基于電路控制的梯度折射率曲面聲學透鏡研究

陳 峰,廉 盟,曹 暾,

(1.大連理工大學 生物醫學工程學院，遼寧 大連 116024;2.大連理工大學 光電工程與儀器科學學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

聲學超材料可以實現自然界中不常見的材料聲學性能，為新型聲學器件研發提供了可能，如隱身斗篷[1-3]，波前轉換器[4-5]，聲學聚焦透鏡[6-9]等。其中，聲學梯度折射率(GRIN,gradient index)透鏡[10-14]是一種特殊的聲學超材料，因其折射率在介質中的空間分布狀態不斷變化，可改變聲束的傳播路徑，具有衍射極限以下超聲成像等應用潛力，為醫療器械、秘密通信、聲學檢測等領域提供了無限可能。國內外相關研究機構已經利用聲子晶體與聲學超材料設計多種類型的聲學GRIN透鏡，通過改變單元的結構參數, 實現不同的梯度折射率的聲學效果。如2016年袁保國[15]等人提出了一種二維聲學麥克斯韋魚眼透鏡，該透鏡采用空間螺旋形聲學超材料，成功地將聲波從其表面的點源輻射到透鏡直徑相反的一側。2020年J. Hyun等人[16]提出了一種由填充分數不同的圓柱體組成的對稱GRIN聲子晶體結構，以調整空間聲折射率，從而使聲波向目標中心區域的任何方向聚焦。

盡管聲學GRIN透鏡具有新型而奇異的特性，但由于其梯度折射率的實現全部依賴于幾何陣列結構的漸變，制造復雜、成本較高。相比于以上基于聲子晶體和卷曲空間的結構型變折射率材料來實現聲學透鏡的方式，近年來，在電磁波，水面波，彈性波等領域已經提出了采用不同常規材料組成非均勻介質的GRIN透鏡裝置。2015年王振宇等人[17]將通過逐漸改變水深來控制水面波傳播，實現線性水面波所需的梯度折射率，以控制水波的彎曲、定向發射和聚焦。2016年Mitchell-Thomas等人[18]利用在金箔表面不同厚度的有機玻璃在GHz波段制作了表面電磁波隱身斗篷。通過合適的折射率曲面修正了由于曲率引起的面波陣面形狀的畸變。然而上述GRIN透鏡模型只能實現一種特殊的波導現象，不具備功能調諧性。如果一種透鏡能夠在人為操縱下實現兩種及以上的聲學現象，將為復雜的聲波成像器件提供新思路。

本文提出了一種基于折射率可調諧材料的聲學透鏡，采用有限元數值方法，基于多層變折射率愛因斯坦環形的RineHart曲面殼體結構[19]，建立RineHart曲面折射率模型，調控外部電路控制改變材料折射率的梯度分布[20]狀態，實現聲波傳播路徑的操控，形成功能可切換的波形轉換聲學器件。

1 三維聲學GRIN透鏡結構設計

變換聲學理論提出一種二維平面聲學透鏡，通過改變二維平面空間聲學折射率分布來控制聲波的傳播路徑。受愛因斯坦環的啟發，本文采用不同聲折射率層介質彎曲聲束代替引力場環彎曲光束的方式，構造三維曲率空間聲學透鏡，實現聲波的重匯聚。三維曲面聲學透鏡的結構如圖1(a)所示，由一系列直徑不同的圓環層沿z軸疊加組成，圓環材料聲折射率沿z向發生梯度變化，實現波形操控。

圖1 Rinehart曲面聲學透鏡幾何和數學模型

三維聲學透鏡的梯度折射率N(ρ)分布如圖1(b)所示，其中ρ是截面圓環的半徑，球形表面上任意臨近的A、B兩點之間距離dL，根據微分三角形可表示為：

dL2=ds2+ρ2dθ2

(1)

式中，s是z向頂點到沿母線C任意點S對應的弧長，θ是S點對應截面圓環的中心角。將dL乘以折射率n，得到A、B兩點之間的聲程dφ：

dφ2=n2(ds2+ρ2dθ2)

(2)

以自定義曲面坐標系代替柱面坐標系，將便于曲面上聲程的計算，其中曲面坐標系的3個自變量為s，ρ和θ。如果以曲面坐標系的ρ和θ作為自變量，公式(2)可寫為:

dφ2=N(ρ)2(s'(ρ)2dρ2+ρ2dθ2)

(3)

如果以曲面坐標系的s和θ作為自變量，公式(2)可寫為:

dφ2=n(s)2(ds2+ρ(s)2dθ2)

(4)

(5)

(6)

式中，R為RineHart曲面底部邊界(z=0)上的點，sR為z向頂點到R點對應的弧長。

Nρ=n(r)r

(7)

(8)

N(s)=n(r)[f(s) ]f(s)/ρ(s)

(9)

(10)

