物理學的美與真：楊振寧的科學貢獻

施郁

2002年6月27日，巴黎，國際理論物理大會剛剛結束，施郁與楊振寧先生合影

很榮幸能在楊振寧先生百歲華誕之際做這個報告，向大家匯報一下我關于楊先生科學貢獻的一些研究，我的一些體會。

為了慶祝楊先生100歲生日，我做了100頁PPT。演講分6個部分：引言、與粒子物理一同成長、統計力學的旅程、楊-米爾斯理論、楊振寧研究工作的特點、對稱性支配相互作用。

一、引言

楊先生在21世紀初有一個非常有影響的演講：《20世紀理論物理的三個主旋律：量子化，對稱性，相位因子》。

對稱性就是楊振寧本人物理生涯的主旋律，對于物理學之美的追尋貫穿了楊振寧的科學生涯。

楊先生曾經回憶：“我物理上的品味很大程度形成于1938年到1944年在西南聯大學習的時期。那些年，我開始欣賞愛因斯坦、狄拉克和費米的工作。他們當然有不同的風格。然而他們都有一種能力，能夠從物理概念、理論結構或者物理現象提煉出基本，然后集中于本質。”

楊先生將各位大師的風格總結為：愛因斯坦，深廣；狄拉克，笛卡爾式的純粹；費米，厚實、穩健有力。他還用“秋水文章不染塵”形容狄拉克的文章，用“神來之筆”及高適的詩“性靈出萬象，風格超常倫”描述狄拉克方程和反粒子理論。楊先生的風格結合了這三種不同的風格。因為三位大師都有共同的能力，楊先生也具有“提煉出基本，集中于本質”這一能力。

我用4個詞來描繪楊先生的風格：原創、優雅、功力、物理。

楊先生的老朋友戴森（Freeman Dyson）在1999年有一個著名的演講，提到：“楊教授是繼愛因斯坦和狄拉克后，20世紀物理學的卓越風格大師……向費米學到了最多的物理……他是保守的革命者。”

2015年的時候，戴森自己曾經解讀這一演講：“我強調了楊振寧的三個杰出品質，這些品質通常很難結合在一起。第一，奇特的數學技巧，這使得他能夠解決技術問題。第二，對自然的深刻理解，這使他問重要的問題。第三，社會精神，這使他在中華文明的復興中扮演了重要角色。這三個品質共同將他塑造成他，一位繼往開來的保守革命者。”

關于芝加哥時期，楊先生的老同學、1988年諾貝爾獎得主斯坦伯格（Jack Steinberger）曾經回憶：“最令人印象深刻的是楊振寧，戰后，24歲的他從中國來。雖然戰時中國條件有限但他來芝加哥讀研究生時，熟悉所有的現代物理。”

1947年年初，楊先生給黃昆寫信，說有點幻滅（disillusionment）。然后在這一年，他學習鉆研了4個題目，后來都開花結果，導致4個重要的發現。

楊先生在那一年還發表了在美國的第一篇文章“量子時空”（On Quantized Space-Time），在當時斯涅徳（George Snyder）剛發表的理論中，通過時空彎曲實現平移不變性。這也是對稱性方面的一個工作。這篇文章沉睡了幾十年以后，突然在21世紀以來，因為非對易幾何的興起，引用大大增多（圖1）。本文引用情況來自Web of Sciences數據庫（截至2021年8月12日。此數據庫的早期數據存在收錄遺漏的情況，僅作參考）。

圖1 在美國的第一篇文章“量子時空”的歷年引用情況

二、與粒子物理一同成長

二戰后，物理學家回到基礎研究，粒子物理大發展。對稱性分析是關鍵，而這正是楊先生所擅長，他逐步成長為理論粒子物理的締造者之一。

楊先生早年有3篇文章在對稱性分析方面初步確立領先。第一篇（1948年）基于對稱分析，得到核反應產物角分布。這是他的博士論文，導師是特勒（Edward Teller）。第二篇（1950年）從對稱性原理得到π0介子衰變為2個光子的選擇定則，在芝加哥完成。 第三篇是1950年和蒂奧莫（Jayme Tiomno）合作的β衰變等過程中自旋1/2粒子的宇稱算符的相位因子，這是到普林斯頓后的第一篇文章。

