振鏡系統(tǒng)自適應(yīng)離散滑模控制器設(shè)計與仿真

王云龍，陳光勝

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

當(dāng)前，國外振鏡系統(tǒng)生產(chǎn)廠家主要有SCANLAB 公司、GSI 公司、CTI 公司等，其中SCANLAB 公司的振鏡掃描系統(tǒng)達(dá)到行業(yè)最高質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；國內(nèi)主要生產(chǎn)廠家有深圳大族思特科技有限公司、上海眸特電機(jī)科技有限公司、北京金海創(chuàng)科技有限公司等。國內(nèi)振鏡行業(yè)起步較晚，技術(shù)相對國外較為落后，但隨著近些年的發(fā)展也具有一定的實力。

控制算法是影響振鏡控制系統(tǒng)性能的核心因素。當(dāng)前在振鏡控制系統(tǒng)中的控制策略應(yīng)用主要以PID 算法為主。馬玉中[1]采用數(shù)字PID 控制激光振鏡掃描系統(tǒng)，在大角度定位時，系統(tǒng)響應(yīng)較慢；井鋒[2]提出了一種改進(jìn)的模糊PID 算法，但模糊規(guī)則在數(shù)字電路的實現(xiàn)較為復(fù)雜。由于PID控制算法及其改進(jìn)算法在實際應(yīng)用中的限制，將高性能的控制算法引入到振鏡控制系統(tǒng)中就變得尤為迫切[3]。

本文基于現(xiàn)代控制理論，并結(jié)合計算機(jī)技術(shù)，研究了一種基于自適應(yīng)離散滑模變結(jié)構(gòu)的振鏡系統(tǒng)控制器設(shè)計原理與方法，利用離散滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的準(zhǔn)滑動模態(tài)[4]具有一定的不變性來增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，并通過自適應(yīng)控制在線調(diào)整趨近律中的控制增益，提高系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)。

1 振鏡電機(jī)數(shù)學(xué)模型的建立

振鏡電機(jī)是一種特殊的擺動電機(jī)，其基本原理是通電線圈在磁場中產(chǎn)生力矩，但只能偏轉(zhuǎn)一定角度，偏轉(zhuǎn)角度與電流成正比。

振鏡的電樞平衡方程為

式中：R——振鏡電機(jī)的電樞電阻；L——振鏡電機(jī)的電樞電感；Eb——振鏡電機(jī)的反電動勢；i——振鏡電機(jī)的電流。

振鏡電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中：T——振鏡電機(jī)的線圈電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩；J——振鏡電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；θ——振鏡電機(jī)轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角度；B——振鏡電機(jī)內(nèi)部的粘性阻尼系數(shù)。

振鏡電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

式中：Kt——振鏡電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

振鏡電機(jī)的反電動勢為

式中：Kb——振鏡電機(jī)的反電動勢系數(shù)。

將式（1）—式（4）分別進(jìn)行拉普拉斯變換，經(jīng)整理簡化后，得到振鏡電機(jī)伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

雖然電機(jī)中實際存在反向電動勢，但在放大器中有一個電流調(diào)節(jié)環(huán)路可以補(bǔ)償反向電動勢造成的轉(zhuǎn)矩?fù)p失，因此可以在模型中忽略其影響[5]。式（6）可以簡化為

因此，得到振鏡電機(jī)控制系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖1 所示。

圖1 振鏡電機(jī)控制系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of galvanometer motor control system

圖1 中：u——控制信號；Ka——電流放大系數(shù)；i——電流；Td——摩擦力矩；ω——轉(zhuǎn)子角速度；θ——轉(zhuǎn)子角位置。

由圖1 得振鏡電機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

振鏡電機(jī)實際運(yùn)動中，可忽略非線性摩擦的影響，只考慮庫倫摩擦力Tfc，則摩擦力的等效輸入

對式（8）進(jìn)行零階保持離散化，得系統(tǒng)離散狀態(tài)空間表達(dá)式為

2 自適應(yīng)離散滑模控制器設(shè)計

振鏡系統(tǒng)的控制實際上是跟蹤問題，設(shè)R(k)為希望的指令信號，xe(k)=e(k)=R(k)-x(k)。則振鏡系統(tǒng)式（9）的離散狀態(tài)方程為

2.1 離散自適應(yīng)趨近率

對于離散系統(tǒng)，滑模變結(jié)構(gòu)控制不能產(chǎn)生理想的滑動模態(tài)，只能產(chǎn)生準(zhǔn)滑動模控制[4]，其指數(shù)趨近率為

式中：ε>0；q>0；1-qT>0；T——采樣周期。

參數(shù)ε是一個關(guān)鍵參數(shù)，ε值越小，可以降低系統(tǒng)抖振，但過小的值會導(dǎo)致系統(tǒng)到達(dá)切換面的趨近速度過慢，考慮到技術(shù)、設(shè)備等實際因素，采樣周期也不可能取特別小，因此理想的ε值應(yīng)該是時變的[6-7]。由s（k）遞減得到充分條件為

