剪得斷，理不亂
——制作正方體展開圖有感

文／南京師范大學第二附屬初級中學 張子巖

學習了“走進圖形世界”，我發現正方體的11種展開圖中（圖略），每幅圖都要剪7刀。這是巧合嗎？下面，我以其中的一幅圖為例，將我的思考過程和大家分享。

思考1：如何說明正方體被剪了幾刀？

我嘗試將展開圖復原成正方體，發現被剪開的棱較多，難以一一標注，沒有被剪開的棱較少，于是我將沒有被剪開的棱標注成紅色（如圖1）。

圖1

我們都知道，正方體有11 種平面展開圖。通過標注，我發現每種展開圖中沒被剪開的棱都是5條，而正方體有12條棱，所以展開時，需要剪開7條棱，即要剪7刀。

思考2：為什么未被剪開的棱都是5 條？是巧合嗎？

“逆向”思考：利用正方形磁力片，我模擬了正方形連接成平面展開圖的過程。如圖2，將2 塊磁力片相連，產生了1 條“未剪棱”。再放第三塊磁力片，不管放在哪個位置連接，都會多出1 條“未剪棱”。依次進行下去，我發現，每多放1 塊磁力片，就會多出1 條“未剪棱”。正方體共6 個面，即共需要6 塊磁力片，因此，連接時一定會產生5條“未剪棱”。

圖2

思考3：放1 塊磁力片能產生2 條“未剪棱”嗎？

我嘗試后發現，要想放1塊磁力片產生2條未剪棱，首先需要將已經連接的磁力片形成如圖3 所示的直角，然后將下一塊磁力片放置于右上角的缺口處。但此時會形成“田”字格形狀，顯然無法折疊成正方體。

圖3

感悟：7 刀剪開正方體，不是巧合，而且未被剪開的棱一定是5條。

延展：我又將三棱錐展開成平面圖，發現共需要剪開3條棱。大家可以自己嘗試一下。

教師點評

小作者善于從觀察、實踐中發現規律。更可貴的是，小作者不滿足于此，進一步探尋規律背后的原理，力求“知其然，知其所以然”。在研究過程中，“剪”難研究，小作者便研究“未剪”；“斷開”難研究，小作者便研究“連接”。這種逆向思維體現了小作者優秀的數學思維品質。