其中關于π0衰變的工作最著名，發表幾年后成了標準知識，一般不引用原文了。有意思的是，20世紀80年代引用又多起來，21世紀以來開始飆升（圖2）。

圖2 π0衰變文章的歷年引用情況

1949年，楊先生還有一項著名的工作是和費米合作的費米-楊模型，探討核子和反核子組成π介子的假設。當時普遍認為介子是基本粒子，而費米和楊振寧提出：“介子是基本粒子嗎？”楊先生并未幻想細節與實際一致，但是費米認為，問題本身就值得發表。剛才提到，戴森說，楊振寧問重要的問題。費米-楊模型就是一個很好的例子。

這個工作有很重要的歷史意義，相當于發現原子后，問原子是否可分。 斯坦伯格的評價很干脆:“如果將核子換成夸克，現在還是這個圖像。”

這說明基本的物理思想是最重要的。

因漸近自由而獲得2004年諾貝爾獎的維爾切克（Frank Wilczek）做過跟斯坦伯格精神一致但更詳細的評論。首先，費米-楊模型堅實地以相對論量子場論為框架（那個時候量子場論還沒有被普遍接受為粒子物理的框架）。其次，由重得多的粒子組成輕的粒子（借助于結合能），是個解放性概念，后來用夸克和膠子組成介子和核子正是沿著這個思路。再次，費米-楊模型對強作用采用與弱作用費米理論類似的形式，期待了強和弱作用機制的深刻類似，這是標準模型的中心特征，而標準模型正巧建立在楊振寧本人的楊-米爾斯理論基礎上。

楊振寧在做出獲得諾貝爾獎的工作前，還有兩個粒子物理唯象工作。一是1949年在芝加哥與李政道和羅森布魯特（Rosenbluth）關于弱相互作用普適性的半頁紙短文，這一工作很快成了這個領域的基本知識。二是1956年和李政道提出G宇稱、聯合電荷共軛對稱和同位旋對稱，由此確定了強作用過程的一些選擇定則。

1956年最重要的物理難題就是所謂θ-τ之謎。θ和τ這兩個基本粒子很奇怪，它們的宇稱不同，但質量和壽命完全一樣。如果物理過程的宇稱總是守恒的，那θ和τ就是兩個粒子。但是為什么大自然要將它們的質量和壽命微調成完全一樣？這非常奇怪，很不自然，很不美。

楊振寧和李政道兩位先生共同發表了劃時代的文章，提出：“弱相互作用中宇稱是否守恒？” 這又是一個戴森所說的重要問題。 這個問題將θ-τ這樣一個具體的難題擴展為一個弱相互作用的普遍問題。他們提出很關鍵的“宇稱在強與電磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也許不守恒”的可能性，將弱相互作用主宰的衰變過程獨立出來。就是說，粒子的產生是強相互作用過程，是宇稱守恒的，因此粒子本身有確定的宇稱：但是衰變的時候，由于是由弱相互作用主宰，有可能宇稱不守恒，那么同一種粒子就可以衰變成宇稱不同的產物。這樣，θ和τ就是同一種粒子，只不過可以衰變為不同宇稱的產物。

楊先生和李先生經過具體計算發現，以前并沒有實驗證明在弱相互作用中宇稱是否守恒。這是一個頓悟時刻（aha moment）！

然而長期以來，宇稱守恒有著直覺上的吸引力，被當作自然、神圣的，而且非常有用，因此，楊振寧和李政道的論文受到普遍的輕視、異議乃至嘲弄。但是吳健雄決定做他們指出的實驗中的60Co β衰變實驗（楊振寧后來評價：“獨具慧眼”）。1957年1月初，她領導的實驗組證明此過程中宇稱確實不守恒，引起整個物理學界的巨大震蕩。楊振寧和李政道當年即被授予諾貝爾獎。得獎速度創造整個諾貝爾獎歷史記錄，至今未被打破，前無古人，后無來者。

因電弱理論獲得1979年諾貝爾獎的溫伯格（Steven Weinberg）描述：“李政道和楊振寧扭轉了從愛因斯坦開始的物理學家的一個傾向，即對稱性是不言而喻的原理。每個人都感到這一突破帶來的激動。”

這篇論文引發宇稱革命，第二年有極多的引用，但是因為成為核心知識，原文引用自然衰減。但從20世紀90年代開始，原文引用又增加起來（圖3）。

圖3 諾貝爾獎論文的歷年引用情況

1957年，楊先生和李先生又做了一系列宇稱破壞的后續工作。

首先，楊先生、李先生和歐米（Reinhard Oehme）合作，討論弱相互作用中，宇稱（P）、電荷共軛（C）、時間反演（T）各自不守恒之間的關系。前一年秋天，他們就開始研究這個問題。實驗上確定宇稱不守恒后，他們1月7號投稿。當然他們沒想到電荷共軛-宇稱（CP）也不守恒，但是他們的理論框架，對1964年CP不守恒分析有決定性影響。

