引導學生深度學習數學的階梯式題組教學初探
——以高中數學新教材“2.2 基本不等式”一節為例

黃清鈿

（大田縣第五中學，福建 大田 366100）

學好高中數學，學生需要閱讀課本，嘗試練習，上課聽講，獨立思考，順利解題.但并不是每個學生都能自覺進行這五個方面的學習，在教學實踐中，教師往往會有以下問題需要解決：1.有什么辦法能讓學生自覺去閱讀課本？2.有什么辦法能讓學生自覺去嘗試完成課本或練習冊中的練習？3.有什么辦法能讓學生專心聽課、獨立思考？4.有什么辦法能讓學生用所學知識順利解題？這些問題的解決能有效引導學生進入深度學習，提高學習效率.而解決這些問題需要一個載體，教師通過這個載體促使學生自覺進入深度學習.階梯式題組便是解決上述問題的一個載體，它是由從簡單到綜合、從易到難形成梯度的幾個問題或習題組成的一個題組.教師通過階梯式題組教學引導學生自主閱讀課本，自覺嘗試練習，主動聽課思考，實現學生順利地運用所學知識解題的目標.

一、課前預習的階梯式題組設計

閱讀課文是學生理解教材的基礎，而學生閱讀的重點在于概念、原理及其應用.課前預習的階梯式題組設計要有利于引導學生閱讀分析教材中的概念、原理及應用，常用方法可從以下幾方面進行設計：

1.設計導入問題，引導學生了解本節知識的背景，為學習新概念、新知識作鋪墊

設計導入問題要依托教材中的導入內容和探究內容進行設計，有時也可選擇教材外的材料，但以教材導入內容和探究內容進行設計更有利于學生對教材的閱讀.設計的問題要有層次性，只要學生認真閱讀教材就能找到問題的答案.例如，新教材高中數學必修1 第二章P44“2.2 基本不等式”（下同）導入問題可以進行如下設計：

（1）對?a，b∈R，有（a－b）2≥0，比較a2＋b2 與2ab的大小（用“≥”表示）.在這個不等式中何時等號成立？

（3）如圖，AB 是圓的直徑，點C 是AB 上一點，AC=a，BC=b，過點C 作垂直于AB 的弦DE，連接AD，BD.利用此圖說明a、b 幾何平均數與算術平均數的不等關系.

這一題組從易到難，基礎好的學生不看教材就能解決，基礎一般的學生通過閱讀教材也能順利完成.學生完成這一題組對本節的核心內容就形成了初步的印象：兩正數的幾何平均數小于或等于其算術平均數.

2.設計嘗試練習題，引導學生讀懂關鍵知識點，關注課本例題在知識點應用中的示范作用

嘗試練習題是檢測學生閱讀教材成效的一把尺子，它的設計要“好量”“可量”“量準”.所以嘗試練習題的設計要緊扣概念、公式原理和例題并形成梯度，從易到難.例如“基本不等式”一節，可設計如下嘗試題，讓學生在預習時能獨立完成.

（2）已知ab=1，a＞0，b＞0，求a+b 的最小值.

（3）已知a+b=1，a＞0，b＞0，求ab 的最大值.

（4）課本P46 練習的1-5 題，P48 的小練習1-4.

這一題組的前三題是基礎題，幫助學生鞏固和理解基本不等式，學生一般能較順利地完成.第（4）題是教材的課后練習題，重點檢測學生對基本不等式的應用，有一定的綜合性.學生在完成嘗試練習過程可能會碰到一些問題，但這些問題可讓學生在課堂上產生“求解欲望”，是教師課堂解惑的重要素材.

3.設計總結式問題，引導學生讀懂教材的核心內容

學生預習一節課的內容可能會泛泛而讀，抓不到重點，因此教師在布置預習內容時要為學生提出總結式問題，學生可以按照這些問題在教材中尋找答案，這些問題解決了，本節內容的核心就抓住了.例如“基本不等式”一節，教師可為學生設計如下總結式問題：

（1）什么是基本不等式？怎樣用兩正數的算術平均數和幾何平均數來表示基本不等式？

（2）怎樣直接利用不等式的性質推導出基本不等式？

（3）從你所解的題型中總結出基本不等式的常見用途（不少于2 種）.

