速度反饋分數階PID控制對齒輪系統振動特性的影響

侯靜玉，楊紹普，李 強，劉永強,3

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044；2.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

隨著機械系統不斷向著高速度、高精度、高效率等多個方向發展，對傳動系統的性能也提出了更高的要求。齒輪系統作為機械傳動中應用最廣泛的傳動形式，其具有很多優點，比如傳動比較準確、效率高、結構緊湊、工作可靠和壽命長等，它的性能和動力學行為在很大程度上直接影響著整個設備的工作效率和質量。

由于時變嚙合剛度、齒側間隙和傳動誤差等非線性因素的存在，對系統的振動產生明顯的影響。齒輪系統的振動不僅會產生噪聲,引起傳動系統的不穩定，而且會加速傳動系統的疲勞損害。因此降低其振動噪聲，在減少齒輪箱故障、提高機械系統的安全性和可靠性等方面具有重要的工程意義。比例-積分-微分(proportion-integration-differentiation,PID)控制作為控制系統中應用廣泛、技術成熟的主動控制方法已被應用到各個領域[1-5]。常規的PID控制器的微分環節和積分環節都是整數階的，隨著分數階微積分和控制理論的發展，將常規的PID控制器引入到分數階領域，可以進一步設計出與分數階相關的控制器。分數階PID控制器作為常規整數階PID控制器的推廣，它具有很多顯著的優點，比如分數階PID控制器保留了常規PID控制器的結構簡單、魯棒性強等特點，比整數階PID控制器多了兩個可調參數，對于被控系統來說，具有更大的靈活性和更廣的適應性，并且對被控系統參數的變化不敏感。因此，近年來分數階PID控制受到了學術界的廣泛關注。Li等[6]將偏航率作為反饋輸入，提出了一種基于分數階PID控制器的偏航力矩控制方法，實現了參數在控制過程中的在線整定。為了提高精餾塔過程的性能，Vahab等[7]提出了一種基于動態蝙蝠算法的分數階PID控制器，用于控制餾分和底摩爾餾分。Wang等[8]基于傳統的PID控制器，給出了加熱爐系統的整數階模型的分數階PID控制方法，結合仿真分析結果可知該控制方法對于加熱爐系統具有良好的控制效果。牛江川等[9-10]利用平均法研究了基于位移反饋和速度反饋分數階PID控制的單自由度線性非參激系統和非線性非參激系統的動力學特性。另外在考慮間隙、時變剛度、內外激勵等影響因素時，建立了分數階PID控制下的齒輪副動力學模型，利用增量諧波平衡法求得解析解，并詳細分析了分數階PID控制器的系數及階次對系統無碰撞狀態條件下的動力學行為的影響[11]，而對于單邊碰撞和雙邊碰撞的情況沒有具體分析。Xiao等[12]以時滯為變參數，利用分數階PID控制算法調節在Caputo分數階導數定義下的小世界網絡模型的穩定性和分岔問題。為了有效地實現在太陽強度和溫度快速變化的光伏系統中最大功率點跟蹤控制，Rawat等[13]引入分數階PID控制器，其中微分環節的系數可以在運行時進行更新，積分環節的增益作為瞬時誤差的非線性函數在變化。然而，分數階PID控制算法在齒輪系統振動和噪聲控制方面的相關研究還較少，尤其是考慮齒輪系統的碰撞特性時。

另外，非線性因素的存在使得齒輪傳動系統表現出強非線性特性。因此在建立齒輪非線性動力學模型時需要充分考慮關鍵的非線性因素，同時對系統的求解帶來了新的挑戰。當齒輪傳動系統中的傳動軸、軸承、齒輪箱等的支承剛度遠大于嚙合剛度時，可以簡化為剛性支承，各個組成部件的振動形式僅為扭轉振動，系統模型可簡化為純扭轉模型。目前對該系統求解的方法主要包括數值法和解析法。Shen等[14]利用增量諧波平衡法研究了考慮時變嚙合剛度和間隙的直齒輪副的非線性動力學，建立了模型的解的統一形式。Huang等[15]在考慮時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙等非線性因素時，建立了高速列車齒輪傳動的扭振模型，利用多尺度方法研究了系統的超諧共振和Hopf分岔問題。Kahraman等[16]利用諧波平衡法研究了一對直齒輪副的非線性動力學問題。Xia等[17]建立了考慮時變嚙合剛度、齒側間隙、靜傳動誤差和齒面摩擦的直齒輪副模型，推導出齒輪副的嚙合剛度計算的擴展方法，并利用數值方法分析系統的非線性動力學特性。王立華等[18]針對齒輪系統時變嚙合剛度和齒側間隙耦合作用的具體特點，建立了齒輪副的純扭轉振動分析模型，利用數值積分和數值仿真的方法在某些參數域中進行了非線性振動研究。張思進等[19]建立了考慮齒側間隙時齒輪副主動輪的單自由度非線性模型，通過非光滑系統的Melnikov理論分析了該系統異宿軌全局分岔條件，并給出了每段線性系統的通解。Li等[20]利用快慢分析方法研究了考慮齒側間隙和外激勵作用時的齒輪系統的簇發振蕩現象及其產生機理。然而這些研究都是在整數階微積分基礎上進行的，很少考慮涉及分數階微積分的齒輪傳動系統。

