動態(tài)規(guī)劃和Black-Litterman混合模型下的資產(chǎn)配置研究

康成宇，喬高秀

(西南交通大學 數(shù)學學院， 成都 611756)

隨著資本市場的長期發(fā)展，如何在多變的市場環(huán)境中進行有效的資產(chǎn)管理，從而有效地規(guī)避風險，避免在投資中造成損失是一個值得深入思考的問題。投資者應(yīng)該使用合適的方法對各項資產(chǎn)比進行動態(tài)調(diào)整，使資本的“效用”發(fā)揮到最大，從而在復(fù)雜的資本市場中找到更加有效的投資方式。

資產(chǎn)配置的主要過程是對過往的歷史數(shù)據(jù)所提取的信息進行加工整理，從而得到之后的各類資產(chǎn)在投資組合中的占比。Markowitz[1]早在1952年就在基于均值-方差理論方面提出了相關(guān)的資產(chǎn)組合的選擇問題，從而打開了資產(chǎn)配置理論的大門。后人在其基礎(chǔ)上不斷向前演進推算，發(fā)展出更加成熟的資產(chǎn)配置體系。相對于靜態(tài)資產(chǎn)配置，我國關(guān)于動態(tài)規(guī)劃方面的資產(chǎn)配置研究則相對匱乏。陳小新等[2]在基于隨機規(guī)劃的動態(tài)資產(chǎn)配置的研究表明動態(tài)資產(chǎn)配置一般能在中長期的投資中產(chǎn)生較好的收益。投資過程中，隨著投資周期的拉長，徐佳等[3]發(fā)現(xiàn)隨著時間變化，家庭在財富積累后，對于股票市場的參與從間接到直接之間轉(zhuǎn)化，說明僵化的、不隨外部環(huán)境變化的投資選擇已經(jīng)難以滿足多變的環(huán)境。

負債作為投資者資產(chǎn)組成的一個重要部分，少有研究者將其作為考慮因素，Binsberge等[4]提出了一種在資產(chǎn)比的基礎(chǔ)上進行的動態(tài)規(guī)劃資產(chǎn)配置，且考慮到在具有VaR(Value-at-risk，風險價值)限制和外來借款(additional financial contributions，AFC)兩種情況下的資產(chǎn)配置。Giamouridis等[5]開發(fā)了一種解決具有風險負債和時變投資機會的投資者的動態(tài)多期投資組合選擇問題的模型，從中獲得了顯著的收益。Black 等[6]在提出 Black-Litterman模型后，因為其改進了均值-方差模型的許多缺點[7]，一直深受很多研究者喜愛，后繼者在其基礎(chǔ)上不斷改進。其中最典型的就是往Black-Litterman模型中加入動態(tài)因素，例如Harris等[8]將時間變化加入資產(chǎn)配置過程中的條件回報分布，并且發(fā)現(xiàn)波動率模型的選擇對于動態(tài)Black-Litterman模型的性能有相當大的影響。還有研究者選擇對Black-Litterman模型進行修正改進，例如周亮等[9]選擇使用投資時鐘原理修正Black-Litterman模型;Deng10]，杜泉瑩等[11]和Kara等[12]則使用不同的模型生成對應(yīng)的觀點矩陣，從而在客觀上提高了Black-Litterman模型資產(chǎn)配置的準確性。朱碧穎等[13]則更進一步地使用爬蟲來分析市場情緒，從而獲得更加準確的投資者觀點矩陣，并以此作為后續(xù)投資依據(jù)進行資產(chǎn)配置。

本文中資產(chǎn)配置主要分為兩部分，主要使用的方法是Binsbergen和Brandt提出的動態(tài)規(guī)劃模型和朱業(yè)春[14]使用過的加入熵補償?shù)腂lack-Litterman模型，并且在此基礎(chǔ)上進行改進后得到混合模型。

