在公式推導(dǎo)中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

劉燕

（福州華僑中學(xué)，福建 福州 350004）

“直觀想象與其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密不可分.”［1］然而，“高中生對(duì)于直觀想象的總體情況有待提高”［2-3］“幾何與代數(shù)部分掌握最差”［4］，而且“教師從哪些方面培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，怎樣聯(lián)系不是很清楚”［3］.“點(diǎn)到直線的距離公式”是中學(xué)解析幾何教學(xué)中最重要的公式，不僅如此，這節(jié)課的教學(xué)極具思想性和挑戰(zhàn)性，特別能夠體現(xiàn)教師對(duì)教材的理解水平和挖掘深度，特別能夠體現(xiàn)教師對(duì)教材的處理與駕馭能力，特別能夠體現(xiàn)教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)施效果，是各種教學(xué)技能競(jìng)賽關(guān)注焦點(diǎn)和熱點(diǎn)，自然也是每個(gè)高中數(shù)學(xué)教師必須面對(duì)的挑戰(zhàn).因此有必要對(duì)其教學(xué)過程進(jìn)行深刻的反思和積極的探索，厘清知識(shí)之間內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，從整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的高度對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)從“形”到“法”、從“新”到“化”的培養(yǎng)過程.

一、理解學(xué)情重設(shè)計(jì)

課堂教學(xué)是師生雙向的互動(dòng)過程，學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)，從知識(shí)學(xué)習(xí)的角度分析，這節(jié)課學(xué)習(xí)是在學(xué)生已經(jīng)掌握“兩點(diǎn)間距離公式”“兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”“直線方程”、兩條直線的位置關(guān)系與方程系數(shù)關(guān)系等基本的解析幾何知識(shí)的基礎(chǔ)之上，要求學(xué)生具有一定的運(yùn)用“平面向量”等數(shù)學(xué)工具解決問題的能力.這就需要教師在教學(xué)上下足功夫，精準(zhǔn)定位，為“能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題、能夠通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題、能夠通過想象對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)”［5］的直觀想象素養(yǎng)三個(gè)水平的培養(yǎng)做好頂層設(shè)計(jì)；精心設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程，關(guān)鍵是教師如何有效地引導(dǎo)和實(shí)施教學(xué)過程，在教學(xué)過程中滲透直觀想象素養(yǎng)“形、法、新、化”的培養(yǎng)路徑，最終真正實(shí)現(xiàn)“授之以漁”！

二、理解教材重本質(zhì)

理解教材，最重要的是要理解點(diǎn)到直線的距離公式在解析幾何中的地位，“距離”和“角”是幾何學(xué)中最重要測(cè)度概念，其中“兩點(diǎn)間距離”最為重要，解析幾何中學(xué)生首先學(xué)習(xí)的是：

（一）坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，

由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以這個(gè)“距離”分為下面兩種情況：

1.當(dāng)這兩個(gè)已知點(diǎn)所在直線p1p2與y 軸平行時(shí)(x1=x2)；直線p1p2的斜率不存在；

（2）當(dāng)這兩個(gè)已知點(diǎn)所在直線p1p2與y 軸不平行時(shí)(x1≠x2)；直線p1p2的斜率為k，

由此可見，坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式本質(zhì)上是直線上兩點(diǎn)間距離公式，特別地，當(dāng)兩點(diǎn)是直線與曲線的交點(diǎn)時(shí)，即為高考中多次考查的“弦長公式”！通過以上對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的分類變形的重要意義在于二維空間的距離公式變?yōu)橐痪S空間的距離！這種降低維度的方法和分類的方法是用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的重要方法，也是學(xué)生需要逐漸掌握的重要方法.

