山西省2021年中考數(shù)學(xué)試題分析對教學(xué)的啟示

宋新蓮

(呂梁英杰中學(xué)，山西 呂梁 033000)

2021年山西中考數(shù)學(xué)試題以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的具體目標(biāo)和要求為依據(jù),考查學(xué)生能力和素養(yǎng),引導(dǎo)師生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué),體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

一、試題特點(diǎn)

1.落實(shí)課程目標(biāo),注重考查“四基”

試題以《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》為依據(jù),立足于學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)突出對數(shù)學(xué)核心知識的考查，其中知識性、技巧性試題的難度明顯下降,題型為學(xué)生最常見的基礎(chǔ)性試題,關(guān)注了學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握如第16題,第17題。

2.注重跨學(xué)科整合及閱讀能力的考查

十幾年前,我國中考、高考就設(shè)有“文綜”“理綜”,可由于種種主客觀原因,一直名不副實(shí)。華東師范大學(xué)楊向東教授對此提出異議,認(rèn)為不跨學(xué)科教學(xué),就難以培養(yǎng)核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)“關(guān)鍵能力”和“必備品格”,包括培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力。要達(dá)到此目的,必須打破學(xué)科界限。如第20題,以“圖算法”為背景將物理與數(shù)學(xué)有機(jī)整合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性。試題以“閱讀—評價(jià)—驗(yàn)證”的形式呈現(xiàn),閱讀內(nèi)容選自一篇真實(shí)的科普材料,材料列舉了物理學(xué)科中的兩個(gè)例子說明什么是圖算法。第一個(gè)是攝氏溫度與華氏溫度之間的換算問題,第二個(gè)是有關(guān)并聯(lián)電路的電阻。此題所涉及的兩個(gè)任務(wù)中,第二個(gè)任務(wù)是分別運(yùn)用物理公式和幾何知識驗(yàn)證圖算法的正確性,考查了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力,是典型的跨學(xué)科試題。

3.創(chuàng)設(shè)真實(shí)的任務(wù)情境,強(qiáng)調(diào)問題解決,考查學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力

問題解決是體現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要手段,如第21題,計(jì)算公園導(dǎo)覽指示牌；第18題,用方程思想解決從“風(fēng)景區(qū)”到“太原機(jī)場”路線的選擇,都以實(shí)際生活中的應(yīng)用為背景,考查學(xué)生參與社會(huì)所需要的知識與技能,引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決生活實(shí)際問題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

4.弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化,考查數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、思想和精神,以及在其形成和發(fā)展過程中的人文、歷史及與之相關(guān)的社會(huì)文化。數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分,弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化可以激勵(lì)學(xué)生愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的積極性。今年我省中考數(shù)學(xué)試題繼續(xù)加大了對閱讀素養(yǎng)的考查,引導(dǎo)教師和學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化。如第8題以勾股定理為背景,再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課外資料,關(guān)注數(shù)學(xué)文化,提升學(xué)生獨(dú)立思考、獲取信息、反思質(zhì)疑和遷移運(yùn)用的能力,同時(shí)也考查探究能力。第19題以“傳承中華經(jīng)典,慶祝建黨百年”為主題,以教育部印發(fā)《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》為背景,考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、用列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率。試題選材新穎,高度體現(xiàn)了山西省中考命題改革“一核·六維·四手段”的命題思想,創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的問題情境,情境與任務(wù)高度融合。試題在考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的同時(shí),滲透中國傳統(tǒng)經(jīng)典文化,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注中國文化,激發(fā)愛國熱情。同時(shí),試題在關(guān)注學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)分析觀念解決問題的同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生思考“能否用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比”,打破了以往統(tǒng)計(jì)試題中,被調(diào)查對象各部分所占百分比等于1這一傳統(tǒng)考查形式,關(guān)注學(xué)生能否理性作出理性的思考與判斷,即“本試題中有意向參與比賽的人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比之和大于1,故而不能用扇形統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)特征”,發(fā)展了學(xué)生的批判、質(zhì)疑、反思與評價(jià)能力。

5.重視對“綜合與實(shí)踐”的考查

“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng),是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與實(shí)踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識和方法解決問題?！熬C合與實(shí)踐”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容之一。如第22題,試題以“折紙”實(shí)踐操作為主,由易到難,引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、求解。此題解法多樣,體現(xiàn)思維的開放性,學(xué)生可以從不同角度去思考、探究,尋求解決問題的策略和方法?？疾榱藢W(xué)生直觀想象、合情推理、演繹推理、創(chuàng)新思維能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力,是典型的“綜合與實(shí)踐”試題。在“六個(gè)維度”中屬于“落實(shí)活動(dòng)建議”的試題,全面考查學(xué)生的綜合與實(shí)踐能力。