本文創(chuàng)新點在于將2個模型進行結(jié)合構(gòu)造混合模型，利用生成的10周期數(shù)據(jù)，在相同基礎(chǔ)上分別使用動態(tài)規(guī)劃和Black-Litterman模型，然后根據(jù)每周期得到的利潤進行動態(tài)調(diào)整，交替使用動態(tài)規(guī)劃模型和Black-Litterman模型，將此模型稱為混合模型。研究發(fā)現(xiàn)，混合模型不僅具有單個模型的優(yōu)點，并且能獲得比單模型更高的收益，而且在多周期的資產(chǎn)配置中能達到比較穩(wěn)定的超越單策略的收益。本文利用動態(tài)規(guī)劃和Black-Litterman模型構(gòu)造混合策略進行資產(chǎn)配置，為中國市場中資產(chǎn)配置提供了一種行之有效的新方法。

動態(tài)規(guī)劃在資產(chǎn)配置中充分考慮到資產(chǎn)比的各種情況，并且根據(jù)其變化在具有VaR限制和具有AFC的情況下進行資產(chǎn)配置；相比之下，Black-Litterman模型根據(jù)逆最優(yōu)化理論將投資者觀點融入均衡資本中，得到收益率向量和協(xié)方差矩陣，最后根據(jù)網(wǎng)格搜索得到最優(yōu)的資產(chǎn)配置。兩個模型參數(shù)體系十分不同，本身難以在資產(chǎn)配置中進行融合使用，但是在本文中根據(jù)收益率的不同在多周期資產(chǎn)配置中進行動態(tài)選擇，得到一個混合策略的資產(chǎn)配置模型，使得模型不僅具備了兩個單策略模型本身的優(yōu)點，且在此基礎(chǔ)上獲得了更強的收益能力。

1 方法

1.1 動態(tài)規(guī)劃模型

本節(jié)使用的主要方法來源于在得到包含股票、債券和無風險資產(chǎn)的數(shù)據(jù)之后，考慮這3種數(shù)據(jù)構(gòu)建以下的線性方程。3種資產(chǎn)均可擴展為更加廣泛的意義上的資產(chǎn)，其中股票代表高風險高回報的資產(chǎn)，一年期債券代表低風險低回報的資產(chǎn)，而10年期的債券則可代表與負債高度相關(guān)的資產(chǎn)。根據(jù)Binsbergen和Brand的研究，可將1年期和10年期國債收益率當做基礎(chǔ)的狀態(tài)變量，則假設(shè)3種收益率滿足以下的二元線性公式：

(1)

式中：rs，t代表滬深300指數(shù)的對數(shù)收益率，y1，t和y10，t分別代表1年期和10年期國債收益率，假設(shè)εt服從多元正態(tài)分布MVN(0，Σ)，Σ是以上3個變量的協(xié)方差矩陣。后面會用到的負債和資產(chǎn)率計算公式如下：

(2)

Rt代表長期收益率，Rb，t和Rs，t分別代表債券和股票的長期收益率。其中，St代表資產(chǎn)負債比，At代表資產(chǎn)率，Lt代表負債率，在St<1時代表資金短缺。其中，αt-1為t-1時刻的資產(chǎn)權(quán)重矩陣，也是本文主要需要求的，αt-1=[αs，t-1，αb，t-1]，其中，αs，t-1，αb，t-1分別表示股票和債券的權(quán)重。在具有以上條件的基礎(chǔ)上，構(gòu)建效用函數(shù)，全文的基礎(chǔ)建立在優(yōu)化以下的效用函數(shù)上，效用函數(shù)的公式如下：

(3)

其中ct=max(1-St，0)，代表負債情況。β是在0～1之間的任意常數(shù)，在本文中取0.5；γ是風險厭惡指數(shù)，代表投資者對風險厭惡程度，一般取值在2～6范圍，為了簡便，本文中取2或者5兩種情況。假設(shè)在線性方程(1)的基礎(chǔ)上，以1年期和10年期的國債收益率作為狀態(tài)變量，取[y1，t，y10，t]=[Y1，Y2]，按照Longstaff等[15]提出的方法，對效用函數(shù)的期望進行推算。首先，假設(shè)一個狀態(tài)變量矩陣X，具體如下：

(4)

