度一樣快。

4 結束語

本文采用LPV控制方法設計了常規固定翼無人機的魯棒增益飛行控制器。針對傳統增益調度技術在許多無人機應用中存在的昂貴和耗時的缺點，本文通過研究某型固定翼無人機在MATLAB SIMULINK環境下的六自由度非線性模型，應用張量-乘積(TP)模型變換方法，將非線性參數依賴的LPV模型轉換為TP型凸多面體模型，構建了縱向非線性參數相關的無人機LPV模型的凸多面體表示。將增益調度輸出反饋H∞控制器設計方法應用于所得到的TP凸多面體模型，得到了保證閉環系統在整個定義的飛行包線范圍內具有較好穩定性、魯棒性和優良性能的控制器。對該控制器進行了全六自由度的飛行器仿真試驗，結果表明本文提出的LPV控制器既能處理六自由度非線性模型的不確定性，又能處理非線性，具有良好的指令跟隨性、良好的干擾抑制能力、對測量噪聲的低靈敏度、合理的小控制量和對附加對象擾動魯棒穩定的特點，在所定義的飛行包線范圍內，都達到了期望的穩定性能和魯棒性目標。