6.考查學(xué)生閱讀能力及表達(dá)、交流與共享能力

閱讀及表達(dá)、交流與共享既是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn),又是學(xué)生溝通數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科、數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的工具。試題創(chuàng)設(shè)各種問題解決的情境,考查學(xué)生的表達(dá)、交流與共享能力。如第16題(2);第19題(3),描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、得出結(jié)論的過程第20題,分別以閱讀與思考的形式考查學(xué)生閱讀、推理、表達(dá)等能力。

二、數(shù)據(jù)分析

1.總體情況

參考人數(shù)平均分最高分優(yōu)秀人數(shù)優(yōu)秀率及格人數(shù)及格率 4477265.512034467.74%2336652.5%

2.試題難度

試題難度0.55;

試卷質(zhì)量分析

1.客觀題難度及質(zhì)量分析

均分、難度分布情況

題號12345678910 難度0.930.960.780.770.530.70.820.870.620.33

從客觀題難度系數(shù)分布折線圖看,整體上呈現(xiàn)由易到難的分布趨勢,難度分布較為合理，其中第5小題難度系數(shù)在0.53,屬于難度中等偏下試題,說明這道題會(huì)做的同學(xué)約占到55%左右。

2.解答題難度及質(zhì)量分析

從主觀題難度系數(shù)分布折線圖看,整體上呈現(xiàn)由易到難的分布趨勢,難度分布較為合理，其中第20題難度系數(shù)為0.4,說明學(xué)生的閱讀與動(dòng)手探究能力較差,學(xué)生最大的問題就是讀不懂,不能靜下心來讀題,腦子里一片空白,閱讀能力很差,閱讀材料后提取不出有用信息,導(dǎo)致不知如何下手;其次是部分學(xué)生識別基本圖形的能力差，第22、23題難度系數(shù)分別是0.19、0.28,從試卷答題情況來看,學(xué)生幾何推理能力較差,幾何基本圖形識別與構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)匱乏。

小題滿分最高分最低分平均分標(biāo)準(zhǔn)差難度區(qū)分度得分率 11-1515158.414.790.560.7856.06% 1610106.983.270.690.7869.8% 17663.842.640.640.9764% 18773.653.090.520.9952.14% 1910106.623.50.660.8666.2% 20883.272.550.40.840.87% 21884.233.630.52152.87% 2213132.542.540.190.4419.53% 2313133.742.850.280.5228.76%

三、學(xué)生的典型答案

第16題答題情況

第2小題:任務(wù)一填依據(jù),依據(jù)正確的有:乘法分配律、分配律、分配運(yùn)算律，或用字母表示乘法分配律公式a(b+c)=ab+ac或者a(b-c)=ab-ac。字母可以不用abc表示。典型錯(cuò)誤有:乘法運(yùn)算律、乘法結(jié)合律、交配律、公配律、分配、分配率,不等式的性質(zhì),去括號、去括號法則，乘法分配律的逆運(yùn)算等,其中去括號和去括號法則比較多。

關(guān)于錯(cuò)誤的理由,出現(xiàn)的正確答案有:

1.不等式兩邊都乘以負(fù)五分之一(或者不等式兩邊都除以-5)，不等號的方向沒有改變。

2.不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)(或除以一個(gè)負(fù)數(shù))，不等號的方向沒有改變。

3.不等式兩邊都乘以或除以一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，大于號應(yīng)變成小于號(沒有把>變成<)。不等號的符號方向沒有改變等等。

4.不符合不等式的性質(zhì)。

5.不遵循不等式的性質(zhì)。

6.一次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的,把系數(shù)化為1時(shí)應(yīng)變號。

典型錯(cuò)誤:

1.兩邊全是負(fù)數(shù),應(yīng)改變不等號的方向。

2.未知數(shù)前的常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),應(yīng)改變不等號的方向。

