一種基于B樣條雙正交小波的圖像閾值去噪方法

張昊 吐爾洪江·阿布都克力木

摘要; ?針對圖像中存在高斯噪聲模糊圖像，為提高圖像的質量，利用二進提升方案與小波多分辨率分析的優勢，提出一種基于B樣條雙正交小波的圖像閾值去噪方法。首先利用二進提升方案構造一個新的雙正交小波濾波器，對含噪圖像進行小波變換，選擇新構造的雙正交小波和適當的分解層次，得到低頻子圖像和水平、垂直、對角線三個高頻子圖像。對每一次分解得到的高頻子圖像在不同尺度上使用不同的閾值模型進行去噪，然后對低頻子圖像與去噪后的所有高頻子圖像進行小波重構，得到最終去噪后的圖像。

關鍵詞： 小波變換;二進提升方案;B樣條雙正交小波;閾值去噪

中圖分類號：TP18 ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）31-0001-03

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An Image Denoising Method Based on B-spline Biorthogonal Wavelet is Presented

ZHANG Hao， Tuerhongjiang·Abudukelimu

（School of Mathematical Sciences ?Xinjiang Normal University， Wulumuqi 830017， China）

Abstract： In order to improve the quality of the image， a threshold denoising method based on B-spline bispectral wavelet is proposed by using the advantages of binary lifting scheme and wavelet multi-resolution analysis. Firstly， a new biorthogonal wavelet filter is constructed by using dyadic lifting scheme， and the noisy image is transformed by wavelet transform. The low-frequency sub image and three high-frequency sub-images of horizontal， vertical and diagonal are obtained by selecting the newly constructed bisex wavelet and appropriate decomposition level. The high-frequency sub images obtained by each decomposition are denoised with different threshold models at different scales Then the low-frequency sub image and all high-frequency sub-images obtained after denoising are reconstructed by wavelet to get the final denoised image.

Key words： wavelet transform; dyadic lifting scheme; spline biorthogonal wavelets; threshold denoising

人類獲得信息最主要和最為關鍵的手段之一就是圖像，在圖像的各種傳達以及傳輸過程中，多種不同的噪音或其他干擾難以規避[1，2]，使得圖像的質量受到損壞，影響對圖像的后續處理，嚴重時會導致圖像無法輸出，影響人們對于圖像的認知與有效信息的提取。因此，圖像去噪是圖像處理中的一個重要部分。

一直以來，圖像去噪始終是人們關注的重點，圖像去噪的方法可以分為兩大類[3-5]，變換域去噪和空間域去噪，空間的方法主要有均值濾波，中值濾波，和維納濾波等，常見的頻域變換方法有基于傅里葉變換的圖像去噪和基于小波變換的圖像去噪，與傅里葉變換相比，小波變換保留了圖像的頻率信息和空間信息[6，7]，因此，小波變換廣泛應用于圖像去噪，最早的小波閾值去噪方法是由Donoh提出的軟閾值去噪和硬閾值去噪，但硬閾值函數處理后的圖像會有振鈴、偽吉布斯效應，而軟閾值函數相對靈活，因此很多人對它進行了改進，盡量避免軟閾值的弊端，雖然這些去噪算法能夠在不同程度取得較好的去噪效果，但可能會造成邊緣迷糊和細節缺失等失真現象。

本文提出一種基于小波域中的閾值去噪和均值濾波的圖像去噪新方法，實驗表明，此方法對含噪圖像的去噪效果有明顯的提高。

1 圖像小波變換

小波變換具有時域和頻域上的局部性特性、多分辨分析特性、低墑性、去相關性和選基靈活性，因此使用小波進行圖像去噪處理越來越廣泛，小波去噪的本質是一個函數逼近問題，即對小波母函數進行伸縮平移，根據提出的衡量準則，尋找對信號的最佳逼近，完成對原信號和噪聲信號的區分。圖像每經過一次小波變換后，分解為4個原圖像的1/4大小的圖像。

1.1 ?二進提升方案

T.Abdukirim將雙正交提升方案（Sweldens提升方案）推廣，提出了二進提升方案[8，9]，通過調整方案中自由參數的形式，可以構造滿足某種特性的二進小波濾波器和雙正交小波濾波器。本文利用二進提升方案構造基于B-樣條的具有有限長度和消失矩的對稱雙正交小波濾波器。