3天后，楊先生和李先生又將中微子二分量理論投稿。由于宇稱不守恒，可以用手性區分中微子和反中微子，各自只有兩個分量。文章詳盡討論了實驗相關問題，簡潔地指出中微子探測的截面應該是原來理論結果的兩倍。1960年，中微子發現者雷納斯（Frederick Reines）和科萬（Clyde Cowan）指出，探測截面確實應該比他們最初（1956年）公布的增加一倍。1978年，萊茵斯解釋：“當初對于探測器效率估計過大。” 2002年萊茵斯在諾貝爾演講中說：“正如我們幾年后從李政道和楊振寧處了解到的，截面應該擴大到兩倍，因為宇稱不守恒及中微子手性。”

宇稱不守恒確立后，人們紛紛研究其他弱相互作用衰變，包括超子衰變為π介子和核子。1957年10月，楊先生和李先生對此作了分析。他們定義的幾個關鍵參數成為這個領域的標準語言。

1960年，李先生和楊先生作了高能中微子實驗的理論探討，是這方面的第一個理論分析，引導出后來許多重要研究，也討論了傳遞弱作用的中間玻色子W。斯坦伯格的諾貝爾獎就是在中微子這方面，他說：“這種實驗的物理意義在李政道和楊振寧的論文中被列表討論，這篇文章被證明是預知未來的……當中微子束和探測器越來越強后，這些過程成為多年深入實驗的課題。”

1960到1962年，楊先生和李先生還對中間玻色子做了唯象和邏輯分析。

1999年諾貝爾獎得主韋爾特曼（Martinus J.G.Veltman）說: “他們剛開始系統研究矢量玻色子（弱相互作用的W和Z），無法知道他們在發展標準模型上可以走多遠。”

1964年，實驗上發現了CP不守恒。 楊先生和吳大峻提出分析CP不守恒的唯象框架，與李-歐米-楊文章共同定義了該領域的理論框架和術語。

CP不守恒的實驗發現者克羅寧（James Cronin，獲1980年諾貝爾獎）說：“在1964年的所有這些理論文章中，只有兩篇今天還被引用。其中之一是吳大峻和楊振寧的文章……在過去的29年中是實驗的指導。”而斯坦伯格回憶，正是吳-楊文章啟發他去測量中性K介子衰變的主要參數。

1965年開始，楊先生和合作者對高能強子碰撞做了一系列研究，將強子看成一個延展物，發展了一個唯象幾何模型，解釋了很多現象，提出許多被普遍使用的概念（合作者包括吳大峻、拜爾斯、鄒祖德、貝內克、閻愛德等）。

楊振寧粒子物理唯象工作的特點可以小結如下。楊先生和合作者運用對稱原理，立足實驗分析，提出未來實驗方向，而不隨便猜測，體現了費米的影響。 這些工作與實驗密切聯系，引領了本領域發展，成為標準知識，大多進入教科書，人們一般不引用原文了。因為科研新發展，部分文章近年來引用又開始明顯增加。

三、統計力學的旅程

1952年，楊先生發表了二維伊辛模型的自發磁化計算。這是楊先生做過的最長的計算，是絕對的壯舉！戴森稱之為“雅可比橢圓函數理論的大師式練習”。在楊先生建議下，張承修計算了長方形格點，與楊先生計算的正方形格點的臨界指數都是1/8。這是臨界指數普適性的最早跡象。

1952年楊振寧還與李政道合作發表了兩篇相變統計理論的文章，巧妙地研究格氣模型的巨配分函數，解析延拓到逸度的復平面上，其零點分布決定熱力學性質。熱力學極限下，零點趨向正實軸，代表相變。由此澄清了相變本質，消除了對于同一相互作用下可存在不同熱力學相的疑惑，即“分子如何‘知道’聚集成液體還是固體”。這個疑惑現在已經轉變為常識。兩篇文章的高潮是關于伊辛模型零點分布的單位圓定理。楊振寧稱之為“小珍品”，數學物理學家呂埃勒（David Ruelle）將其用來作為猜測和證明定理的典范。這兩篇文章還引起了愛因斯坦的興趣。