3.x前面是負(fù)數(shù)要變號。

4.不等式中去負(fù)號(去系數(shù)、去系數(shù)的負(fù)號、去掉-5)要變號。

5.兩邊同乘負(fù)號不等式要變號。

6.有分式、方程、移項(xiàng)等等字樣的。

7.兩個(gè)負(fù)數(shù)相除,負(fù)負(fù)得正,大于號應(yīng)變小于號；左邊是負(fù)數(shù)或者X是負(fù)數(shù),變成正數(shù)時(shí)要變號等。

第17題答題情況

典型錯(cuò)誤:

1.解:設(shè)最小數(shù)為xx·x+8=65 (沒有加括號)

2.解:設(shè)最小數(shù)為x,則最大數(shù)為x-8 (大小數(shù)不分)

3.解:設(shè)最小數(shù)為x

x·(x+8)=64或x·(x+8)=56(兩種情況都是常數(shù)寫錯(cuò))

4.解:設(shè)最小數(shù)為xx(x+7)=56(最大與最小數(shù)差8,方程錯(cuò)誤)

5.解:設(shè)最小數(shù)為x,最大數(shù)為(x+1)+7

x·(x+1)+7=65(沒有加括號)

6.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x+(x+8)=65(列方程錯(cuò)誤)

8.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65x=±5 (解方程錯(cuò)誤)

9.解:設(shè)最小數(shù)為x,最大數(shù)為Y

則xy=65(一個(gè)二元方程沒法求未知數(shù))

10.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65

x2+8=65(去括號時(shí)丟未知數(shù))

11.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

x2+8x+16=65-16或(x+4)2=49(配方錯(cuò)誤)

12.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

(x+4)2=81x±4=9(解方程錯(cuò)誤)

13.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

14.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=13,x2=-5(解方程錯(cuò)誤)

15.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=5,x2=-13

答:最小數(shù)為-13 或 答:最小數(shù)為x(最后答題錯(cuò)誤)。

答:最小數(shù)為5 (分式方程沒有檢驗(yàn))。

17.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65解得:x=5,(丟解)

答:最小數(shù)為5。

18.解:設(shè)最小數(shù)為x,最大數(shù)為Y

答:最小數(shù)為5。

其他解法:

1.解:設(shè)最小數(shù)為x,那么最大數(shù)為(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=5,x2=-13

答:最小數(shù)為5。

經(jīng)檢驗(yàn),x=5 是方程的解。

答:最小數(shù)為5。

3.解:設(shè)最小數(shù)為x,最大數(shù)為Y

答:最小數(shù)為5。

4.解:設(shè)最大數(shù)為x,那么最小數(shù)為(x-8)

x·(x-8)=65解得:x1=13,x2=-5最小數(shù)為 13-8=5

答:最小數(shù)為5。

5.解:設(shè)最小數(shù)為x,最大數(shù)為Y

答:最小數(shù)為5。

第18題答題情況

典型錯(cuò)誤:

1.數(shù)量關(guān)系分析不清;

2.設(shè)未知數(shù)和列方程數(shù)量不對應(yīng);

2.不會(huì)解分式方程;

3.解出分式方程不檢驗(yàn);

4.計(jì)算錯(cuò)誤;

5.前后單位不統(tǒng)一。

其他解法:

4.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x千米/分鐘

25÷1=25(分鐘)

5.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x千米/小時(shí)

6.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x千米/秒

7.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x米/秒

8.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為3x千米/分鐘，走路線二到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為5x千米/分鐘

9.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為3x千米/小時(shí)，走路線二到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為5x千米/小時(shí)

10.設(shè)走路線二到達(dá)太原機(jī)場需x分鐘

18+7=25 (分鐘)

11.設(shè)走路線二到達(dá)太原機(jī)場需x小時(shí)

12.設(shè)走路線二到達(dá)太原機(jī)場需x秒

1080+420=1500(秒)

13設(shè)走路線二到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x千米/分鐘

14.設(shè)走路線二到達(dá)太原機(jī)場的平均速度為x千米/小時(shí).

15.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場需x分鐘,其平均速度為y千米/分

16.設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場需x小時(shí),其平均速度為y千米/小時(shí)

第19題答題情況

典型錯(cuò)誤:

1.將“參與本次問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)”與“有意向參與各類比賽的總?cè)藬?shù)”混淆;

2.對能否用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映的理由表述語言不條理,重復(fù)啰嗦,不能簡明扼要地表述自己的理由;

3.誤認(rèn)為第(4)小題是抽取不放回,導(dǎo)致列表或畫樹狀圖整體錯(cuò)誤,部分學(xué)生列表或畫樹狀圖時(shí)細(xì)節(jié)方面不規(guī)范。

第21題答題情況

(一)輔助線的正確做法有:

1.過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H,交直線DG于點(diǎn)M。過點(diǎn)B作BN⊥DG于點(diǎn)N,BP⊥AH于點(diǎn)P。

2.過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H,交直線DG于點(diǎn)M。BP⊥AH于點(diǎn)P,過點(diǎn)C作CN⊥BP于點(diǎn)N。

3.過點(diǎn)B作BN⊥DG于點(diǎn)N,延長NB,過點(diǎn)A作AM⊥NB延長線于點(diǎn)M.