綜上所述，現有研究多偏重于整數階齒輪系統的動力學分析，對于基于分數階PID控制器的齒輪傳動系統的振動特性的研究還很少。本文將分數階PID控制器引入到齒輪系統中，在同時考慮時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙的情況下，建立了基于速度反饋分數階PID控制的齒輪動力學模型。利用增量諧波平衡法求得的近似解析解分析了分數階PID控制器對齒輪嚙合振動的控制效果。

1 速度反饋分數階PID控制下的齒輪動力學模型

作為整數階PID控制器的延拓，速度反饋分數階PID控制器的時域模型[21]可以表示為

(1)

式中：Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分環節的可調系數；λ和δ分別為積分和微分環節的分數階的階次，滿足0≤λ≤1、0≤δ≤1；并且此處采用Caputo分數階微積分定義。將其引入到考慮時變嚙合剛度、尺側間隙和靜態傳遞誤差等因素時齒輪副繞軸的扭轉振動無量綱化模型中[22]，得

(2)

圖1 閉環反饋分數階PID控制系統Fig.1 Closed-loop feedback of fractional-order PID control system

2 基于增量諧波平衡法的高階近似解析解

ω2x″+(2ζ+Kp)ωx′+k(t)fh(x)+

(3)

設式(3)的N階近似解析解為

x=x0+Δx0

(4)

(5)

(6)

式中,

X=[1,cost,cos 2t,…,cosNt,

sint,sin 2t,…,sinNt],

A0=[a0,a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bN]T

ΔA0=[Δa0,Δa1,Δa2,…,ΔaN,Δb1,Δb2,…,ΔbN]T

將式(4)代入式(3)中，fh(x)在x0處泰勒展開并略去高階小量，得

(7)

這樣復雜的常微分方程，直接求解是非常困難的，此處采用Galerkin法將其近似為代數方程后再求解。在積分過程中，分數階微積分作為非周期函數，取周期T=∞，對于其他的周期函數取周期T=2π，并平均積分結果，式(7)可以轉化為

(8)

式(8)可以看作是關于ΔA0的2N+1階線性化代數方程組

PΔA0=G

(9)

因此，通過式(9)的迭代計算，可以求出A0的值，從而利用式(4)～式(6)求出原系統的解。

模型中帶量綱的參數參考Hou等的研究，無量綱化參數分別取ε=0.25,f=0.1,Kp=0.01,Ki=0.01,Kd=0.1,λ=0.5,δ=0.5。此時由增量諧波平衡法得到的關于幅值的最大值和最小值的幅頻響應曲線，如圖2中的實線所示。由冪級數展開法得到的數值解如圖2中的圈線所示。由圖2可知，在該參數條件下，系統響應中不僅存在強烈的主共振響應，同時還存在二次超諧共振和三次超諧共振響應，此時系統處于無碰撞狀態。很明顯，由數值解和解析解得到的結果基本重合。

(a)響應的最大值隨激勵頻率變化的情況

3 分數階PID控制器對齒輪振動的控制效果分析

與整數階PID控制器相比，由于分數階PID控制器增加了兩個可調節的參數，即分數階積分項的階次和分數階微分項的階次，因此分數階PID控制對齒輪系統振動的控制效果不僅與比例、積分、微分三項的系數密切相關，而且與分數階積分項和分數階微分項的階次直接相關。在第2章的參數條件下，通過調節Kp、Ki、Kd、λ、δ其中的一個參數，來分析各個參數對齒輪嚙合過程中共振幅值、共振頻率及碰撞狀態的影響。

3.1 分數階PID控制器各項系數對齒輪振動的控制效果分析

為了分析分數階PID控制器比例環節和積分環節的系數對系統振動特性的影響規律，圖3和圖4分別畫出了不同的Kp和不同的Ki對應的系統的幅頻響應曲線。由圖可以看出，隨著Kp和Ki的增大，響應的幅值的最大值均減小，最小值均增大；共振發生的位置稍微向右偏移，但不是特別明顯。碰撞狀態沒有發生變化。

(a)Kp對幅頻曲線最大值的影響

(a)Ki對幅頻曲線最大值的影響

圖5是分數階PID控制器的微分環節系數發生變化時，對應的幅頻響應曲線。由圖5可知:Kd的變化不僅影響響應的幅值的大小和發生超諧共振和主共振的位置，還影響系統的碰撞狀態。即隨著微分環節系數的增加，響應的最大值隨之減小，相反最小值隨之增大，同時共振發生的位置左移，系統的碰撞狀態也隨之發生變化，由最開始的雙邊碰撞轉化為單邊碰撞，當Kd=0.1時，系統處于無碰撞狀態。

