基于MATLAB的線性方程組求解及其可視化

王榮亮 倉龍倉 許鳳桐

摘要：針對當前線性代數計算量大，概念抽象等問題，將Matlab用于方程組將求解和教學，畫出二元齊次非線性方程組的可視化圖像，可以提高課堂效率，促進學生對概念的理解，培養學生數學素養和信息技術素養。

關鍵詞：線性代數;Matlab;方程組;可視化

中圖分類號：G642 ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）30-0150-03

Solution and Visualization of Linear Equations Based on MATLAB

WANG Rong-liang， CANG Long-cang， XU Feng-tong

（Suqian Vocational &Technical College， Suqian 223800， China）

Abstract： Aiming at the problems of large amount of calculation and abstract concept in current linear algebra， Matlab is used to solve and teach equations and draw visual images of binary homogeneous nonlinear equations， which can improve classroom efficiency， promote students' understanding of concepts， and cultivate students' mathematical and information technology literacy.

Key words： linear algebra; MATLAB; equations; visualization

1 引言

線性代數是現代數學重要的一個分支，是高等院校經管類、理工類等相關專業一門重要的基礎必修課，也是利用數學知識解決實際問題的重要工具。線性代數教學的難點主要體現在概念抽象和計算量大兩個方面。計算機技術的快速發展，尤其是許多優秀軟件（如Matlab、Maple、Geogebra）的出現和逐步完善，不但使得大量計算成為了現實，也更利于數學教學可視化，促進學生對概念的理解。

2 基本概念

線性方程組是指聯立的各個方程關于未知量均為一次的。一般形式如下：

[a11x1+a12x2+…a1nxna21x1+a22x2+…a2nxn?am1x1+am2x2+…amnxn=b1=b2=bm] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [（1）]

式中[x1，x2，…xn]代表未知量，[aij（1≤i≤m，1≤j≤n）]稱為方程⑴的系數，[bi（1≤i≤m）]稱為常數項。特別的，當常數項b1，b2，…，bn都等于零時，則方程組⑴稱為齊次線性方程組;當常數項b1，b2，…，bn不全為零時，則方程組⑴稱為非齊次線性方程組。

其中，當[m=n]時，將未知數系數構成的行列式[D=a11a12…a1na21a22…a2n????an1an2…ann]，稱為方程組（1）的系數行列式。

也可將方程組（1）寫成矩陣形式[AX=b]，其中[A=（aij）m×n]稱為系數矩陣。

根據未知數的個數和方程的個數，將方程組分為：

當未知數的個數等于方程的個數，即[m=n]時，稱方程組為適定方程組;

當未知數的個數小于方程的個數，即[m

當未知數的個數大于方程的個數，即[m>n]時，稱方程組為超定方程組。

3 線性方程組的求解

求解線性方程組的方法主要有克萊姆法則、逆矩陣求解法、矩陣除法、初等行變換等，其中各種方法的適用性如下表所示：

3.1適定方程的求解

例1：求線性方程組[2x1-2x2+x3+16x4x1+x2-4x3-2x4-x1+x2-5x3+4x43x1-x2+3x3+x4=2=0=2=1]的解。

解法一：克拉姆法則，程序為：

clear all

clc

A=[2 -2 1 16;1 1 -4 -2;-1 1 -5 4;3 -1 3 1];

D=det（A）

A1=[2 -2 1 16;0 1 -4 -2;2 1 -5 4;1 -1 3 1];

D1=det（A1）;

A2=[2 2 1 16;1 0 -4 -2;-1 2 -5 4;3 1 3 1];

D2=det（A2）;

A3=[2 -2 2 16;1 1 0 -2;-1 1 2 4;3 -1 1 1];

D3=det（A3）;

A4=[2 -2 1 2;1 1 -4 0;-1 1 -5 2;3 -1 3 1];

D4=det（A4）;

x1=D1/D;x2=D2/D;x3=D3/D;x4=D4/D;

X=[x1 x2 x3 x4]

運行的結果為：

D =-54.0000

X =1.0000 ? ?9.0000 ? ?2.0000 ? ?1.0000

可以看出D≠0，所以方程組有唯一解X=（1 9 2 1）T;

解法二：逆矩陣求解法，程序為：

clear all

clc

A=[2 -2 1 16;1 1 -4 -2;-1 1 -5 4;3 -1 3 1];

b=[2 0 2 1]';

X=inv（A）*b;

X=X'

運行的結果為：

X =1.0000 ? ?9.0000 ? ?2.0000 ? ?1.0000

方程組有唯一解X=（1 9 2 1）T;

解法三：矩陣除法，程序為

clear all

clc

A=[2 -2 1 16;1 1 -4 -2;-1 1 -5 4;3 -1 3 1];

b=[2 0 2 1]';

X=A＼b;

X=X'