（4）運用基本不等式解決數學問題時需注意哪些運用條件？

這一題組可引導學生認真閱讀課文，還能促使學生認真完成嘗試練習并進行思考總結.特別是對知識點的應用，學生可能總結得不完善、不全面，但學生通過獨立思考和研究便能加深對本節核心內容的理解，為教師的課堂解惑環節打下較好的基礎.

二、課堂解惑的階梯式題組教學

有了學生的課前預習，學生對所要學習的內容已有了初步的了解，知道這節課的主要內容是什么，但也存在一些不能消化的問題.因此課堂教學要為學生答疑解惑，用啟發式教學幫助學生解決預習過程中存在的問題.如果只讓學生自己提出存在的問題進行教學，那么這節課可能無法實現既定的教學目標，因為學生在預習過程所碰到的問題多數是“這題不會做”“這題不會答”，缺乏深層的思考性.教師要用設問的形式設計若干問題形成階梯式問題組，引導學生提出問題并找到解決問題的辦法.課堂提問的階梯式題組教學主要從以下兩個方面提問并引導學生提出問題和解決問題.

1.關于概念、公式、定理理解的提問

由于高中數學抽象性較強，一些學生對數學概念定義、公式定理的理解存在障礙.教師的提問要有利于引導學生清除這些障礙.提問時可用階梯式問題組，一步步使學生在回答中理解概念、公式、定理.例如，“基本不等式”一節，正確理解基本不等式這個公式是本節課的關鍵，如何讓學生更好地理解這個公式并用好這個公式，教師可以進行如下提問引導：

師：怎樣表示基本不等式？

師：大家說對嗎？是否缺點什么？你能補完整嗎？

生1：其中a，b 均為正數.

師：基本不等式有哪些變式？公式變形后，a、b 的取值范圍有什么變化？

師：還有嗎？課本P46 的小練習第2 題（1）：x，y 都是正數，且x≠y，求證：.從中你可以得到什么啟發？

師：很好，同學們可以再總結一些其它的常用變形，匯總在一起備用.下面，誰來說說如何推導基本不等式？

生7：直接利用不等式的性質推導，可見課本P44.

師：兩位同學回答得很好.再問：基本不等式這個公式中的a，b 代表什么？舉例說明.

生8：基本不等式中的a，b 可以代表兩個正數，也可以代表兩個大于 0 的代數式，例如+27.3；xy為正數，則.

師：很好.能否從課本例1、例2 中總結一下，基本不等式中的a，b 還可以代表什么樣的代數式？

眾生：和或積為定值的代數式.

師：沒有條件要求嗎？

眾生：和或積為定值的兩個代數式都必須大于0.

通過以上的啟發式教學，學生對基本不等式的內容、條件、應用便有了較深刻的認識.

2.關于重要知識點應用方法的提問

學生學習的效率關鍵在于能否順利應用所學的內容解題，因此課堂上教師要充分了解學生對例題的理解和嘗試練習完成的情況，并引導學生總結新知識點應用的方法.由于學生總結概括的能力不同，而且通過預習只是初步了解一節課的主要內容，所以教師要有針對性地提出一些路徑，讓學生的總結有立足點，概括有參照點.教師可從知識應用的題型種類引導學生概括知識應用的方法，從例題、嘗試題、教師講評題的解法分析引導學生總結知識應用的方法.例如，“基本不等式”一節可以從以下幾個方面提問講解，引導學生總結概括知識點的應用.

（1）從課本例題和嘗試練習中，你認為用基本不等式求最值這類題目的主要特點是什么？怎樣求得這個最值？

（2）用基本不等式求最值需要注意三個條件：“一正、二定、三相等”，如何理解這句話？

（3）基本不等式的應用有哪些題型？借助教材的例題習題、練習冊或輔導用書為以下四種題型配上一至二道習題并進行解答，總結其解題方法：①利用基本不等式比較代數式的大小；②用基本不等式求代數式或函數的最值；③利用基本不等式證明不等式；④用基本不等式解實際應用題.

這三個問題出示給學生后，可留一定時間讓學生思考，然后引導學生回答，學生回答不出來的，教師補充講解.其中第（3）個問題可讓學生前后桌討論交流，最后請個別學生總結回答，教師補充完善.

