立足學生基礎強化代數推理

焦倩玉

本節是蘇科版教材七年級下冊第10章“二元一次方程組”的第3節第1課時。在此之前，學生已經了解了二元一次方程和二元一次方程組的概念，經歷分析實際問題數量關系再列出方程組的過程;同時，也學習過一元一次方程的相關知識，會解一元一次方程。本節學生在嘗試、探索、比較的活動中，發現了代入消元法，體會從二元到一元、從未知到已知的轉化思想，為學習加減消元法，解三元一次方程組和用二元一次方程組解決問題奠定了基礎。

一、教學目標

1.會用代入消元法解二元一次方程組，并能根據二元一次方程組的特點，選用適當的代入消元方式。

2.使用思維導圖分析代入法解方程組的具體步驟，展示各步驟的作用，將思維可視化;滲透算法中程序化的思想，提高思維深度。

3. 經歷從二元到一元的轉化過程，體會解二元一次方程組中化未知為已知的轉化思想方法。

二、教學重難點

教學重點：會用代入消元法解二元一次方程組，并能根據二元一次方程組的特點，選用適當的代入消元方式;經歷從二元到一元的轉化過程，體會轉化思想。

教學難點：歸納得出“將未知數的個數由多化少”的消元思想，然后在這種思想的指導下，從具體到抽象，從特殊到一般，認識代入消元法。

三、教學過程

1.問題探究。

籃球比賽規則規定：贏一場得2分，輸一場得1分。在中學生籃球聯賽中，某球隊賽了12場，共得20分。該球隊贏了幾場？輸了幾場？

問題1：你能用方程表示問題中的數量關系嗎？

問題2：你會解這個二元一次方程組嗎？如果不會，你知道這個方程組解的形式嗎？

【設計意圖】創設學生熟悉的情境“籃球比賽積分問題”，讓學生列出方程（組）。有兩種不同方法：一是列兩個二元一次方程;二是只設一個未知數，列一元一次方程。比較這兩種方法，可以發現，方法一難解，方法二難列。學生已經會解一元一次方程，二元一次方程組雖然好列，但是如何解二元一次方程組成為新問題。

問題3：上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關系？

【設計意圖】問題3是本節課最核心的問題。如果設球隊贏了x場，輸了y場，則可以列出方程組x+y=12，2x+y=20。問題3可以引導學生發現一元一次方程中的12-x 就是方程組中的y，一元一次方程中蘊含的兩個數量關系和方程組所表示的數量關系是一樣的，也就是說這個二元一次方程組和一元一次方程本質上是一樣的。所以我們需要減少未知數的個數，將二元一次方程組轉化為“一元一次方程”。

問題4：如何實現從二元一次方程組到一元一次方程的轉化呢？

問題5：你能說出每一步的依據嗎？

問題6：你能寫出解這個二元一次方程組的完整過程嗎？

【設計意圖】采用思維導圖的形式，滲透算法中程序化的思想，強化思考的深度。分析二元一次方程組，經過對①式進行變形、再代入②式，轉化成學生已經會解的關于x的一元一次方程。變形的依據是等式的基本性質，代入的依據是等量代換，引導學生關注每一步的依據。根據思維導圖，寫出解二元一次方程組的完整過程，進一步體會用代入消元法解二元一次方程組的基本思路。

問題7：你還有其他的變形或者代入方法嗎？請畫出思維導圖。

問題8：這4種方法你都喜歡嗎？選擇你最喜歡的方法寫出完整過程。

問題9：這4種方法之間有什么共同點？

【設計意圖】討論解這個二元一次方程組其他的變形或代入方法，總共4種。體會既可以用含x的代數式表示y，也可以用含y的代數式表示x，既可以將①式代入②式，也可以將②式代入①式。比較這4種方法會發現，當未知數系數的絕對值為1時，轉化后的一元一次方程將更加簡便，體會方法的優化。學生在觀察比較的基礎上，歸納概括代入消元法的基本步驟，即代入法是通過把一個方程（必要時先做適當變形）代入另一個方程實現消元的方法。

2.例題講解。

問題1：代入消元法的基本步驟是什么？

問題2：選擇消去哪個未知數更為簡便？

問題3：如下解答過程中，可以將③式代入①式嗎？

問題4：如何檢驗解是否正確？

【設計意圖】例題的目的是鞏固對代入消元法的認識。應鼓勵學生自己嘗試求解，在此基礎上，引導他們進一步認識代入法的基本步驟“變形——代入——求解——寫解”。使用代入消元法時，在條件允許的情況下，我們會優先選擇消去系數絕對值是1的未知數，避免產生分數系數。引導學生根據方程組的特點，靈活選用適當的方法。例題更關注具體細節。如，由于③式是由①式得到的，所以它只能代入②式，而不能代入①式，否則會出現不含未知數的恒等式，不能繼續解方程。例題雖未作出書面檢驗，但依然要強調檢驗的重要性，要求學生做心算檢驗，養成檢驗的好習慣。

3.鞏固提升。

問題：仔細觀察方程組結構的特殊之處，能不能帶來新的解題思路？

【設計意圖】思路一、二為常規解法，思路三滲透整體思想 。進一步觀察思考后，會發現兩個方程中y的系數互為相反數，由此得出新的思路——通過兩個方程相加實現消元。說明除了代入消元法以外，還有其他的消元方法。這為下一課時學習加減消元法提供了鋪墊。

4.課堂小結。

問題1：這節課你收獲了什么樣的方法？

問題2：這節課你感受到了什么樣的數學思想？