一般論文的每年引用數呈下降趨勢，而1952年這3篇相變文章的引用情況很“反常”，20世紀60年代有個飛躍，然后一直保持增長趨勢（圖4）。這反映了統計力學的發展情況，以及這3篇論文的重要地位。

圖4 1952年的3篇相變論文（伊辛模型計算以及與李政道合作的兩篇統計理論文章）的歷年引用情況

楊振寧和李政道獲諾貝爾獎前后，研究了量子多體問題，以玻色氣為主。這是物理上由液氦超流問題驅動，數學上定義完善的模型。

楊振寧先與黃克孫等人將贗勢法用于這個系統。楊振寧和李政道寫完θ-τ文章后，開始發展量子多體的二元碰撞法。鄭振寧、黃克孫、李政道用贗勢法得到同樣結果以及低激發譜，特別是基態能量的平方根修正項，被稱為“李-黃-楊修正”。獲諾貝爾獎后，楊振寧和李政道又回到玻色氣問題，做了一系列后續工作。

50年后，冷原子物理實驗證實了他們的理論結果! 楊先生1992年被問到“選擇10到20年后變得重要的問題的能力”時，回答說：“與物理現象或者與物理學基本結構直接相關的課題。” 玻色氣就是個很好的例子，而且是四五十年后特別重要。

1961年楊先生訪問斯坦福大學，在那里工作的費爾班克（William Fairbank）和戴佛（Bascom Deaver）實驗發現超導環中磁通量以hc/2e為單位的量子化。費爾班克疑惑，這是不是因為電磁場有超越麥克斯韋理論的新規律。楊振寧和拜爾斯（Nina Byers）給出理論解釋，證明了電子配對即可導致觀測到的現象，澄清了不需要引入新的關于電磁場的基本原理。這也是楊先生與實驗家互動的一個例子。

玻色氣和磁通量子化這些問題最終統一起來，引導楊先生走向了非對角長程序。這是他1962年提出的概念，統一刻畫超流和超導的本質。

2006年，因氦3超流理論而獲得2003年諾貝爾獎的萊格特（Anthony Leggett）在他的專著《量子凝聚》序言中說：“我從一開始就采納首先由楊振寧闡明的觀點，即應該簡單地考慮單粒子或兩粒子密度矩陣。”

玻色氣、磁通量子化和非對角長程序這3篇文章的引用，都是多年后遠超當初（圖5）。

圖5 楊振寧的李-黃-楊修正、超導環磁通量子化（與拜爾斯合作）以及非對角長程序論文的歷年引用情況

楊先生還做了一批與貝特（Hans Bethe）假定有關的工作，與楊振平等人合作完成。貝特假定是1931年貝特關于一維自旋鏈的波函數的一個假定，關鍵是自旋波沒有衍射。

非對角長程序工作之后，楊先生尋找具有這種長程序的模型，其間重燃了1947年和1952年對貝特假定的興趣，特別地，他研讀了利布（E.H.Lieb）和林尼格（W.Liniger）用貝特假定研究一維δ函數排斥勢中玻色子的工作。1964—1966年，他和楊振平研究格氣模型里的相變及其量子推廣，然后研究與之等效的各向異性海森堡鏈，用了貝特假定，并如此命名。

楊先生在1967年，研究了一維δ函數排斥勢中的費米子。 這打開了兩個領域的大門：一是楊-巴克斯特方程，開辟了在數學和物理中一個重要領域；二是一維費米子，后來在冷原子等實驗系統中實現。次年他還研究了該模型的S矩陣。后來人們研究了很多可解模型的S矩陣。楊-巴克斯特方程與扭結理論、辮子群、霍普夫代數、量子群、拓撲、弦理論等等都有密切的關系。兩年后，楊振寧又和楊振平研究了一維δ函數排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴格解。這是歷史上首次得到的有相互作用的量子統計模型在有限溫度的嚴格解，近年來，也在冷原子系統中得到實驗實現和驗證。

楊-巴克斯特方程和有限溫度解這兩篇文章的引用情況也都是呈長期上升趨勢（圖6）。

圖6 楊振寧的楊-巴克斯特方程論文和有限溫度一維玻色子論文（與楊振平合作）的歷年引用情況

1989年，楊先生終于找到了具有非對角長程序的模型，是在高溫超導這一當代問題中很重要的二維Hubbard模型，而且是在激發態。具體來說，是通過η配對。這是總波數為π的電子之間配對（傳統配對的總波數為0）。這篇文章的引用數在20世紀90年代中期最多，之后有所回落，現在又開始明顯增多（相對而言，發表時間距離現在時間還不算很長）（圖7）。