4.過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H,交直線DG于點(diǎn)M。BP⊥AH于點(diǎn)P,過點(diǎn)M作MN?BC,交BP于點(diǎn)N。

輔助線典型錯(cuò)誤有:

1.徹底不會(huì),沒做。

2.輔助線畫圖正確,但不會(huì)用語言準(zhǔn)確表述輔助線。

3.用語言描述輔助線之后,不在圖上畫出。

(二)求AP(即點(diǎn)A到點(diǎn)B的垂直距離)長度正確做法:

應(yīng)利用∠ABC-∠BCD=∠ABP=45°,在直角三角形ABP里利用45°的正弦值求得70.7。

典型錯(cuò)誤:

1.沒有求得∠ABP=45°而直接的想當(dāng)然說AP=BP。

2.計(jì)算錯(cuò)誤。

(三)求BN(即點(diǎn)B到DG的距離)長度正確做法:

應(yīng)在直角三角形BCN中,利用∠BCN=75°的正弦三角函數(shù)值求得BN=77.6。

典型錯(cuò)誤:

1.在直角三角形BCN中,利用∠BCN=75°的正弦三角函數(shù)值。

2.計(jì)算錯(cuò)誤。

(四)求點(diǎn)A到地面EF的距離正確的方法:

應(yīng)是點(diǎn)A到點(diǎn)B的垂直距離+點(diǎn)B到DG的距離+DE=77.6+70.7+5=153.1,并且有答的步驟。

典型錯(cuò)誤:

1.計(jì)算錯(cuò)誤

2.不答

四、亮點(diǎn)試題分析

第20題:

方法一:

過點(diǎn)A,B作直線BC的垂線,垂足為M,N

易證△AOM∽△BON, △ACM∽△BCN

在Rt△AOM中,

設(shè)CM=3x,CN=2x

方法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

令x=0,得,y=3

OC=3

方法三:

在Rt△OBF中,

∵∠EBF=30°,OB=5

在Rt△OCE中,設(shè)OC=2x,則OE=x,CE=2x

∵△AEC∽△AFB

解得x=1.5

∴2×1.5=3

方法四:

過點(diǎn)C作CE∥OA

∴△BCE∽BAO

易證△COE是等邊三角形

∴OE=OC=CE

設(shè)OC=x,則CE=OE=BE=5x

∴x=3

∴OC=3

方法五:

在Rt△OBE中，

在Rt△OBE中,

∵S△AOB=S△AOC+S△BOC

方法六:

∵OA平分∠EOM，AE⊥OE,AM⊥OM，

∵S△AOB=S△AOC+S△BOC

∴OC=3

第22題

方法一:

證明:過點(diǎn)D作DQ⊥BC于點(diǎn)Q,連接FQ

∵BE⊥AD

∴∠BED=90°

在□ABCD中,AD∥BC,

∴∠EBQ=90°

∵DQ⊥BC

∴∠BQD=90°

∴四邊形BEDQ是矩形

∴DE=BQ

在Rt△CDQ中,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)

∴∠EDQ+∠FDQ=∠BQD+∠FQD

∴∠EDF=∠BQF

∴△EDF≌BDF

∴EF=BF

方法二:

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AB∥CD

∵點(diǎn)F，Q分別是AB，CD的中點(diǎn)

∴DF∥AQ，DF=AQ

∴四邊形ADFQ是平行四邊形

∴AD∥FQ

∴∠QOB=90°

在Rt△ABE中，點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，

∴EQ=1/2AB=BQ

∴FQ垂直平分BE

∴FE=FB

方法三:

過點(diǎn)F作FQ⊥BC于點(diǎn)Q，延長QF，AD，交于點(diǎn)G

在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠G+∠GQB=180°

∴∠G=90°

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)

