光纖激光基模光束的 β 因子*

張雨秋 黃良金 常琦 安毅 馬鵬飛 冷進勇 周樸

(國防科技大學前沿交叉學科學院, 長沙 410073)

(2021 年2 月6 日收到; 2021 年6 月3 日收到修改稿)

1 引 言

光纖激光器具有閾值低、效率高、結構緊湊、免維護等優點, 在光纖通信、傳感、工業加工、國防等多個領域中有著巨大的應用潛力[1-4]. 隨著光纖制備、半導體激光器[5]等相關技術的快速發展, 光纖激光器的輸出功率日益增長[6-8]. 光束質量是高能激光系統的重要性能指標, 因此在追求更高的輸出功率的同時, 研究人員也在不斷探尋光束質量的評價方法.

目前為止, 針對不同的應用, 人們對光束質量提出了多種定義, 主要包括: 聚焦光斑尺寸、斯特列爾比、遠場發散角、衍射極限倍數β因子、桶中功率 (能量)、光束參數乘積、光束傳輸因子和M2因子[9-13]. 其中,M2因子同時考慮了近場和遠場的光場分布特性, 避免了只使用遠場半徑或者遠場發散角給光束質量的測量帶來的不確定性, 被國際標準化組織(ISO)推薦為評價光束質量的重要標準[14], 目前大多數光纖激光光束質量的評價采用了M2因子[15-20], 且已有通用測量設備[21]. 但是,當激光光斑呈現非高斯分布時,M2因子并不能準確地反映光束質量的優劣[22]. 如在高能激光束能量輸運和激光工業制造等應用場合中, 人們更關注實際光束的遠場集中度(即光束可聚焦能力)[10]. 在此類情形中, 衍射極限倍數β因子常作為光束質量的評價標準[23-28]. 一方面,β因子能反映光束的能量傳輸效率和可聚焦能力, 且比M2因子更方便測量, 至今已有較多文獻對β因子進行了研究[27-30];另一方面, 光纖激光輸出的光束并不是嚴格的高斯分布(即便是基模光束), 到目前為止, 研究光纖激光輸出光束β因子的相關工作還比較欠缺[27]. 與其他激光器不同的是, 在光纖激光器中光束被限制在纖芯中傳輸, 且光纖歸一化頻率V對光纖激光器輸出光束的能量集中度和光強分布影響較大[31],因此, 需要詳細討論光束質量評價標準中理想光束的選取.

本文利用衍射極限倍數β因子作為光纖激光基模(LP01模)的光束質量評價參數, 根據LP01模光強分布的規律采取了新的理想光束定義方式, 分別研究了LP01模的光束質量β因子隨歸一化頻率V、纖芯半徑a和數值孔徑NA的變化. 目前高功率光纖激光器大都采用摻雜階躍折射率光纖(SIF)作為增益介質, 不失一般性, 本文選取基于SIF 的激光光束作為研究對象. 以往激光器系統常用M2因子作為光束質量評價標準, 因此, 本文還將β因子與M2因子進行對比分析, 并對主要結論進行了合理的解釋.

2 理論模型

本節將給出光纖中LP01模的光場表達式, 并對適用于光纖激光的光束質量β因子和M2因子的計算公式進行分析討論.

2.1 LP01 模電場分布

高功率光纖激光器所用的SIF 基本都能滿足弱導近似, 因此, 在纖芯半徑為a的SIF 中, LP01模的電場分布為[32]

式中, J0和K0分別表示0 階第一類貝塞爾函數和第二類修正貝塞爾函數.U和W的定義為

值得說明的是, 當LP01模的V< 1.5 時, 波導結構不能有效地將光能量約束在纖芯內, 導致大部分光場分布在包層中, 而使光場偏離了高斯分布[31], 且V< 1.5 的光纖纖芯尺寸很小, 不適用于高功率激光的產生. 為了抑制非線性效應、熱透鏡效應等效應的產生, 高功率光纖激光器的纖芯尺寸可能較大, 此時光纖已不再是單模, 即V> 2.405. 為了滿足光纖傳輸、工業加工等應用的需求, 可以通過模式控制手段或者采用特種光纖, 在多模光纖中實現等效單模輸出[34,35]. 綜上所述, 本文中歸一化頻率V的取值范圍在1.5—20.0, 將多模光纖所支持的基模情況考慮在內.