將公式(10)代入式(9)中，可以得到三維曲面透鏡的折射率分布為

N(ρ)=n(r)[F(ρ) ]F(ρ)/ρ

(11)

本文中三維曲面透鏡采用了RineHart曲面，對應的s與ρ關系為s=0.5ρ+0.5sin-1ρ。將s代入公式(10)，則曲面的折射率分布是與ρ和n(r)有關的變量，n(r)是二維平面透鏡各種聲學現象對應的梯度折射率分布，如表1所示。ρ是歸一化變量，相當于r/R。因此，根據二維透鏡的梯度折射率分布狀態即可以設計出具有相同功能的三維聲學透鏡折射率分布狀態。

表1 平面聲學透鏡折射率分布公式

2 聲學GRIN透鏡性能調控方法

根據上文曲面聲學透鏡的理論設計，證明了不同聲學器件效果可以通過改變曲面殼體不同層段的折射率實現，而折射率又可以通過介質間的聲速比值表示。因此本文將關注于如何實現制備材料聲速可調控的曲面聲學透鏡。瓊脂糖水凝膠材料是一種溫敏材料，當溫度發生變化時瓊脂糖水凝膠中的結合水和自由水會相互轉換，材料特性會變化，實現了聲速可控。通過在低溫區域對含水量為65%的瓊脂糖水凝膠的聲速進行測試，獲得對應的聲速與溫度的變化關系。測試方法如下：預先將含水量為65%的溫敏水凝膠用液氮進行低溫冷卻至-30 ℃；然后，在溫敏水凝膠材料側壁粘貼溫度傳感器；最后，停止液氮噴射，在20 ℃室溫環境下，實時測量溫敏水凝膠材料升溫過程中的聲速，聲速曲線如圖2所示，為了獲得合適的仿真數據，采用最小二乘法對超聲聲速曲線進行了擬合，擬合公式如下：

圖2 低溫區域水凝膠的聲速變化曲線

v=0.693 7t2-12.782t+2 054.1

(12)

根據上文的平面透鏡折射率分布和公式(11)、(12)，將不同聲學功能對應的梯度聲速和溫度分布通過電路裝置調控在曲面聲學透鏡上實現對應的聲學器件。考慮到瓊脂糖水凝膠的低溫梯度調控的可實現性，需要先將制備好的曲面聲學透鏡統一降溫處理，再按梯度聲速分布對不同位置的片段升溫，形成低溫區域的溫度梯度分布。本文選取了室溫20 ℃條件下溫敏水凝膠的聲速作為曲面聲學透鏡的梯度分布下界值vb，其數值為2 000 m/s，對應折射率分布上界值nb為0.74。

電路溫控方法如圖3所示，首先，將曲面聲學透鏡放置在內置溫度傳感器的可拆卸封閉腔內中，PLC控制器通過開關電磁閥來控制液氮管道中液氮的流通。預設環境溫度為-35 ℃，腔內溫度傳感器將溫度轉換為電信號發送至上位機對PLC控制器進行反饋[22]。

圖3 曲面聲學透鏡的調控測試圖

然后，為控制曲面聲學透鏡的溫度分布，本文在不同溫敏水凝膠片段內表面上粘貼了導電電極片和溫度傳感器，利用熱電阻電路對聲學透鏡材料進行加熱。通過電路控制器改變恒流源的電流值[23]，使熱電阻電路末端的導電電極片獨立加熱相連的水凝膠片段。最后，我們根據測試所得的低溫區域水凝膠材料聲速變化規律，在軟件系統設置曲面聲學透鏡需要的溫度參數。PLC控制器會預先設定好環境參數，電路控制器會將溫度輸入轉換為電流輸出，使曲面聲學透鏡在電路系統控制下實現低溫區域的聲速梯度分布。

3 仿真結果

本文采用有限元多物理場耦合軟件COMSOL Multiphysics模擬三維曲面透鏡的聲學特性。透鏡幾何參數分別為：襯底采用長方體結構，長為400 mm，寬為300 mm，高度為4 mm。底板上方有近似于橢球形的殼體，半徑為100 mm，高度為63.2 mm，層厚為4 mm。仿真主要實現3個聲學現象，即隱身斗篷、呂內堡透鏡、魚眼透鏡。

3.1 隱身斗篷

根據二維隱身斗篷聲學器件的折射率分布以及公式(11)，計算得到三維聲學透鏡折射率分布公式為:

(13)

計算得出的N(ρ)離散分布值對應的梯度聲速分布如圖4(a)所示。圖4(b)顯示了平面波在70 kHz時隱形斗篷的性能。由于該折射率梯度分布，聲束在曲面透鏡上兩點之間傳播的聲程與對應平面透鏡上投影點之間的聲程相同，可以發現經過曲面透鏡左右的平面波傳播方向、振動相位均不發生改變，聲波在傳播過程中因材料特性與傳播方式會有些許能量衰減。經仿真分析波長越大，衰減程度越低。即以俯視視角看三維曲面透鏡上的聲波傳播路徑，與平面波在二維平面上的傳播效果保持一致，證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以將物體隱藏在凹凸處而不被發現。