∴CF=DF

∠DFG=∠CFQ

∴△DFG≌△CFQ

∴GF=QF

∵BE⊥AG

∴四邊形BEGQ是矩形

∴EG=BQ

∴△EGF≌BQF

∴EF=BF

(2)方法一:

連接CC’，交BF于點(diǎn)Q

由折疊可得，BF垂直平分CC’

即點(diǎn)Q是CC’的中點(diǎn)

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)

∴FQ是△CC’D的中位線

∴FQ∥DG

在□ABCD中，AD∥BC，AB=CD

∴四邊形DGBF是平行四邊形

∴DF=BG

方法二:

延長DG至Q，使GD=DC’

∴DC’+C’G=GQ+C’G

∴DG=C’Q

由折疊可得FC=FC’，BC=BC’

∴∠1=∠2

在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC,∠C=∠C’

∴∠ADC+∠C=180°，AD=BC’

即∠3+∠1+∠C=180°

又∵∠2+∠FC'B+∠4=180°

∴∠3=∠4

∴△ADG≌△BC’Q

∴AG=BQ，∠Q=∠AGD

又∵∠AGD=∠BGQ

∴∠BGQ=∠Q

∴BQ=BG

∴AG=BG

方法三:

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠A=∠C，AD=BC，AB∥CD，AB=CD

由折疊可得，F(xiàn)C=FC’,∠3=∠4

∵點(diǎn)F事CD的中點(diǎn)

∴DF=CF

∴DF=C’F

∴∠1=∠2

又∠CFC’是△C’DF的外角

∴∠CFC’=∠1+∠2

即∠3+∠4=∠1+∠2

∴∠1=∠4

又∵AB∥CD

∴∠1=∠AGD

∴△ADG≌CBF

∴AG=CF

∴AG=BG

方法四:

分別延長DG,CB交于點(diǎn)M

在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC

∴∠4=∠M，∠ADC+∠C=180°

即∠1+∠4+∠C=180°

由折疊可得，F(xiàn)C’=FC，∠C=∠FC’B

∴∠1=∠2

∵∠2+∠3+∠FC’B=180°

∴∠3=∠4

∴∠3=∠M

∴BC’=BM

∴BM=AD

∴△ADG≌△BMG

∴AG=BG

方法五:

過點(diǎn)A作BC’的平行線,交DG的平行線于點(diǎn)M

∴∠M=∠3

同方法四可證∠3=∠4

∴∠4=∠M

∴AD=AM

由折疊得BC=BC’

平行四邊形ABCD中，AD=BC

∴AM=BC’

又∠BGC’=∠AGM

∴△AGM≌△BGC’

∴AG=BG

第23題:

(2)方法一:

①BD=BC時(shí),BDEC是菱形

如圖1,連接BE,與CD交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P是CD,BE的中點(diǎn),且BE⊥CD

過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M

則AM=PM=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-4)

設(shè)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為(x1,y1)

解得，x1=-6,y1=-8

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6，-8)

②CD=BC時(shí),過點(diǎn)D作DF⊥y軸,

如圖2,連接CE2,交BD于M2

設(shè)E2(x2,y2)

方法二:

① 如圖1,求點(diǎn)P坐標(biāo)與方法一相同,分別過點(diǎn)P,E1作x軸的垂線,垂足為M,N

∴BN=8,NE1=8

∴E1(-6，-8)

②如圖2，求點(diǎn)P’坐標(biāo)與方法一相同，分別過點(diǎn)P’,E2作y軸的垂線，垂足為，M’,N’.

由△P’M’C∽E2N’C，得

方法三:

①當(dāng)BD=BC時(shí)

過點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)M

過點(diǎn)E1作E1⊥DM

∵BD=BC

∴∠BDC=∠BCD

∠BDC是△ABD的外角，

∠BDC=∠1+∠2

∠BCD=∠3+∠4

即∠1+∠2=∠3+∠4

∵OA=OC

∴∠2=∠4=45°

∴∠1=∠3

∵DE∥BC，DN∥y軸

∴∠EDC=∠BCD，∠NDC=∠OCD

∴∠5=∠3

∴∠1=∠3=∠5

BC=BD=DE,∠N=∠DMB=∠BOC

∴△BOC≌△DMB≌END

∴DN=EN=OB=2,BM=DN=OC=6,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6，-8)

②如圖2,當(dāng)CD=BC時(shí),

過點(diǎn)E2作x軸的垂線,垂足為Q

∵DE∥AC

∴∠ABE2=∠CAO=45°

五、對今后教學(xué)的思考

1.重視“四基”落實(shí)