圖7 1990年Hubbard模型中η配對的文章的歷年引用情況

在η配對基礎上，楊振寧和張首晟很快發現了Hubbard模型的SO（4）對稱性，與超導性和磁性都相關。由此，張首晟后來又發展出高溫超導的SO（5）理論，將超導性與磁性統一起來。張首晟稱之為“對稱性支配相圖”。

SO（4）對稱性這篇文章引用很多，Google Scholar統計到近千篇，但是在Web of Science無引用信息，因為此文發表于新雜志，作為支持。

楊先生沒有研究生物物理，但是也問過這方面的一個重要問題。他在給《相變與臨界現象》（多姆和格林編，共20卷，1971—2001）第一卷的序言最后一段寫道：“今后幾十年的一個重大智力挑戰是腦組織的問題。記憶存儲的基本機制是什么？什么過程實現體內基本上化學的過程與大腦的很特定、非統計的操作之間的聯系？最重要的，人腦如何實現概念的形成？我疑惑，是不是這些研究中的物理學精神與感動‘熱力學的合理基礎’奠基者的并不相似。”

在這個方向上，利特爾的文章發表于1974年，霍普菲爾德的文章發表于1982年。

楊振寧統計力學（含多體和凝聚態）工作的特色可以小結如下。楊先生對扎根于物理現實的普遍模型嚴格求解與分析，從而漂亮地抓住問題的本質和精髓。這方面工作與物理現象、場論和數學都有深刻聯系，對稱性也起了重要作用。大多數工作具有極長的生命力，原文引用不斷創新高。

四、楊-米爾斯理論

1947年，在芝加哥，楊先生學習了泡利對于規范理論的綜述文章，對于通過規范（指相位）不變性得到電荷守恒這一思想印象深刻，并試圖將它推廣到非阿貝爾規范理論，以描述粒子間的相互作用。當時也有實驗背景。1947 年，π+介子在宇宙線中被發現。所以楊先生也試圖與介子掛鉤。但是1947年的嘗試沒有成功。

到了1954年時，越來越多的粒子被發現。楊先生覺得，需要一個原理，來寫下相互作用。楊先生在訪問布魯克海文實驗室時，與米爾斯合作，在兩篇短文中，提出了楊-米爾斯理論。這兩篇短文是：

1.C.N.Yang， R.Mills， 同位旋守恒與廣義規范不變，Phys.Rev.95， 631 （1954）；

2.C.N.Yang， R.Mills， 同位旋守恒與同位規范不變，Phys.Rev.96， 191 （1954）。

第一篇短文是楊振寧1964年4月在美國物理學會會議的報告的摘要：“電荷是電磁場的源。這里的一個重要概念是規范不變性，它緊密相關于 （1）電磁場的運動方程，（2）流密度的存在， （3）可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。 我們嘗試將這一規范不變性的概念推廣，以用于同位旋守恒……”

這是推廣規范場的第一條途徑，將同位旋守恒跟電荷守恒相類比，既然電荷守恒是阿貝爾規范不變性的后果，那么提出，同位旋守恒也是一種規范不變性的后果，這個規范不變是非阿貝爾規范不變。

第二篇《同位旋守恒與同位規范不變》是完整的論文，其摘要強調了第二條推廣途徑，即同位旋轉動是局域的，而不是整體的： “……探討了在局域同位旋轉動下的不變性。這導致建立同位旋規范不變性原理，以及b場的存在，它和同位旋的關系同于電磁場與電荷的關系。b場滿足非線性微分方程。 b場的量子是自旋1、同位旋1、電荷±e或零的粒子。”

所以楊先生的思路如下。與局域相位變換聯系的阿貝爾規范不變性表現為電荷守恒，并導致電磁相互作用。外爾發現了這個理論結構，雖然當時電磁相互作用已經是已知的。楊-米爾斯理論將它推廣為與局域同位旋變換聯系的非阿貝爾規范不變性，由此決定新的、待確定的相互作用。這敲開了“對稱性支配相互作用”原理的大門。

通過后來許多學者于二十世紀六七十年代引入的自發對稱破缺與漸進自由的觀念，楊-米爾斯理論發展成今天的粒子物理標準模型，包括：1） 電弱統一理論：U（1）XSU（2）楊-米爾斯理論；2） 量子色動力學：SU（3）楊-米爾斯理論。