設初始濾波器[h，g，h，g]是二進小波濾波器，如果提升參數[r（m）]滿足下面的條件：

[h（w）h*（w+π）+g（w）g*（w+π）h（w）g*（w+π）=2mr（2m+1）e-2i（2m+1）w] （1）

[hk=h0k+mr-mg0k-2m， gk=g0khk=hk， gk=g0k-mrmh0k-2m] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

則由二進對偶提升方案得到的濾波器是雙正交濾波器。

1.2 圖像閾值去噪

1995年Donoho[10，11]在小波變換的基礎上提出了小波閾值去噪的硬閾值去噪法和軟閾值去噪法，但兩者都有一定的弊端，硬閾值函數能在一定程度上保留圖像邊緣細節等局部信息，但其不連續性會時常導致圖像失真現象，軟閾值函數相對連續，重構后圖像失真較少，但當[|w|>λ]時，[wj]與[w]之間總存在著恒定的偏差。

為了克服軟硬閾值弊端，本文對不同的分解層次不同尺度采用不同的閾值函數，本文使用Donoho的軟硬閾值函數改進的兩種不同的閾值函數[12]進行圖像去噪。

[wj=sgn（w）（w2-λ2），|w|≥λα w， |w|<λ] ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中[α]為可調節的參數。該閾值函數具有連續性，同時[|w|<λ]時，沒有把小波系數歸置為零，避免了硬閾值函數所帶來的恒定誤差，由于[|w|<λ]中大部分是噪聲，所以參數的取值要足夠小。

[wj=sgn（w）（|w|-λ2w2-λ2+λ），0，][|w|≥λ|w|<λ] ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

從圖像和函數中可以看出，該閾值函數在[λ]處連續，在[λ]處的值為0，函數在噪聲與有用信號之間存在一個平滑的過渡區，更符合圖像的連續性，且函數是一階可導的，隨著[w]的增大，函數值趨于[wj=w]，不存在恒定偏差。

幅值較小的小波系數主要來自原始圖像信號，幅值較小的小波系數主要來自噪聲[13-15]，取閾值[λ=σn2lnN]，其中[σn]是噪聲標準方差，[N]是信號的長度。

2 小波閾值圖像去噪過程

（1）小波變換。利用新構造的雙正交小波濾波器對含噪圖像進行2層小波分解，得到圖像分解系數。

（2）對圖像第一層分解得到的3個高頻系數使用模型（5）進行閾值去噪。

（3）對圖像第二層分解得到的3個高頻系數使用模型（6）進行閾值去噪。

（4）實現第二層到第一層的圖像重構。

（5）實現第一層到第0的層圖像重構，得到最終去噪后的圖像。

3 實驗結果與分析

為了驗證兩種方法的去噪效果，通過編程實現在MATLABR2018a平臺上做了仿真實驗。分別對軟硬閾值結合的方法以及本文提出的去噪方法的效果進行展示。實驗選用的圖像為500*500的圖像，實驗對圖像加入均值為0方差為0.006的高斯噪聲，去噪后圖像如圖5所示。從圖5的實驗結果來看，使用軟硬閾值結合方法的圖像帽子、頭發以及臉部產生了重影，有失真現象，利用本文的算法比它要清晰且臉部、帽子和頭發比較自然。

4 結束語

本文提出使用一種用二進提升方案構建出一個新的雙正交小波，同時對分解出的高頻圖像在不同尺度上使用不同的閾值函數，本文綜合了閾值去噪和雙正交小波的優點，在保護邊緣信息的同時抑制了平滑區域的噪聲。最后通過MATALB仿真實驗，從視覺和客觀數據兩個方面都取得了較好的效果。

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【通聯編輯：唐一東】

收稿日期：2021-06-25

基金項目：國家自然科學基金資助項目（No.11261061，No.61362039）;新疆師范大學數學教學資源開發重點實驗室招標課題（No.XJNUSY082017B03）

作者簡介：張昊（1996—），碩士，男，研究方向為小波分析及其應用;通信作者簡介：吐爾洪江·阿布都克力木（1962—），男，教授，博士，研究方向為小波理論及其在圖像處理與計算機視覺中的研究及應用。