多數(shù)學(xué)生在基礎(chǔ)知識上面丟分比較嚴(yán)重,基礎(chǔ)知識掌握的不扎實(shí)，成為影響學(xué)生的學(xué)有水平或?qū)W校整體教學(xué)質(zhì)量水平的重要因素，建議在今后的教學(xué)中,認(rèn)真落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)要求,加強(qiáng)對課標(biāo)規(guī)定的“核心知識”的訓(xùn)練力度,一切先從基礎(chǔ)知識入手,將基礎(chǔ)知識與基本技能落實(shí)到位,不敢一味的追求難題，學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握扎實(shí)了,能力自然就會(huì)提高。

2.加強(qiáng)對幾何基本圖形的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力

建議今后加強(qiáng)基本圖形的教學(xué),有意識篩選整理教材中的基本圖形,將基本圖形進(jìn)行提煉與歸類,幫助學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),從圖形性質(zhì)、圖形變換等不同角度認(rèn)識內(nèi)化基本圖形,提高學(xué)生分解與構(gòu)造基本圖形的能力，如第23題,本質(zhì)也是幾何基本圖形的構(gòu)建。

3.關(guān)注時(shí)代特征和社會(huì)熱點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力

今年試題以“2022北京冬奧會(huì)”“太原地鐵2號線”“傳承中華經(jīng)典,慶祝建黨百年”等為背景設(shè)計(jì)問題,考查學(xué)生的幾何直觀、數(shù)據(jù)分析能力、抽象數(shù)學(xué)模型等學(xué)科素養(yǎng),引導(dǎo)師生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué),體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

這類型試題要求學(xué)生有良好的將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，但教材中的例題,多數(shù)背景比較簡單,都是直接已知什么、求什么,學(xué)生容易分析其中的數(shù)量關(guān)系，而結(jié)合時(shí)代背景類試題由于有了實(shí)際背景的干擾,給學(xué)生提煉數(shù)量關(guān)系的困難加大,稍微審題不清就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,所以教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常關(guān)注社會(huì)生活,注重情感設(shè)置,要多選擇符合時(shí)代背景的實(shí)際應(yīng)用題,引導(dǎo)學(xué)生從所熟悉的實(shí)際生活和相關(guān)學(xué)科的實(shí)際問題出發(fā),通過觀察分析,歸納抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律,讓學(xué)生不斷體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,在提高學(xué)習(xí)興趣的同時(shí),提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，同時(shí)要加強(qiáng)思維能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。在教學(xué)中,要激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,通過獨(dú)立思考,不斷探究新知,發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程,教師應(yīng)選配或設(shè)計(jì)一定數(shù)量的開放性問題、探索性問題,為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識提供機(jī)會(huì),鼓勵(lì)學(xué)生對某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探討。

4.注重學(xué)生審題能力的培養(yǎng)

審題是一種能力，更是一種習(xí)慣。審題能力差是考生失分的重要原因,相當(dāng)一部分學(xué)生因?yàn)閷忣}不過關(guān)而丟分，建議教師在教學(xué)中把提高學(xué)生的審題能力當(dāng)作一項(xiàng)重要課題來抓,不要包辦學(xué)生讀題,將讀題的權(quán)利交給學(xué)生。

5.注重閱讀能力的培養(yǎng),培養(yǎng)表達(dá)交流能力

考查學(xué)生的閱讀素養(yǎng)是中考命題改革的六個(gè)維度之一,山西省每年都會(huì)考閱讀材料試題。這類試題要求學(xué)生能從陌生的情境中提煉出有用的信息(知識與方法),然后運(yùn)用有關(guān)信息解決所提的問題，建議教師在教學(xué)中有意識的開展閱讀教學(xué),教材中每一節(jié)內(nèi)容對于學(xué)生來說都是新材料,都是學(xué)生之前學(xué)習(xí)沒有接觸過的內(nèi)容,所以教師將教材中便于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容加工成閱讀材料,通過學(xué)生的自主閱讀與合作交流進(jìn)行學(xué)習(xí),切實(shí)提高學(xué)生的閱讀能力。

6.加強(qiáng)綜合與實(shí)踐、綜合與探究的能力的培養(yǎng)

第22題考查學(xué)生的綜合與實(shí)踐、綜合與探究的能力,“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng),是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與實(shí)踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識和方法解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識解決綜合問題的能力。