其中，N代表X矩陣的行數(shù)，即為效用函數(shù)期望計算所依賴的N條路徑，考慮到計算代價，在本文中取N=1 000。這里的每一列數(shù)據(jù)均根據(jù)(1)中的線性方程進行模擬生成的數(shù)據(jù)，使得整個模型數(shù)據(jù)遵循對數(shù)正態(tài)分布，在此假定上進行之后的計算。在具備以上條件后，則根據(jù)Binsbergen和Brandt(2016)的研究可以得到資產(chǎn)比的期望估計如下：

(5)

在具有VaR(風險價值)限制和AFC(投資者因為資金不足額外借錢)兩種情況下，效用函數(shù)的計算公式略有不同。

1) 在具有VaR限制的條件下

VaR是指在給定的置信度下，資產(chǎn)組合在未來持有期內(nèi)所遭受的最大可能損失，用數(shù)學公式表示為：

Prob(ΔP≤-VaR)=1-c

(6)

(7)

2) 在具有引進外資的條件下

在資產(chǎn)短缺的情況下，則引進外資即AFC，本文以下的論述中AFC均指外來投資即投資者借貸的外資，此時計算效用函數(shù)的式(1)，最后計算效用函數(shù)的公式如下:

(8)

類似之前的期望估計方法，推導(dǎo)cT的期望計算公式如下：

(9)

(10)

Φ為標準正態(tài)累計函數(shù)，φ為標準正態(tài)密度函數(shù)。計算出效用函數(shù)后，利用網(wǎng)格搜索在[0，1]×[0，1]尋找使得效用函數(shù)最大的最優(yōu)權(quán)重矩陣αt-1，無風險資產(chǎn)占比αr，t=1-αs，t-αb，t，并且以此作為資產(chǎn)配置的依據(jù)。

1.2 Black-Litterman資產(chǎn)配置

在Black-Litterman模型中，效用函數(shù)的基礎(chǔ)公式為：

S=α′Ψ-γα′Σα

(11)

其中:α代表各類資產(chǎn)的權(quán)重向量，α是一個n×1的列向量；Ψ代表各市場的超額收益向量，是一個n×1的列向量；Σ是資產(chǎn)超額收益的協(xié)方差矩陣，是一個n×n對稱矩陣，γ為風險厭惡指數(shù)，為了橫向?qū)Ρ龋^續(xù)沿用動態(tài)規(guī)劃部分的風險厭惡指數(shù)，采用γ=2或者5。

將投資者觀點作為一個條件分布，從數(shù)量化的角度去刻畫觀點選擇問題，投資者觀點建立模型如下：

PX=R+ε，ε～N(0，Ω)

(12)

其中PK×N是選擇矩陣，每一行的N個觀點代表某一個觀點對所有的股票所分配的權(quán)重，RK×1是觀點收益矩陣，選擇矩陣和觀點矩陣原本是根據(jù)市場主觀性判斷得出，這里是通過之前的線性方程生成的模擬數(shù)據(jù)得出，ΩK×K是度量關(guān)系不確定程度的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)朱葉春(2015)的研究，在市場均衡狀態(tài)下的后驗預(yù)期均值μbl和協(xié)方差矩陣Σbl的計算公式如下：

μbl=((τΣ)-1+P′Ω-1P)-1((τΣ)-1Ψ+P′Ω-1R)

(13)

Σbl=Σ+((τΣ)-1+P′Ω-1P)-1

(14)

τ是比例系數(shù)，一個沒有內(nèi)在意義的標量，在本文中取0.001、0.000 01兩種情況。協(xié)方差矩陣Ω的計算公式如下：

(15)

其中σk是誤差項εk的方差，可以體現(xiàn)投資者對自身觀點的把握水平。根據(jù)朱葉春[16]的論文，在加入信息熵后，效用函數(shù)的計算公式改為如下形式：

(16)

αi表示α的第i行的元素，最大化S等同于構(gòu)建如下帶約束的規(guī)劃問題，本文中通過以下方程并使用第一部分動態(tài)規(guī)劃中的網(wǎng)格搜索得到最后答案：

(17)