2.2 衍射極限倍數β 因子

衍射極限倍數β因子定義為[36]

圖1 不同歸一化頻率V 下, 纖芯半徑(洋紅色實線)和包含LP01 模99%能量的環圍半徑(黃色虛線)示意圖Fig. 1. Schematic of core radius (magenta solid line) and the radius containing 99% of the energy of LP01 mode (yellow dotted line) for different values of normalized frequency V.

在遠場平面處, 本文將分別采用環圍功率(能量)桶半徑定義和二階矩束寬定義[36]對β因子的計算進行比較分析. 環圍功率也叫作桶中功率(power in the bucket, PIB), 用來表征光束的能量集中度, 它反映了激光束的遠場聚焦能力. 其定義為給定“桶”半徑b內的激光功率占總功率的百分比[13]:

對于任意電場分布E(x,y), “桶”半徑b稱為其環圍功率桶半徑, 常用的PIB = 86.5%, 83.8%. 圓形實心均勻光束遠場發散角θ0=0.61λ/a內所占能量比為83.8%[10], 因此本文以83.8%環圍功率桶半徑作為聚焦光斑半徑wf.

光束重心位置j和二階矩束寬wj分別定義為[37]

式中j=x,y,xˉ 和yˉ 分別代表x和y方向光束重心位置,wx和wy分別代表x和y方向光束二階矩束寬.

2.3 M2 因子

M2因子的定義為[38]

該定義要求光束束腰寬度按照(8)式所示二階矩定義進行計算. 對于理想基模高斯光束, 其束腰寬度和遠場發散角的乘積為λ/π. 通常情況下, 實際光束M2>1, M2值越大, 實際光束越偏離理想基模高斯光束分布, 光束質量越差.

3 數值模擬結果及分析

圖2 為不同歸一化頻率V下, LP01模和理想光束在初始平面和焦平面的歸一化一維光強分布.為了方便對比焦平面處的光斑大小, 計算中出射面的均勻平面波和LP01模的總能量相同, 焦平面的光強分布以均勻平面波的最大光強進行歸一化. 由圖可知, 當歸一化頻率V增大時, 初始平面處均勻平面波的半徑減小, 也就是說, LP01模的光強分布集中度增大(見圖2(a1)—(a4)). 圖2(b1)—(b4)中豎直藍色實線和洋紅色虛線分別表示LP01模和理想光束的環圍桶功率半徑位置, 從圖中可看出,與理想光束相比, LP01模的環圍功率桶半徑在V較小時略大于理想光束, 隨著LP01模歸一化頻率V增大, 其環圍功率桶半徑逐漸小于理想光束,遠場能量集中度逐漸大于理想光束.

圖2 不同歸一化頻率V 下, LP01 模(藍色實線)和理想光束(洋紅色虛線)在出射面 ((a1)—(a4))和焦平面((b1)—(b4))的一維光強分布Fig. 2. For different values of normalized frequency V, 1D intensity distributions of LP01 mode (blue solid line) and ideal beam(magenta dotted line) in the initial plane ((a1)-(a4)) and focal plane((b1)-(b4)).

當遠場半徑采用不同定義方式時,β因子隨歸一化頻率V的變化曲線圖如圖3 所示. 由圖3 可知, 當理想光束選取包含LP01模99%能量的圓形實心均勻光束時, LP01模的β值隨著V的增大而減小, 當到達極小值后β值又緩慢增大. 該變化趨勢說明隨著歸一化頻率的增大, LP01模的遠場聚焦能力迅速提高, 后以微小的幅度逐漸減弱, 當V> 5 時, LP01模的光場分布被限制在纖芯中并趨于穩定. 圖3 中β取最小值的位置(V= 7.6)已用實心圓點標識出來, 該點處LP01模的遠場聚焦能力最強, 當以二階矩束寬定義遠場半徑時βmin=0.7439; 當以環圍功率半徑定義遠場半徑時βmin=0.7119. 在V> 5 時LP01模有著較好的遠場聚焦能力, 并且此時的β值變化幅度較小, 在二階矩束寬和環圍功率半徑定義下的β值分別處在0.75 和0.72 附近. 此外, 以二階矩束寬定義的β值略大于環圍功率半徑定義的β值, 實際測量中, 可以根據測量方法和誤差大小選取合適的遠場光斑光束半徑定義方式. 特別地, 當V> 1.8 時,β值小于1(見圖3 綠色區域), 結合圖1 可知, 當V小于1 時,表示LP01模的遠場能量集中度大于理想光束, 隨著歸一化頻率V的增大, LP01模β值減小, 遠場能量集中度增大, 光束質量越好. 值得說明的是, 本文中LP01模小于1 時并不是超衍射的情形, 該結果是由于理想光束選取標準的不同所造成的. Yan等[27]曾分析了雙包層光纖在理想光束分別以均勻平面波和高斯光束定義下的光束質量因子β取值,兩種不同的定義方式其光束質量β值差別較大, 在均勻平面波作為理想光束時其β值小于1, 這是由于高斯光束與平面波傳輸特性的不同造成的.