（二）點(diǎn)到直線的距離公式：d=……（**）

“點(diǎn)到直線的距離”就是過已知點(diǎn)作已知直線的垂線，求已知點(diǎn)到垂足的垂線段的長度，所以，點(diǎn)到直線的距離本質(zhì)上還是兩點(diǎn)之間的距離，這就決定了公式的推導(dǎo)必須以兩點(diǎn)間距離公式為基礎(chǔ)！點(diǎn)到直線的距離的重要意義在于其表示兩種不同類圖形點(diǎn)與直線之間的距離！是對(duì)幾何學(xué)起支撐作用的，能夠承前啟后的核心知識(shí).教師對(duì)教材的思考和分析，是教師教學(xué)的起點(diǎn)，更是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的起點(diǎn).

（三）平行線間的距離——就是其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離

通過以上對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的分析，坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離可以分成“三種距離”，同樣的，坐標(biāo)空間中也有“三種距離”，有點(diǎn)到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離，其中最重要的是點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)楹髢煞N距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離！這些思考是教師必須清楚的，也是教師理解和掌握教材的基礎(chǔ).這種從兩點(diǎn)間距離到點(diǎn)到直線間的距離，再到平行線間的距離的思維方式，是一維到二維，再到三維的類比、遷移、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是教師站在中學(xué)數(shù)學(xué)全局的高度思考數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)圖的必然結(jié)果，是點(diǎn)到直線距離公式的本質(zhì)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的必然要求.

（四）解析幾何的要求——解析法

“點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)”需要學(xué)生學(xué)到的知識(shí)，除了公式推導(dǎo)本身，更重要的是要認(rèn)識(shí)到，從數(shù)學(xué)知識(shí)體系上把握解析幾何的教學(xué)要求，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它在代數(shù)和幾何之間架起了一座溝通的橋梁，解析法是解析幾何的基本方法，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.一方面，要學(xué)會(huì)將幾何問題代數(shù)化，如“點(diǎn)到直線的距離”問題可以轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，通過解決代數(shù)問題，分析代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義，來解決幾何問題；另一方面，在解決幾何問題的過程中，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，精確地用代數(shù)語言來描述幾何圖形，如用代數(shù)中的“數(shù)對(duì)”來表示幾何圖形中的“點(diǎn)”，用代數(shù)中的“聯(lián)立方程組的解”來表示幾何圖形中的“交點(diǎn)”，用代數(shù)中的“方程”來表示幾何圖形中的“曲線”等，正確地用解析法體現(xiàn)“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一.

“通過幾何圖形建立直觀，通過代數(shù)公式表達(dá)規(guī)律.”［6］從中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度，距離問題涉及點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離和線到線、線到面的距離以及平行平面、異面直線間的距離等，而本節(jié)課需要充分理解點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面之間距離的本質(zhì)，更需要教師注重學(xué)生對(duì)幾何圖形的掌握，使學(xué)生在圖形語言、符號(hào)語言和文字語言之間自由切換，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的無縫對(duì)接，實(shí)現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化的思維提升，實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)“形、法、新、化”的逐步滲透，培養(yǎng)學(xué)生通過圖形認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題、提出數(shù)學(xué)問題和表達(dá)數(shù)學(xué)問題，達(dá)到培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)三個(gè)水平的要求.

三、理解教學(xué)重方法

中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，計(jì)算距離可以用綜合幾何方法，也可以用解析幾何方法，還可以用向量方法［5］.因此，在點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)的教學(xué)實(shí)施過程中，每個(gè)細(xì)節(jié)都值得教師們深思熟慮.

