動(dòng)手操作 理解“圖形”

文／丁建生

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）

“走進(jìn)圖形世界”涉及的知識(shí)較多，有點(diǎn)、線、面的關(guān)系，圖形的運(yùn)動(dòng)，展開(kāi)與折疊，三視圖等，是今后學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，我們可以動(dòng)手操作圖形，以便更直觀地觀察圖形，加深對(duì)圖形的理解。

一、動(dòng)手操作，理解“圖形的形成”

通過(guò)簡(jiǎn)單的操作，我們能體會(huì)“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。同學(xué)們?cè)囍M(jìn)行類似下面的操作并進(jìn)一步思考：

1.若長(zhǎng)方形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)1 周，能形成什么樣的幾何體？有幾種情況？何時(shí)體積較大？何時(shí)幾何體的表面積較大？

2.若直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)1周，形成的幾何體有幾種？哪種體積較大？哪種表面積較大？

3.若銳角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)1周，能形成什么樣的幾何體？

4.若鈍角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)1周，能形成什么樣的幾何體？

5. 請(qǐng)說(shuō)說(shuō)求上述幾何體體積的思路。

我們一邊旋轉(zhuǎn)（操作）圖形，一邊就能發(fā)現(xiàn)，幾何體的形狀已經(jīng)具體呈現(xiàn)了。但要回答何時(shí)（種）體積較大、表面積較大，需要我們多操作幾次，同時(shí)進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納、猜想。當(dāng)我們有足夠的知識(shí)時(shí)，可以做嚴(yán)密的計(jì)算與論證。這樣的過(guò)程其實(shí)也是我們研究問(wèn)題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般性過(guò)程。

二、動(dòng)手操作，理解“圖形的運(yùn)動(dòng)”

平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是幾何中的3種圖形運(yùn)動(dòng)。一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)上述“運(yùn)動(dòng)”后，運(yùn)動(dòng)前后的圖形大小、形狀都沒(méi)有改變，這意味著組成圖形的元素及相互關(guān)系也沒(méi)有改變。我們借助這些運(yùn)動(dòng)，既可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形組合、構(gòu)造復(fù)雜的圖形，也可以尋找解決問(wèn)題的方法。

回憶一下小學(xué)階段我們是如何畫一個(gè)角等于已知角的，其本質(zhì)就是平移角的邊。由此進(jìn)一步思考：線平行，角就相等嗎？這是我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的。民間剪紙中許多圖案就是用“圖形翻折”的方法剪出來(lái)的，同學(xué)們可以動(dòng)手剪一個(gè)“囍”，慢慢體會(huì)其中的數(shù)學(xué)原理。

三、動(dòng)手操作，理解“圖形的互逆”

一個(gè)平面圖形經(jīng)過(guò)折疊可變成立體圖形，反之，一個(gè)立體圖形沿著某條（些）線（邊、棱）剪開(kāi)就成了平面圖形，這是二維與三維、平面與立體圖形的相互聯(lián)系和變化。基于此，我們往往把立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面圖形問(wèn)題來(lái)解決。例如，求長(zhǎng)方體表面上兩點(diǎn)間的最短距離。我們的解決辦法，就是把它展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)之間的距離。

我們知道平面上“兩點(diǎn)之間線段最短”，但由于用不同的展開(kāi)方法，兩點(diǎn)之間的線段就可能不同，哪條線段最短呢？需要我們多操作、比較。

再以長(zhǎng)方體為例，我們進(jìn)行如下操作：

1.用刀把長(zhǎng)方體截開(kāi)，請(qǐng)問(wèn)截面是幾邊形？

2.用一張長(zhǎng)方形紙片，剪、折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，如何剪、折才能使盒子的體積最大？

對(duì)于這些問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)本章的過(guò)程中自行嘗試解決哦！