1.3 動態(tài)規(guī)劃和Black-Litterman模型結(jié)合

在T周期先分別計算2個模型下的資產(chǎn)配置情況，得到的資產(chǎn)配置后的收益率計算如下：

(18)

式中: ReturnT代表T周期的收益率，mean()代表求平均，αs，T、αb，T和αr，T分別代表第T周期最優(yōu)配置下的股票、債券和無風險資產(chǎn)的占比。策略選擇的方法如下：

根據(jù)Wang等[17]和Zhang等[18]提出的動量可預(yù)測性(MoP)思想，類似地，將模型過去資產(chǎn)配置的表現(xiàn)指標定義如下：

ppT=I(ReturnD，T-ReturnB，T>0)

(19)

式中I(·)是一個示性函數(shù)，則將選擇的策略規(guī)定如下：

(20)

其中: StratagyT代表T周期的策略，ReturnD，T代表動態(tài)規(guī)劃策略下的收益率，ReturnB，T代表Black-Litterman模型下的收益率，Dynamic和BL分別代表動態(tài)規(guī)劃和Black-Litterman模型。在T周期選定策略后，T+1周期的策略選擇按照相同規(guī)則和1.1節(jié)、1.2節(jié)中介紹的相同方法進行。其中，多周期的第T周期的累計收益計算如下所示：

(21)

式中:RT代表第T周期的累計收益率，Returni代表第i周期的資產(chǎn)配置組合的收益率。

根據(jù)Andrade[19]最后將使用夏普比率來計算單位風險下模型的收益能力，具體計算公式如下：

(22)

式中: MeanReturn代表平均收益率，而Riskfree-Rate代表無風險收益率，sd代表收益率的標準差。

2 結(jié)果

2.1 描述性統(tǒng)計結(jié)果

從英為財情官網(wǎng)下載2005年到2021年的國債1年期和10年期收益率年度數(shù)據(jù)以及滬深300收盤價年度數(shù)據(jù)，描述性統(tǒng)計的結(jié)果如表1所示。

表1 三大收益率描述性統(tǒng)計結(jié)果

由描述性統(tǒng)計的結(jié)果可以看出：股票的波動明顯比債券的波動更大，而股票平均收益比債券更大。滬深300呈現(xiàn)出右偏分布，表現(xiàn)出比正態(tài)分布更加平緩的分布；1年期債券呈左偏分布，10年期債券呈右偏分布，兩只債券均表現(xiàn)出比正態(tài)分布更加平緩的分布。

2.2 線性回歸模型結(jié)果

將數(shù)據(jù)根據(jù)二元線性回歸進行計算后得到的結(jié)果如下：

其中:A和B分別代表多元回歸的系數(shù)和截距結(jié)果，Σ代表3個變量rs，t，ln(y1，t)，ln(y10，t)的協(xié)方差矩陣。

2.3 動態(tài)規(guī)劃模型資產(chǎn)配置

將得到的數(shù)據(jù)分別用上述模型進行單周期和多周期資產(chǎn)配置，下面將得到的結(jié)果進行分別闡述。

1) 單周期資產(chǎn)配置

以下動態(tài)規(guī)劃模型部分，因為展示數(shù)據(jù)量比較大，結(jié)果均采用圖像的形式展示。其中，淺灰色部分代表債券占比，十字方格部分為股票占比，灰色部分為無風險資產(chǎn)占比。

帶有VaR的情況如圖1(a)(b)所示。

圖1 不同資產(chǎn)比情況下，單周期資產(chǎn)配置的結(jié)果

圖1中橫坐標代表0時刻的資產(chǎn)比S0。從(a)的結(jié)果來看，在具有VaR限制的條件下，股票的占比會隨著資產(chǎn)比率的上升而上升，但上升到一定程度后資產(chǎn)配置的結(jié)果會維持在一個比較穩(wěn)定的位置；從(b)可以看出：將風險厭惡指數(shù)上調(diào)后，透支在股票市場上的資產(chǎn)明顯減少，說明了投資者對風險的防范性明顯增加。