三、知識應用的階梯式題組練習

數學是一門實踐性很強的學科，學生每學一個知識點都少不了進行一定量的應用練習.由于學生的基礎不同，學習成果各異，所以組織學生進行課堂練習或課后作業，所提供的習題必須面向全體學生，讓每個學生都練有所得，并且通過練習能促進學生鉆研教材或輔助用書，對一時難以完成的題目能按題索法，從教材或輔導書中尋找相似例題，分析其解法，并遷移解決教師布置的練習題中.這一過程是學生進行深度學習的有效體現，學生為解決眼前的問題必然翻動教材和相關的輔導書或者和同學討論研究，一旦問題得到解決，既可增強學生的愉悅感，又能讓學生對所學知識的應用記憶深刻.要讓學生產生這種效果，設計練習題是關鍵，所出示的題目既不能讓學生無從下手，耗費大量時間，也不能讓學生輕松完成，沒有絲毫挑戰性.因此需要設計階梯式題組，同一類題型至少出兩題，先易后難.容易題是指絕大多數學生都能順利完成的題目，目的是讓中下生也能嘗到自主學習成功的甜頭；較難的題是只有一半左右的學生不能順利完成，需要借助教材或輔導用書的相關例題示范才能完成，目的是讓多數學生自主深度閱讀教材或輔導用書，培養學生自主解決問題的能力.例如，“基本不等式”一節，可按題型分類設計階梯式題組，其中用基本不等式求最值這一題型，可設計以下階梯式題組：

A.最小值6 B.最小值8 C 最大值8 D.最大值3

（2）容易題，添項變式后直接用公式：已知x＞2，函數+x的最小值是___.

（3）中檔題，公式變形后的應用：已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab 的最大值等于（）.

A.4 B.8 C.16 D.32

（4）中檔題變式，結合“1”的性質應用公式的變形：若正數a，b 滿足a+b=1，則的最小值為__.

（5）較難題，添項變式及公式變形后的應用：已知a＞0，b＞0，a+b=5，則的最大值為____.

這種從易到難的階梯式題組要結合學情設置，其中的容易題、中檔題、較難題是相對而言的，不能一概而論.只要能使多數學生較順利地完成三分之二的題目，且三分之一的題目通過進一步閱讀教材或教輔書也能解決，則這樣的階梯式題組就是好題組.

四、階梯式題組教學中需注意的問題

如前所述，階梯式題組教學包含課前預習的問題題組，課內的問題題組所進行的啟發式教學，課堂應用或課后作業的階梯式題組練習，每個環節都需要學生花一定的時間進行自主學習思考實踐.因為高中數學的邏輯性較強，前后知識的聯系密切，一個小章節往往需要幾個課時才能完成，如果第一課時或單獨的某一個課時要進行階梯式題組教學，有時在操作上有一定的難度，甚至無法進行，因此需要將幾個課時的教學內容進行整合，進行小單元教學設計.教師在預習、課堂、鞏固練習各環節中設計的階梯式題組可在同一課時發揮作用，也可在不同課時發揮作用.根據一個小章節內容的多少和難易程度，可將整個小章節作為一個小單元進行設計，也可兩三課時的內容作為一個小單元進行設計.例如，“基本不等式”一節教材安排了兩個課時的內容，第一課時介紹基本不等式的內容和簡單應用，第二課時舉例說明基本不等式在實際問題中的應用.階梯式題組教學可將這兩個課時作為一個小單元進行設計，在預習環節就讓學生閱讀整個小單元的內容.要完成本小單元的階梯式題組，學生可能會碰到比較多的問題，所以在第一節課堂上教師要結合學生的問題進行有針對性的啟發式教學，讓學生在第一課時掃清概念、公式、知識點簡單應用等方面的基本問題，第二課時再進行階梯式題組訓練和基本不等式應用題型的拓展總結.

引導學生進行深度學習的方法多種多樣，但各種方法的共同點都是要讓學生動起來.在階梯式題組教學中只要設計好題組加上教師的啟發引導就能較好地讓學生動腦、動口、動手，從而提高學習效率.