(a)Kd對幅頻曲線最大值的影響

3.2 分數階PID控制器的階次對齒輪振動的控制效果分析

圖6和圖7分別為分數階PID控制器的積分環節和微分環節的階次變化時對應的系統的幅頻響應曲線。由圖6、圖7很明顯可以看出：隨著λ的增大，二次超諧共振和主共振的幅值的最大值增大，最小值減小；而三次超諧共振的幅值的最大值減小，最小值增大；共振發生的位置右移；系統的碰撞狀態不受積分環節分數階階次的影響，一直處于無碰撞狀態。隨著δ的增大，超諧共振和主共振的幅值的最大值增大，最小值減小，共振發生的位置左移，系統的碰撞狀態隨著δ的增大，由無碰撞轉化為單邊碰撞，當δ繼續增大時，系統進入雙邊碰撞狀態。

(a)λ對幅頻曲線最大值的影響

(a)δ對幅頻曲線最大值的影響

3.3 分數階PID控制器和整數階PID控制器的控制效果比較

圖8是系統在不同方式的控制器作用下的響應圖。基礎參數為ε=0.25，f=0.1，其中實線是在分數階PID控制器下的系統響應，即Kp=0.01，Ki=0.01，Kd=0.1，λ=0.5，δ=0.5。雙劃線是在整數階PID控制器作用下的系統響應，此時其他參數與分數階PID控制下的參數取值一致，但是積分環節和微分環節的分數階的階次均取為1。點線繪制的是當Kp=0，Ki=0，Kd=0時，即無PID控制器條件下系統的幅頻響應。由圖8可以看出:在分數階PID控制下的系統處于無碰撞狀態，而相同的條件下，在整數階PID控制器和沒有PID控制器的作用下，系統響應均出現雙邊碰撞。另外，不論是超諧共振還是主共振，分數階PID控制下的幅值的最大值比其他兩種情況下的值小很多。由此可以看出，分數階PID控制器的控制效果明顯優于相同系數的整數階PID控制器的控制效果，并且兩種控制器的控制效果都比沒有控制器的系統響應好一些。

圖8 不同控制器作用下的幅頻響應曲線Fig.8 Amplitude-frequency response curves for different controllers

在實際工程應用中，傳動系統的動力學參數常存在一定的不確定性，如嚙合剛度系數和激勵幅值等，進而造成系統響應具有一定的不確定性。為了討論分數階PID控制器對系統參數的魯棒性，圖9和圖10分別給出了在不同的嚙合剛度系數和不同的激勵幅值的影響下，含有整數階PID控制器和含有分數階PID控制器時系統響應的幅頻曲線。由圖9可以看出:隨著嚙合剛度系數的不斷增大，超諧共振和主共振的幅值的最大值均增大；并且隨著ε的增大，系統的碰撞狀態由無碰撞狀態轉化為單邊碰撞狀態，再轉化為雙邊碰撞狀態。但是超諧共振和主共振發生時對應的頻率的大小沒有受到嚙合剛度系數的影響。另外，隨著激勵幅值的增大，響應的幅值的最大值減小；系統的碰撞狀態由雙邊碰撞狀態轉化為單邊碰撞狀態，再轉化為無碰撞狀態。同樣，超諧共振和主共振發生的位置沒有受到激勵幅值的影響。由圖10可以看出:當ε或f變化時，只對超諧共振和主共振的最大幅值產生一定影響，而系統的共振頻率和碰撞狀態均不受影響。因此，與整數階PID控制器的控制效果相比，分數階PID控制器能夠顯示更好的性能，同時也具有一定的魯棒性。

(a)ε對幅頻曲線最大值的影響

(a)ε對幅頻曲線最大值的影響

4 結 論

(1)利用增量諧波平衡法求得的含有時變嚙合剛度、齒側間隙、傳遞誤差和含有分數階PID控制器的齒輪副動力學模型的高階近似解析解，與直接用冪級數展開法得到的數值解吻合度很高。

(2)通過調節分數階PID控制器各環節的系數和分數階階次可以對響應幅值的大小和共振頻率進行控制。另外，分數階PID控制器微分環節的系數和階次還可以用來控制系統的碰撞狀態。

(3)通過與模型整數階PID控制器和無PID控制器相比較，說明分數階PID控制器對系統振動特性的控制效果明顯優于相同系數的整數階PID控制器的控制效果，尤其是對碰撞狀態的控制。與整數階PID控制器相比，無論是嚙合剛度系數變化時，還是激勵幅值變化時，分數階PID控制器都能夠顯示更好的性能，同時也具有一定的魯棒性。