多位理論物理學家因為基于楊-米爾斯理論的工作而獲得諾貝爾獎。

楊振寧和米爾斯1954年文章的最后一段討論了規范粒子的質量問題：“在電動力學中，人們認為，電荷守恒要求光子質量消失。對于b場（即楊-米爾斯規范場），沒有相應的論證，雖然同位旋守恒成立。因此我們對于b量子（即楊-米爾斯規范粒子）不能做出任何結論。”

這有預見性。后來發現，楊-米爾斯規范粒子的質量確實可能不為零，也可能為零。電弱理論中，在保持物理定律的對稱性前提下，允許現象的對稱性自發破缺，這導致弱相互作用規范粒子質量不為零。而在關于強相互作用的量子色動力學中，規范對稱沒有破缺，規范粒子膠子的質量確實為零，但是夸克和膠子被禁閉著。

1979 年諾貝爾獎是關于建立在楊-米爾斯理論基礎上的電弱統一理論，授予格拉肖（Sheldon Glashow）、溫伯格和薩拉姆（Abdus Salan）。格拉肖在諾貝爾演講中說：“今天我們有個被稱作基本粒子物理學的‘標準理論’，其中強、弱和電磁相互作用都從局域對稱原理給出……這個概念在1954年被用到非阿貝爾局域對稱群。”

溫伯格在諾貝爾演講中說：“更復雜的群的推廣是1954年楊和米爾斯一篇重要文章中做出，他們展示了怎樣構造一個強相互作用的SU（2）規范理論……我們目前關于基本粒子相互作用的細節性理論可以作為對稱原理和對付無窮大的可重正化原理的后果。”

1999年諾貝爾獎是關于楊-米爾斯理論的可重正性，授予韋爾特曼和特·胡夫特（Gerard ‘t Hooft）。韋爾特曼在諾貝爾演講中說： “楊-米爾斯理論大概是對于重正化來說最好的理論……從探究楊-米爾斯理論中的費曼圖開始，我確定了很多發散的消失。”

特·胡夫特在諾貝爾演講中說：“我計算了場論的標度性質，我嘗試的第一個理論是楊-米爾斯理論……量子色動力學是一種規范群SU（3）的楊-米爾斯理論。”

特·胡夫特也發現了漸近自由，但是沒有發表。

2004年諾貝爾獎是關于楊-米爾斯理論的漸近自由，授予格羅斯（David Gross）、維爾切克和普利策（David Politzer）。獲獎人格羅斯在諾貝爾演講中說：“特·胡夫特關于楊-米爾斯理論可重正性的杰出工作將非阿貝爾規范理論重新介紹到業內……我們判斷可以計算楊-米爾斯理論的β函數……”

獲獎人維爾切克在諾貝爾演講中說:“我們發現展示漸近自由的理論叫做非阿貝爾規范理論，或者楊-米爾斯理論（楊和米爾斯，1954）。”

楊-米爾斯理論已成為標準知識和核心知識，絕大多數人不引用原文，正如討論相對論時一般不引用愛因斯坦的原文。以“Yang Mills”為主題的論文有2萬篇，以“non ablian”為主題的論文有七千多篇。原文引用趨勢先是逐年上升，1978年左右是高峰，然后下降，20世紀90年代以來又開始上升（圖8）。

圖8 1954年楊-米爾斯理論原始論文的歷年引用情況

1957年4月羅切斯特會議上，楊先生就曾提出弱相互作用的中間矢量場可能是規范場。但是楊先生認為不應當馬虎地將規范場變成唯象的東西，認為牽強嘗試破壞了規范不變性。

20世紀60年代后期開始，楊先生回到規范場，在規范場數學結構和磁單極方面做了一系列重要工作，開辟了新領域。 其中第一篇是1967年和吳大峻合作的非阿貝爾磁單極，是經典純楊-米爾斯理論的第一個解。

1967—1968年，楊先生意識到規范場深刻的幾何意義，開始研究規范場的積分形式，發現了不可積相位因子的重要性。此文給出推廣規范理論的第三條途徑：將不可積相位因子推廣為不可積李群元素。

