等邊三角形案例分析

朱文洪

一、案例背景

人教版八年級上冊第13章《軸對稱》是整個初中幾何至關重要的一章，等邊三角形的是《軸對稱》第3節的內容。本次上課的學生是昆明市第十中學初二年級的學生，該校學生平均水平在昆明地區是比較高的，上課班級已經完整完成前兩節新課及習題課的學習。本次課由兩位來自兩個名師工作室的老師用不同的班級上同一課，課后由名師工作室學員及負責人及時評課，之后請陳靜安教授看錄播課并進行線上評課。

二、教學目標

（一）設計相關的探究活動，并且就等邊三角形的性質以及判定方法進行深入的研究，以此來強化學生的探究意識，幫助他們養成良好的學習習慣。

（二） 運用之前學習過的數學知識來解決和等邊三角形相關的問題。

三、教學過程

活動引入：給每位同學發放一副三角板，請同桌進行交換，使每位同學手上拿著相同的三角板。然后請同學們把自己手上兩個全等的直角三角形進行拼搭，要求拼成三角形，每四人一小組進行討論，說說共有幾種不同的拼搭結果，是什么三角形？

同學們展示了三種不同的結果，均為等腰三角形，其中，圖3中的三角形三邊似乎都相等，有同學測量發現，他的三邊確實是相等的，也就是等邊三角形，如果不測量，我們能說明它是等邊三角形嗎？這個圖形還有些什么特征呢？這就是咱們今天要學習的。.

（一）問題導入

1.等邊三角形的具體特征是什么？它與等腰三角形之間存在著什么內在的聯系？

等邊三角形最為明顯的特征就是三角形的三個邊相等。等邊三角形可以看作是一種比較特殊的等腰三角形;

2.設計意圖：通過回憶及剛才的拼搭發現，讓學生充分準備好本節課學習所需要的基礎知識，利用問題探索讓學生發現，并初步感悟等腰三角形與等邊三角形的聯系。

（二）探究新知

1.等腰三角形有哪些性質呢？（請同學回答，并引導學生分類整理）

從邊的角度：兩腰相等;

從角的角度：兩個底角相等（等邊對等角）;

從高、中線、角平分線的角度：三線合一

對稱性：是軸對稱圖形.

2.類比等腰三角形的性質，你能得到等邊三角形的什么性質？

（1）等邊三角形的邊有什么特點？

邊：等邊三角形的三邊均相等.

幾何語言表示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC

（2）通過觀察和分析，嘗試去分析三角形的三個角有什么特點？（請同學們討論、得出結論并論證）嘗試去證明三角形的任意角為60度。

已知：△ABC是等邊三角形。求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，BC=AB.

∴∠A=∠B，∠A=∠C.

∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=60°.

∴∠A=∠B=∠C=60°.

得到等邊三角形的性質：

等邊三角形的三個內角是完全一樣的，而且每個角的度數都是60度

幾何語言表示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

（3）嘗試思考等邊三角形是否具有三線合一的特殊性質

通過分析，就可以發現等邊三角形每條邊上的中線、高和所對應頂角的平分線都三線合一。

3.學以致用

例1.如圖，等邊三角形ABC中，點D是BC邊中點，則∠B=_____________，∠ADC=_______________，∠BAD=____________.

練習1.如上圖已知在等邊三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=8，則BD=_______.

4.探究等邊三角形的判定方法

（1）如何將等腰三角形轉換成為等邊三角形？

猜想：（1）對于一個三角形來講，它的三個角是完全一樣的，此時就可以將其看作是等邊三角形。

（2）對于一個等腰三角形來講如果，它的任何一個角存在60度的狀態，那么可以推斷該三角形為等邊三角形。

請你將這兩個命題進行證明：

已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形。

證明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，

∴BC=AC，AC=AB.

∴AB=BC=AC.

∴△ABC是等邊三角形.

于是得到等邊三角形的判定1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）對等邊三角形的判定方式進行分析與總結

①如果一個三角形，它的三條邊相等，那么可以斷定該三角形為等邊三角形;

②如果一個三角形，它的三角內容完全一樣，那么可以推斷出該三角形每個角度均為60度，此它為等邊三角形;

③如果有一個等腰三角形，其中它的一個角為六十度，那么可以推斷出它是等邊三角形.

（三）例題解析

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形。

證明：△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等邊三角形.

設計意圖：培養學生應用所學知識解決問題，鼓勵創新于多角度多方法思考問題，活躍學生的思維，拓展創造性的能力與意識。

（四）課堂小結

1.等邊三角形的性質：

三條邊都相等;

三個角都相等，且都為60°;

三線合一;

是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

2.等邊三角形的判定：

三條邊都相等的三角形是等邊三角形;

三個角都相等的三角形是等邊三角形;

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節所學內容，理解等邊三角形的性質和判定，掌握類似學習、自主探究的學習方法。綜合運用等邊三角形的性質和判定解決問題。

四、教學反思及同課異構對比

本次同課異構是借班上課，提前了解了學生的學習進度，開課就先讓學生們心情愉快自己動手拼搭三角形，課堂氣氛很快活躍起來，借拼搭結論復習等腰三角形相關內容過渡得也非常順暢，同學們積極參與課堂，認真思考，大膽表達自己的發現和疑惑。

通過對整節課的回顧以及分析，可以發現該課程環節緊湊，思路清晰，做到以學生為教學主體，既放手讓學生自主探究，又在基本定理上強調表達規范。尤其是在例題講解方面，通過一個證明題書寫了等邊三角形判定及性質應用的規范書寫。在板書設計方面，為學生指出了重點內容，可以讓學生準確掌握相關知識。總體來說，教學內容充實，學生對知識點和學習方法的掌握比較到位。