圖3 不同半徑定義下β 因子隨歸一化頻率V 的變化關系Fig. 3. β factor versus normalized frequency V for different definitions of radius.

接下來, 分別研究纖芯半徑a和數值孔徑NA對β因子的影響. 圖4(a), (b)分別為β因子隨纖芯半徑a和數值孔徑NA變化曲線圖. 由圖4(a)可知, 固定數值孔徑NA不變時,β因子隨纖芯半徑a增大先減小后緩慢增大. 當纖芯半徑a小于20 μm 時, 纖芯半徑的變化對β因子的影響較大.由圖4(b)可知, 固定纖芯半徑a不變時,β因子隨數值孔徑NA的增大而減小. 纖芯半徑a越小, 數值孔徑NA的變化對β因子的影響越大. 事實上,歸一化頻率V與纖芯半徑和數值孔徑成正比, 纖芯半徑或數值孔徑的增大都會造成歸一化頻率V的增大, 因此β因子隨纖芯半徑和數值孔徑的變化趨勢和β因子隨歸一化頻率V的變化趨勢一致.

圖4 β 因子隨纖芯半徑a (a)和數值孔徑NA (b)的變化關系圖Fig. 4. β factor versus core radius a (a) and numerical aperture NA (b).

從β因子評價角度來看, 以上計算結果表明光纖激光LP01模的光束質量β因子隨著歸一化頻率V先減小后緩慢增大, 當V> 1.8 時β值小于1, 并且在V> 5 時基本保持不變; 從M2因子評價角度看, LP01模的M2因子始終大于1(圖5(a)),并且M2因子隨著歸一化頻率V的增大先減小后增大, 與文獻[32, 39]的結果一致. 這就表明當選用不同的理想光束和光束質量評價標準時, 得到了不同的結論. 將圖5(a)中同一歸一化頻率V所對應的M2和β值表示在圖5(b)中, 得到β因子隨M2因子的變化關系圖, 由圖可知LP01模的β因子和M2因子的變化關系圖呈非線性關系, 也就是說,M2因子和β因子并無一一對應關系.

圖5 (a) 光束質量因子隨歸一化頻率V 和(b) β 因子隨M2因子的變化關系圖Fig. 5. (a) Beam quality factor versus normalized frequency V and (b) β factor versus M2 factor.

眾所周知,M2因子是以基模高斯光束作為理想光束評判實際光束的光束質量,M2因子越接近1, 光束的傳輸特性越接近基模高斯光束, 一般認為其光束質量越好. 而β因子是評價光束能量集中度的物理量, 其遠場發散角越小, 認為其光束質量越好. 因此, 對于非基模高斯光束來說, 兩種評價標準無絕對的聯系, 具體應采用哪種評價標準評價光束質量需結合實際應用需求進行討論. 對于高功率激光能量輸運、對靶目標進行損傷、慣性約束核聚變驅動器、工業材料激光加工等應用場合中, 考慮采用β因子作為光束質量評價標準; 對于激光通信、光束經過望遠鏡系統等應用中, 考慮采用M2因子作為光束質量評價標準.

4 結 論

本文研究了階躍折射率光纖中LP01模的光束質量β因子變化規律. 結果表明: 當理想光束選取包含LP01模99%能量的圓形實心均勻光束時, 隨著歸一化頻率V的增大, LP01模的β值先減小后緩慢增大, 能量集中度增大. 特別地, 當V> 1.8時, LP01模的β值小于1, 其光束質量要優于理想光束; 當V> 5 時,β值基本保持不變. 固定數值孔徑NA不變時,β因子隨纖芯半徑a增大而減小,并且在纖芯半徑a小于20 μm 時, 纖芯半徑的變化對β因子的影響較大; 固定纖芯半徑a不變時,β因子隨數值孔徑NA增大而減小, 纖芯半徑a越小, 數值孔徑NA的變化對β因子的影響越大. 此外, 本文研究了LP01模β因子和M2因子之間的關系, 結果顯示β因子和M2因子呈非線性關系,即LP01模的β因子和M2因子并無一一對應的關系. 以上結果可為高能光纖激光系統設計提供重要參考.