將式（14）代入式（12），得到自適應(yīng)離散趨近率為

結(jié)合式（9）、式（11）、式（15），假設(shè)CB ≠0，則振鏡系統(tǒng)位置跟蹤的控制率為

式中：s（k）=Cex（k）；Ce=[c，1]；c，q——影響滑模控制的兩個重要參數(shù)，適當(dāng)?shù)娜≈悼梢缘玫搅己玫南到y(tǒng)性能；R1=[r（k+1），dr（k+1）]，可以通過外推法得到。

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性驗證

離散系統(tǒng)到達(dá)條件為

選取李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)李雅普諾夫定理，滿足s(k)=0 是全局漸近穩(wěn)定平衡面的到達(dá)條件可取為

當(dāng)采樣時間很小時，離散滑模的存在和到達(dá)性條件為[8]

由自適應(yīng)離散趨近率式（15）可得

因此，改進(jìn)后的趨近率滿足滑動模態(tài)的存在性和到達(dá)性條件，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 參數(shù)辨識

根據(jù)式（9）、式（15）、式（16），需要處理的參數(shù)有J，Kt，Ka，R，B，Ts，df，c，q，其中Kt，Ka，R 可通過測量和計算得到，Ts根據(jù)現(xiàn)有硬件條件取Ts=2.5×10-5(s)，根據(jù)調(diào)試經(jīng)驗取 x=6 000，q=8 000。

依據(jù)改進(jìn)的最小二乘法對J，B，df進(jìn)行離線辨識[9]，得到仿真模型的參數(shù)見表1。

表1 仿真模型的參數(shù)表Tab.1 Parameters of simulation model

4 仿真與實驗

本文所選振鏡電機(jī)系統(tǒng)的性能指標(biāo)見表2。

表2 振鏡系統(tǒng)性能指標(biāo)表Tab.2 Performance indicators of galvanometer system

根據(jù)式（11）、式（16）、表1，在MATLAB中建立相應(yīng)振鏡系統(tǒng)控制模型并進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果如圖2、圖3 所示。

圖2 1%全行程階躍響應(yīng)Fig.2 1% full stroke step response

圖3 10%全行程階躍響應(yīng)Fig.3 10% full stroke step response

如圖2、圖3 所示，當(dāng)振鏡系統(tǒng)輸入為1%全行程時，階躍響應(yīng)為575 us（按階躍響應(yīng)95%標(biāo)準(zhǔn)）,小于指標(biāo)值800 us，超調(diào)量小于3%；當(dāng)振鏡系統(tǒng)輸入為10%全行程時，階躍響應(yīng)1.075 ms（按階躍響應(yīng)95% 標(biāo)準(zhǔn)）,小于指標(biāo)值2.5 ms,說明本文所設(shè)計的離散自適應(yīng)滑模控制器滿足振鏡系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

如圖4所示，控制器增益值在起始階段較大，這一階段系統(tǒng)快速趨近至滑模面，到達(dá)滑模面后，增益值減小，有助于減小系統(tǒng)抖振。對比圖5 和圖6 滑模控制器的相軌跡圖可知，所設(shè)計的自適應(yīng)增益使得系統(tǒng)相軌跡在滑模面上的運(yùn)動更加平滑，動態(tài)品質(zhì)有明顯提高。

圖5 常量增益值系統(tǒng)相軌跡圖Fig.5 Constant gain value system phase trajectory

圖6 自適應(yīng)增益值系統(tǒng)相軌跡Fig.6 Adaptive gain value system phase trajectory

振鏡電機(jī)在實際工作時，位置曲線近似為三角函數(shù)（單一或組合）曲線，本文選取最簡單的正弦曲線作為輸入?yún)⒖夹盘枴Ｈ鐖D7 所示，振鏡系統(tǒng)在跟蹤正弦信號方面有良好的表現(xiàn)，說明本文設(shè)計的離散滑模控制器性能穩(wěn)定可靠。

圖7 正弦信號位置跟蹤Fig.7 Sinusoidal signal position tracking

5 結(jié)語

本文針對離散振鏡系統(tǒng)提出了一種自適應(yīng)離散滑模控制方法并驗證了系統(tǒng)穩(wěn)定性。通過在線調(diào)節(jié)控制器自適應(yīng)增益，可使系統(tǒng)較快趨近滑模面，同時減少抖振，提高系統(tǒng)的運(yùn)動品質(zhì)。參數(shù)辨識得到振鏡系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)并結(jié)合仿真模型進(jìn)行實驗，有效地驗證了控制方法的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，能夠滿足振鏡系統(tǒng)在實際應(yīng)用中的性能。基于趨近率的離散滑模控制器結(jié)構(gòu)簡單易實現(xiàn)，自適應(yīng)增益有利于系統(tǒng)動態(tài)性能的提升。