基于哈密頓原理的離散橋梁系統振動模態分析

□□ 王曉峰

(太原市市政公用工程質量安全站(太原市軌道交通建設服務中心)，山西 太原030024)

1 工程概況

鴨綠江界河公路大橋總長為1 266 m，主橋為雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，連續半漂浮體系。在86 m、229 m、636 m、229 m、86 m處分別布置18～23號橋墩；主梁采用正交異性鋼橋面板扁平鋼箱梁結構，梁高為3.5 m，寬為33.5 m，雙索塔呈H型，高為194.6 m，采用箱形變截面；基礎采用鉆孔樁基礎，輔助墩及過渡墩采用箱型墩。斜拉索為高強平行鋼絲斜拉索，扇形布置，主梁上的標準索距為16.0 m，全橋為4組19對斜拉索，如圖1所示。

圖1 鴨綠江界河公路大橋主橋總體布置(單位：cm)

雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的受力情況不同于普通橋梁，當荷載使橋梁頂端結構產生縱向彎曲變形時，主梁的橫向彎曲變形不可忽略。常見的梁單元模型一般將結構剛度和質量集中于梁軸心線處，并認為受載后橫斷面保持不變，截面形狀也保持不變[1-2]，所以常用的梁單元模型計算結果往往偏于保守[3-5]。根據盛春紅等[6]研究結果表明，雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的整體振動形式是兩邊和中間會出現彎矩和位移峰值。因此，橋梁系統的離散化模型可簡化表示為由兩個彈性梁對稱連接三個集中質量，而該系統屬于三自由度系統。對于離散化模型的動力學建模一般可以采用拉格朗日方程或者哈密頓原理得到，這兩種方法計算不需要過多的受力分析，對于復雜的力學問題計算過程更為方便。

2 離散橋梁系統動力學模型的建立

圖2 離散橋梁系統簡化模型

該系統可認為的典型的保守系統，系統的自由度為3，取廣義坐標為y1、y2、y3。該系統的動能表示為：

(1)

系統在振動過程中會產生相對位移，取質量M的初始位置為重力勢能的零勢能面，彈性勢能為kΔx2/2，重力勢能為mgΔx，因而系統的勢能可表示為：

mg(y1-y2)+mg(y3-y2)

(2)

根據式(1)和(2)，系統的拉格朗日函數可表示為：

2y22+y32-2y2(y1+y3)]-mg(y1-2y2+y3)

(3)

廣義坐標y1、y2和y3所對應的廣義動量分別表示為：

(4)

(5)

哈密頓函數為：

2y22+y32-2y2(y1+y3)]+mg(y1-2y2+y3)

(6)

因此，根據式(6)可得到廣義坐標為y1、y2、y3所對應的哈密頓正則方程分別為：

(7a)

(7b)

(7c)

根據式(7)消去廣義動量py1、py2和py3，得到離散橋梁系統的振動微分方程為：

(8)

其矩陣形式為：

(9)

式(9)為本文離散橋梁系統振動微分方程的矩陣表達形式。

3 離散橋梁系統的振動響應分析

3.1 振動頻率

由式(9)可知離散橋梁系統的質量矩陣和剛度矩陣分別表示為：

(10)

考慮結構自由振動形式，代入頻率方程|[k]-ω2[m]|=0可得：

(11)

展開式(11)得到系統的特征值分別為：

(12)

因此，系統的三階固有頻率分別為：

(13)

3.2 系統的正規坐標變換

根據式(13)，當ω1=0時，代入系統模態方程([k]-ω2[m])[φ]=0中，可得：

(14)

即為：

(15)

令φ11=1，則φ21=φ31=1，因此，ω1=0對應的歸一化振型為：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據式(16)、(18)和(20)得到系統的歸一化振型為：

(21)

圖3 離散橋梁系統的各階主振型圖和動力學等效圖

圖4為活載作用下主梁豎向位移的試驗結果和理論結果對比圖，并給出了主梁豎向位移隨著邊跨比(次邊跨/邊跨)的變化情況。隨著邊跨比的增加，主梁豎向位移先減小后增加，并且出現方向的反轉現象。從圖中可以看出，雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋的整體振動形式是兩邊和中間會出現彎矩和位移峰值。本文中的理論結果與試驗的變形模式結果相吻合。因此，通過對該橋梁進行一定的簡化是可以通過理論來預測結構的振動位移。

圖4 活載作用下主梁豎向位移的試驗結果和理論結果對比

此外，離散橋梁系統的主質量矩陣和主質量矩陣分別為：

[m*]=[φ]T[m][φ]

(22)

[k*]=[φ]T[k][φ]

(23)

(24)

根據式(10)和(24)可得到正則后主質量矩陣和主剛度矩陣分別為：

(25)

(26)

根據式(25)和(26)，可得到正則后主質量矩陣為單位矩陣，主剛度矩陣為特征值矩陣。

4 結語

本文基于鴨綠江界河公路大橋工程實例得出橋梁整體的振動形式是兩邊和中間會出現彎矩和位移峰值，其他部位都是從最大值到0或者從0到最大值的過程。通過采用哈密頓正則方程得到離散橋梁系統的振動微分方程和三階振動頻率，得出離散橋梁系統的振動規律和節點位置分布情況，其理論結果與試驗的變形模式結果相吻合。最后，對離散橋梁系統的振型進行了正規坐標變換。