楊先生和吳大峻將規范場基本概念“翻譯”成纖維叢基本概念。關于數學和物理對應的“吳-楊字典”引起數學界的廣泛興趣。其中與物理上的源對應的問號代表當時還沒研究。

文章里面還包含了用不可積相位因子，重新研究狄拉克磁單極，揭示了拓撲和物理的深刻聯系，解決了有幾十年歷史的奇異弦困難。有的文獻稱之為阿貝爾吳-楊磁單極。1976年他們又用纖維叢概念詳細討論，楊先生認為這是他最優雅的工作之一。

這兩篇文章引用一直很多，因為發現了新的豐富礦藏，不斷被發掘（圖9）。

圖9 楊振寧和吳大峻1975年規范場與纖維叢對應的論文以及1976年第一篇磁單極論文的歷年引用情況

對于無源規范場， 1977年楊先生討論了楊-米爾斯場的一般性的自對偶條件，得到“楊方程”。后來人們發現楊方程與可積系統有密切關系。自對偶解，即瞬子解，于1975年由別拉溫（Belavin）、波利亞科夫（ Polyakov）、 施瓦茨（Schwarz）、特尤普金（Tyupkin）（四人合稱BPST）首先得到。

1978年，楊先生又將狄拉克磁單極推廣到五維平直空間或者四維球空間的SU（2）規范場，這是四維平直空間的BPST瞬子解在四維球空間的共形映射。

楊-米爾斯理論帶來一系列數學進展：

1.阿蒂亞研究了瞬子解分類，與希欽（N.Hitchin）和辛格（I.Singer）計算了瞬子模空間的維數。

2.于倫貝克（K.Uhlenbeck）將楊-米爾斯方程表示成橢圓系統，導致一系列結果（ 2019 阿貝爾獎成果一部分）。

3.陶布斯（C.Taubes）研究瞬子模空間邊界和自對偶四維流形的粘結。

4.唐納森（S.Donaldson）在前面三人工作基礎上，用瞬子模空間研究四維微分流形拓撲，得到唐納森定理。結合弗里德曼定理，說明存在一種四維可微流形，與四維歐幾里得空間拓撲等價卻不微分等價（1986菲爾茲獎）。

5.威滕（E.Witten）用超對稱楊-米爾斯理論研究低維拓撲等數學問題。

阿蒂亞說：“1977年以后我的興趣轉向規范理論以及幾何與物理的相互作用……辛格告訴我楊-米爾斯方程，通過楊振寧的影響，它正在向數學圈滲透。”

于倫貝克說: “楊-米爾斯方程正等著被發現。但是數學家不能自己創造它們。規范場論是個領養的孩子。物理學家楊和米爾斯于1954年寫下他們的方程。”

所以楊先生開啟了物理與數學前沿兩個匯合點：楊-巴克斯特方程和楊-米爾斯理論，大大促進了數學與物理學以后的成功合作。

有多項菲爾茲獎獲獎工作與楊-巴克斯特方程或楊-米爾斯理論有密切的關系，這兩者之間的深刻聯系也越來越多地被揭示出來。

楊先生感懷：“大多數物理同事對數學采取實用主義的態度……我對數學有更多的欣賞。我欣賞數學家的價值判斷，我崇尚數學的美和力量……奇跡中的奇跡，數學中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本結構！”

五、楊振寧研究工作的特點

對于自己研究工作的特點，楊先生本人總結的三要素是：眼光、堅持、力量。

在研究中，楊先生特別關注: 物理現象和實驗事實，例如，他鼓勵外村彰用超導環驗證了AB效應；物理學基本結構；物理理論形式的美。

他從物理現象和自己的物理思想出發，做出深刻發現，不趕時髦、不隨大流、不落俗套。

楊先生腳踏實地，有費米之風。他和李先生提出中微子二分量理論時，在有實驗證據之前不隨便猜測，一旦有了實驗證據則透徹討論。1964年，他和吳大峻沒有理會脫離實際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來實驗的仔細分析，建立了分析此類現象的唯象框架。

縱觀楊先生的學術研究生涯，可謂是“文章千古事，得失寸心知”。有些工作的重要性因為得到實驗支持很快被承認，比如粒子物理唯象的工作，特別是關于宇稱不守恒的工作。 有些工作的重要性則隨著時間的推移與日俱增，比如楊-米爾斯場論以及統計力學中的很多工作。