運行的結果為

X =1.0000 ? ?9.0000 ? ?2.0000 ? ?1.0000

方程組有唯一解X=（1 9 2 1）T;

解法四：初等行變換，程序為

clear all

clc

A=[2 -2 1 16;1 1 -4 -2;-1 1 -5 4;3 -1 3 1];

b=[2 0 2 1]';

r1=rank（A）

r2=rank（[A，b]）

U=rref（[A，b]）

運行的結果為

r1 =4

r2 =4

U =

1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1

0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 9

0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 2

0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 1

結果中，U即為方程組增廣矩陣通過初等行變換得到的行最簡矩陣，矩陣U的最后一列即為方程組的解X=（1 9 2 1）T;同時，也可以發現系數矩陣和增廣矩陣的秩都為4，所以方程組存在唯一解。

3.2欠定方程的求解

例2：求線性方程組

[13x1+3x2+3x3+x4+61x5+33x612x1+6x2+3x3-x4+69x5+29x6-x1+3x2-x3-2x4+4x5-6x62x1-x2+x3+x4+6x5+7x6=13=12=-1=2]的解。

未知數的個數為6，而方程組中方程的個數為4，所以方程組為欠定方程組，可以采取初等行變換進行求解。程序為

clear all

clc

A=[13 3 3 1 61 33 13;12 6 3 -1 69 29 12;-1 3 -1 -2 4 -6 -1;2 -1 1 1 6 7 2];

E=rref（A）

運行的結果為：

E =

1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1

0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 9 ? ? 0 ? ? 0

0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 0

0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 9 ? ? 1 ? ? 0

所以方程組的通解為[X=k1-1-9-4-910+k2-20-2-101+100000]，其中[k1，k2]為任意常數。

3.3超定方程的求解

例3.求線性方程組[x1-3x2x1+x23x1-x2=-1=3=6]的解。

方程中未知的個數是2，而方程組中方程的個數是3，所以方程組為超定方程，只能通過對增廣矩陣進行初等行變換，觀察是否存在解。程序為

clear all

clc

A=[1 -3 -1;1 1 3;3 -1 6]

E=rref（A）

運行的結果為

E =

1 ? ? 0 ? ? 0

0 ? ? 1 ? ? 0

0 ? ? 0 ? ? 1

觀察結果最簡行矩陣E，可以發現最后一行為矛盾方程，故該方程組無解。

4 線性方程組的可視化

線性代數教學的一個重難點就是概念不直觀，而可視化可以為一些概念提供直觀的感受，有助于對概念的理解。以下列三個方程組以及例3中的方程組為例，按照初等變換求解方程組的方法運行得到的結果如下：

[方程組1[x1+x23x1-x2=3=5] 方程組2[x1+x23x1+3x2=3=9] 方程組3[x1+x2x1+x2=3=5] U1 =

1 ? ? 0 ? ? 2

0 ? ? 1 ? ? 1

U2 =

1 ? ? 1 ? ? 3

0 ? ? 0 ? ? 0

U3 =

1 ? ? 1 ? ? 0

0 ? ? 0 ? ? 1

]

畫出四個方程組的二維圖形，如圖1所示。

從運行的結果看，方程組1的解為[x1=2x2=1];方程組2有無數組解;方程組3無解。對應的，圖1中可以直觀地看出，方程組1是兩條直線的交點，而且只有一個交點，故方程組有唯一解;方程組2的兩條直線完全重合，故方程組2有無數組解;方程組3的兩條直線平行，沒有交點，故方程組3無解;例3中的三條直線不共線，故不存在公共解，也即例3中的方程組是無解的。

5結束語

線性代數是多個學科重要的基礎課，在科學、工程、金融和管理等多個領域都得到廣泛的應用。在線性代數課程中，引入Matlab求解和可視化，可以使得計算變得快捷，也能促進學生對概念的理解。

參考文獻：

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[2] 宮曉俊.淺談線性代數課堂中Matlab的引入[J]. 理科愛好者（教育教學），2020（5）：8-9.

[3] 王萼芳，石生明.高等代數（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2021.

[4] 李繼根.線性代數及其Matlab實現[M]. 上海：華東師范大學出版社，2017.

[5] ?陳懷琛，龔杰民.線性代數實踐及Matlab入門[M]. 北京：電子工業出版社，2009.

[6] 蔚濤，周薛雪.Matlab與線性代數教學的有機結合[J]. 教育教學論壇，2020（2）：267-268.

【通聯編輯：王力】

收稿日期：2021-03-19

作者簡介：王榮亮（1991—），男，江蘇省宿遷市宿豫縣人，講師，碩士，主要研究方向為數學教學與研究;倉龍倉（1988—），女，山東省臨沂市人，助理研究員，本科，主要研究方向為學生管理;許鳳桐（1990—），男，甘肅省慶陽市環縣人，助教，碩士，主要研究方向為數學教學與研究。