（一）開門見山，直擊目標(biāo)，立足“形”

課題的引入一般有兩種模式：其一是許多教師通常選擇具有一個(gè)點(diǎn)和一條直線的“客觀背景”，求點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離為引例，筆者認(rèn)為大可不必，關(guān)于點(diǎn)到直線的距離本質(zhì)上就是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離，應(yīng)該是初中學(xué)習(xí)“點(diǎn)到直線的距離”概念時(shí)就必須讓學(xué)生透徹理解的，而不是本節(jié)的任務(wù)；其二是有教師主張給出具體的已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知具體直線的方程，然后先讓學(xué)生思考并解決問題，進(jìn)而進(jìn)行所謂的“特殊到一般”數(shù)學(xué)思想的滲透，這種數(shù)字到字母的特殊到一般的灌輸是對(duì)“特殊到一般”思想的淺層次的認(rèn)識(shí)，不但不能真正啟迪思維，反而降低課堂效率.如果教師僅僅考慮一節(jié)課的教學(xué)，只是解決“點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)”，那么本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)的要求就有所降低.因此，需要教師站在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系來思考本節(jié)課的意義，那么本節(jié)課就顯得難度大、任務(wù)重，必須以問題為導(dǎo)向，集中精力突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，因此建議引入“開門見山”，直擊目標(biāo)！

求已知點(diǎn)[(x0，y0)到直線Ax+By+C=0 的距離

好的開始是成功的一半，這種直奔主題的方式，配合點(diǎn)到直線的圖形，為本節(jié)課重點(diǎn)關(guān)注直觀想象素養(yǎng)的第一個(gè)要點(diǎn)“形”確定了主基調(diào).

（二）聚焦“交點(diǎn)”，突破難點(diǎn)，注重“法”

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義——過已知點(diǎn)作已知直線的垂線，已知點(diǎn)到垂足的垂線段的長度.學(xué)生很自然會(huì)想到建立垂線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用“兩點(diǎn)間距離公式”，這種思考很直觀，充分體現(xiàn)了解析幾何中數(shù)形結(jié)合的方法，但是也有兩方面的困難，一是直線是否有斜率要分類討論，二是解全是字母系數(shù)的二元一次方程組，求交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)目前的學(xué)生而言，有相當(dāng)大的難度，于是人教版教材“另辟蹊徑”，但是在教學(xué)中教師明顯發(fā)現(xiàn)，學(xué)生覺得有些突兀，欲進(jìn)無方、欲罷不能、進(jìn)退維谷，這就是難點(diǎn)！因此，教學(xué)中，教師既不能照抄教材，也不能脫離教材，應(yīng)對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，尋求突破難點(diǎn)的方法，這就是直面問題，而不是回避問題.

可以讓學(xué)生理解直線的方向向量和法向量的概念，與直線平行的非零向量即為直線的方向向量，與直線方向向量垂直的向量叫做直線的法向量，因此直線的方向向量和法向量都有無數(shù)個(gè)，一條直線的所有的方向向量都共線，一條直線的所有的法向量都共線；很容易找到直線的一個(gè)方向向量和一個(gè)法向量，只需在直線Ax+By+C=0 上任意取兩個(gè)已知點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則是直線的方向向量，

這種利用“平面向量”解決問題的方法無需討論直線的斜率是否存在，因?yàn)槿我庵本€都有方向向量和法向量！從而，很好地避免了“是否有斜率需要討論的問題”.同時(shí)能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中注意到，在解決解析幾何問題時(shí)，向量也是一個(gè)重要的工具.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是潤物細(xì)無聲的滲透，通過向量圖形和代數(shù)方程組實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題，正是直觀想象素養(yǎng)的第二個(gè)要點(diǎn)“法”，從“形”到“法”，是直觀想象水平二的要求.數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”正是對(duì)這一要點(diǎn)的形象描述.

（三）不求交點(diǎn)，有效轉(zhuǎn)化，展現(xiàn)“新”

方法一：（構(gòu)造法——向量法）由于直線的法向量有無數(shù)個(gè)，因此容易求出一個(gè)單位法向量→a=，和一個(gè)平行于y 軸的斜向量（如圖1）點(diǎn)到直線的距離就是斜向量在單位法向量上投影的長度，也就是斜向量與單位法向量數(shù)量積的絕對(duì)值，即d=

圖1

方法二：（構(gòu)造法——等積法）

在前面得到的“點(diǎn)到直線的距離公式”中，當(dāng)B=直線與y 軸平行，此時(shí)a=;

當(dāng)A=0，B≠0 ?直線與x軸平行，此時(shí);

當(dāng)AB≠0 時(shí)，由于“兩點(diǎn)間距離”既可以看作是向量的模長，也可以看作是直角三角形斜邊的長，因此也可以把點(diǎn)到直線的距離看作是直角三角形的高，于是過點(diǎn)P 分別作坐標(biāo)軸的平行線交直線與R，S（如圖2）.