這些特征貫穿了楊先生整個研究生涯。

六、對稱性支配相互作用

1979年，在紀念愛因斯坦百年壽辰演講中，楊先生總結了“對稱性支配相互作用”總原理。

愛因斯坦開啟了這個原理，從廣義坐標不變性確定了未知的引力定律，即廣義相對論。外爾最初試圖推廣廣義相對論，統一引力和電磁力，后來將規范變換修改為量子力學中的相位變換，從阿貝爾規范不變性確定了電磁定律，雖然當時電磁定律是已知的。楊-米爾斯理論從非阿貝爾規范不變性確定未知的新的相互作用定律。 所以，4種基本相互作用都由對稱性決定。楊-米爾斯理論是20世紀理論物理三個主旋律交融變奏的高潮。

確實，特·胡夫特說: “規范理論成為基本粒子理論的中樞概念，并被期待在更基本的理論構造中扮演同樣必要的角色，以提供普適物理定律的包容一切的圖像。”

因此，“對稱性支配相互作用”這一論斷概況了半個多世紀理論物理主要概念性進展，并將繼續為理論物理的進步提供一般性指導。

我稱之為物理定律的定律（Law of laws）。

“對稱性支配相互作用”原理的歷史脈絡就是：愛因斯坦—外爾—楊振寧。

格羅斯說：“對稱性支配相互作用而楊振寧支配對稱性。”

“對稱性支配相互作用”使得基本規律別無選擇，成為必然，可以被確定，消除了任意性。在深層次的規律上，美就是真，真就是美，美支配真。我們通過美確定真。當然，要通過實驗檢驗。這是人類思想史上深刻的一筆。可謂是大美至真！

我們引述戴森對于楊-米爾斯理論的3個評論：

1.“非阿貝爾規范場的發現打下新的知識結構基礎，這個知識結構的建造花費了30年。現代理論描述，又被現代實驗證實，物質的狀態是非阿貝爾規范場的湯，這些規范場由楊振寧45年前發現的數學對稱性聚集在一起。”

2.“楊振寧占據了外爾的位置，成為我這一代物理學家的領頭鳥……楊振寧還畫龍點睛地指出，愛因斯坦引力理論符合同一個框架……非阿貝爾規范場生成非平庸的李代數，場之間的相互作用形式被唯一地確定下來，因此對稱性支配相互作用。這個想法是楊振寧對物理學最大的貢獻。”

3.“楊-米爾斯規范場是狄拉克方程之后，理論物理最重要的發現。”

楊先生曾經回顧1954年的價值判斷：“（A）規范不變性的美和力量，以及（B）規范玻色子的質量問題。對于米爾斯和我來說，中心動機來自（A），正如我們的短摘要所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結道：‘因此我們沒有得到關于b量子的質量的任何結論。’也就是說，我們將（B）當作未來的問題。”

從非阿貝爾規范不變性得到相互作用，是楊-米爾斯理論的核心思想，是正確的。規范粒子質量問題后來得到了解決。粒子物理標準模型的成功證實了楊振寧基于美的眼光、判斷和勇氣。 這是物理學歷史的幸運。

談到歷史，我們可以從哥白尼的日心說得到教益。 哥白尼日心說的核心思想是，所有行星繞日運動。由此自然地解釋了托勒密地心說中很多奇怪的規定。這是一個大美。它的優點在于美，然而它并不比托勒密的地心說更符合觀測。它也借用托勒密的方法，如偏心和本輪。日心說在對觀測符合上的優勢，要等到伽利略基于望遠鏡的發現。而基于正圓的理論缺陷，要等到開普勒的橢圓軌道來消除。

但是哥白尼日心說的核心思想是正確的，其他問題后來解決。圓對稱（甚至擴大為球對稱）轉移到深層次的牛頓引力定律，而軌道形狀由于自發對稱破缺而成為橢圓。這在細節上也碰巧與楊-米爾斯理論有類似。

500年前的哥白尼日心說，今天依然重要，核心思想的重要性和正確性更清楚。可以期待，楊-米爾斯理論500年后也將重要，核心思想的重要性和正確性也會更清楚。

“對稱性支配相互作用”原理的三位關鍵人物愛因斯坦、外爾、楊振寧都是戴森在普林斯頓高等研究院的同事。

楊-米爾斯理論完美詮釋了普林斯頓高等研究院院徽（圖10）表達的理念：

圖10 普林斯頓高等研究院的院徽

美即是真，真即是美 （Beauty is truth， truth beauty）

——濟慈 （John Keats）

感謝楊振寧先生對物理學的偉大貢獻！恭祝楊先生百歲生日快樂！祝楊先生保持身體健康，科學生涯再譜新篇！