圖4 70 kHz隱身斗篷的仿真結果

3.2 呂內堡透鏡

由于設計的RinHart曲面的特殊性，根據二維呂內堡聲學透鏡的折射率分布以及公式(11)，計算得到折射率分布N(ρ)恰好為常數，因此本文三維透鏡折射率分布N(ρ)統一設置為nb，得出對應的梯度聲速分布如圖5(a)所示。圖5(b)顯示了平面波在70 kHz轉換為柱面波的現象，RineHart曲面結合材料折射率會對平面波的傳播方向與振動相位進行調控，經過曲面透鏡后的聲波能量聚焦在曲面邊界的一點上，以柱面波的方式向右側傳播。證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以實現平面波與柱面波的波前變換，且保證振動聲壓近乎不變。同樣的，如果以柱面波源在此曲面透鏡上進行傳播，也會得到相應的平面波。

圖5 70kHz呂內堡透鏡的仿真結果

3.3 魚眼透鏡

針對柱面波特性，本文根據魚眼功能二維聲學透鏡的折射率分布以及公式(11)，計算得到三維魚眼透鏡折射率分布公式為:

(14)

計算得出的N(ρ)離散分布值對應的梯度聲速分布如圖6(a)所示。圖6(b)顯示了柱面波在70 kHz時的對稱魚眼現象。由于該折射率梯度分布，RineHart曲面結合材料折射率分布會對柱面波的傳播方向與振動相位進行調控，使經過曲面透鏡后的聲波波前匯聚成點，在曲面透鏡底部右側邊界產生一個對應左側點聲源的偽點聲源，并以此在透鏡右側以柱面波方式傳播，在傳播過程中因聚焦偽點聲源導致曲面透鏡左右兩側振動聲壓一致，證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以實現兩側對稱的魚眼幻像。

圖6 70 kHz魚眼透鏡的仿真結果

4 透鏡效果的影響因素分析

為了驗證RineHart曲面透鏡梯度參數分布的離散化程度對上述曲面透鏡功能的影響，本文以魚眼透鏡為例探究了聲速梯度離散水平對該現象的影響，圖7(a)、(b)、(c)左側圖分別為6、9、12層離散化魚眼透鏡的梯度聲速分布，右側圖則分別說明了入射聲波(f=70 kHz時)在被分為6、9、12層的曲面透鏡模型上的聲波傳播效果?？梢杂^察到，當聲速梯度以圖6(a)左側圖分布時，6層結構的離散水平也可以實現魚眼效果，但曲面透鏡上兩點之間的聲程與由N(ρ)計算得到的聲程存在一定誤差，柱面波波前畸變嚴重。反之層數越多波形畸變越小，柱面波波前越趨近于平滑，呈現的魚眼透鏡效果也越好。特別當層數達到9層以上時，效果改善程度較不明顯。因此，所以綜合考慮9層梯度折射率聲學曲面透鏡是一個較合理的選擇。

圖7 梯度聲速分布離散化對曲面透鏡的影響

此外，本文還探討了不同頻率的聲波在RineHart曲面透鏡上的傳播效果，計算了透鏡的寬帶。同樣以魚眼透鏡為例，本文探究了不同頻率的超聲對魚眼透鏡的影響，圖8(a)、(b)、(c)說明了入射聲波在9層模型上頻率分別為35 kHz、70 kHz和105 kHz的聲束傳播軌跡。當入射聲波的頻率低于23 kHz時，聲波波長不再遠小于空間特征尺寸，無法明顯觀測聲學透鏡的呈現效果，估算頻率寬帶的下界為23 kHz。當入射聲波的頻率高于115 kHz時，柱面波的波前也不再平滑，聲能量損失過多，呈現效果低于預期。依照此思路對透鏡適用的頻率寬帶上界進行了估計，約為118 kHz左右，驗證了其頻率寬帶特性。如果將三維梯度折射率聲學透鏡應用于其他頻率聲波操控中，可以通過改變透鏡模型幾何尺度或者改變梯度折射率分布的上下界范圍來實現。

圖8 Rinehart曲面透鏡在不同頻率下的仿真結果

5 結束語

綜上所述，本文提出了一種基于電路控制的三維Rinehart曲面聲學透鏡。通過電路控制系統與液氮控制器的溫度控制技術實現曲面聲學透鏡上折射率與聲速的梯度分布呈不同規律時，可控制透鏡具有不同的聲學功能效果，為聲學路徑操控提供了新的方法，仿真實現了隱身斗篷，呂內堡透鏡，魚眼透鏡等功能。此方法不同于以往的基于聲子晶體或聲學超材料的傳統梯度折射率透鏡，聲學透鏡結構簡單、制造難度低，且具有快速可調換的多功能特性，為多功能聲學透鏡的設計制造提供了新思路。