圖2

這個(gè)方法體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，即把一般的距離問題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平行或垂直的距離問題［7］.不難查到，很多學(xué)者就“點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)”進(jìn)行了很好的研究，這些研究為充分理解“點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)”的多樣性，提供了有力的學(xué)術(shù)支撐.這就為直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)過程的第三要點(diǎn)“新”提供了平臺(tái)，這些新方法、新思路，為學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)打開了新的想象空間，產(chǎn)生新的思維突破，也是直觀想象水平三的核心要點(diǎn).

（四）啟迪智慧，煉化思維，成于“化”

通過劃歸與轉(zhuǎn)化，直擊“交點(diǎn)”，不僅有效突破難點(diǎn)，更重要的意義在于揭示了運(yùn)用“向量法”直接求解距離的一般方法，給學(xué)生提供更加廣闊的思考空間，可以提出更加積極和有深度的“探究問題”讓學(xué)生去分析，去思考，去感悟，去猜想！

通過構(gòu)造斜向量在法向量上的投影，從而得到點(diǎn)到直線的距離為高，構(gòu)造三角形的意義在于激發(fā)學(xué)生的想象力——在坐標(biāo)系空間內(nèi)，求點(diǎn)到平面距離是構(gòu)造平面向量的斜向量在法向量上的投影，進(jìn)一步求得距離；或者在一般空間內(nèi)構(gòu)造等體積三棱錐，進(jìn)而求得距離！因此，在鞏固新知識(shí)時(shí)并不是簡單的機(jī)械重復(fù)，會(huì)提出下面的問題：

1.求點(diǎn)到直線的距離——牢記公式；

2.求平行線間的距離——獲得結(jié)論：d=；

3.探究與思考：——喚醒悟性（只是給學(xué)生提供思考的空間激發(fā)其數(shù)學(xué)想象力）；

4.你能猜出空間兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)距離公式嗎？

5.已知空間一點(diǎn)P(x0，y0，z0)和平面方程Ax+By+Cz+D=0.

請(qǐng)你猜想出這個(gè)平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)是什么嗎？

你能猜想點(diǎn)P 到平面的距離公式是什么嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生一定會(huì)猜想到平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)是=(A，B，C)，

6.已知如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn) 分別是棱AA1，DD1的中點(diǎn)，求點(diǎn)C1到平面EFC的距離.

圖3

教師通過這些問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生通過自主觀察、自主思考、自主討論、自主表達(dá)、自主動(dòng)手、自主得出結(jié)論，這些親身體驗(yàn)、感受和理解知識(shí)產(chǎn)生和思維發(fā)展的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，而且二維圖形、三維圖形與距離公式之間的不斷切換，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)提供了有效的途徑，這種類比的思想是直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)過程中的第四個(gè)要點(diǎn)“化”，“化”幾何圖形的有形為代數(shù)的無形，“化”代數(shù)的無形為幾何圖形的有形，正是這種滲透于教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想、方法，才是學(xué)生可以帶走的終身受益的核心素養(yǎng).

教無定法，學(xué)無止境，既要以人為本，也要以本為本.點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)的教學(xué)中滲透著“特殊到一般”“劃歸與轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想，充分挖掘教材的知識(shí)內(nèi)涵，厘清本質(zhì)聯(lián)系，在知識(shí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上肯下功夫，積極思考，不斷探索“形、法、新、化”直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，不斷創(chuàng)新，真正做到讓學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”［5］.