由(c)可以看出：對于資產(chǎn)配置的影響使得投資者將更多的資金放到了股票和無風險資產(chǎn)上，從而可以有效地防止效用損失。股票的占比隨著資產(chǎn)比的上升出現(xiàn)先下降后上升的趨勢，在資產(chǎn)比為1的情況下，股票的占比最小，由此可見資產(chǎn)比為1時，AFC會帶來明顯的效用損失。而后，股票的占比隨資產(chǎn)比上升，說明資產(chǎn)比的增加使投資者對于利益的追求擴大化；由(d)可以看出：由于風險厭惡的增加，與具有VaR下的情況類似，更多的資金投資在了債券之上；由(e)(f)的結(jié)果可以看出：在接收別人投資的情況下，將效用損失的參數(shù)λ設(shè)置為更高，而隨著風險厭惡程度的增加，投資者為了減少效用損失，也應(yīng)該將更多的資金投資到債券上。

由以上的模型結(jié)果可以看出：無風險資產(chǎn)的占比十分小，回顧模型的原理可以看出，由于無風險資產(chǎn)的占比是在計算了股票和債券的占比之后計算得出，但是在優(yōu)化效用函數(shù)的過程中，大部分資產(chǎn)被分配到股票和債券上，這與參考文獻上的結(jié)果基本相符合。

2) 多周期資產(chǎn)配置

① 在具有VaR限制的情況下資產(chǎn)配置情況

在具有VaR限制的情況下，即將資產(chǎn)比小于1的概率設(shè)置為小于p=0.025，得到的結(jié)果如下：

在本文中更加傾向于風險厭惡型，因此將風險厭惡指數(shù)取為γ=5。為了與后面的Black-Litterman模型作比較，盡量去除資產(chǎn)比例如負債和借取外債對資產(chǎn)配置的影響，在這里將取資產(chǎn)配置穩(wěn)定時的資產(chǎn)配置結(jié)果，計算每個周期的資產(chǎn)配置情況和各個時期的收益和累計收益，得到的結(jié)果見表2。

表2 10個周期年度數(shù)據(jù)動態(tài)規(guī)劃下的資產(chǎn)配置以及收益情況(VaR限制下)

② 在具有AFC的情況下資產(chǎn)配置情況

在具有AFC的情況下，風險厭惡指數(shù)γ=5，參數(shù)λ=5，得到的多周期資產(chǎn)配置情況如下：

同樣地，將各周期的資產(chǎn)配置比重取平均，得到的結(jié)果如表3所示。

表3 10個周期年度數(shù)據(jù)動態(tài)規(guī)劃下的資產(chǎn)配置以及收益情況(具有AFC情況)

2.4 Black-Litterman模型資產(chǎn)配置

將模型策略改為Black-Litterman模型，由于Black-Litterman模型具有很多參數(shù)，而不同參數(shù)應(yīng)選擇多少，至今仍然沒有定論，因此在本論文中先在第1周期的資產(chǎn)配置中將所有參數(shù)取值先進行一次遍歷。

1) 單周期資產(chǎn)配置

將所有的參數(shù)進行遍歷，取得Black-Litterman模型的結(jié)果如下，各參數(shù)取值情況和對應(yīng)的結(jié)果如表4所示。

表4 Black-Litterman模型下各參數(shù)取值下單周期資產(chǎn)配置結(jié)果

由表4的結(jié)果可以看出：隨著參數(shù)γ減小，資產(chǎn)配置的結(jié)果主要傾向于對債券和無風險資產(chǎn)增加一定比例，說明減少風險厭惡指數(shù)更傾向于降低風險；且由結(jié)果也可以看出減小資產(chǎn)配置的熵也起到類似的效果。而資產(chǎn)配置的結(jié)果與參數(shù)τ的變化關(guān)系不大。

2) 多周期資產(chǎn)配置

本文中更傾向于降低風險，因此風險厭惡指數(shù)γ取5而其他參數(shù)τ取0.001，選擇加入適當?shù)撵匮a償，所以將ξ取0.001來計算多周期的資產(chǎn)配置結(jié)果。將Black-Litterman模型運用到多周期的資產(chǎn)配置，得到的結(jié)果如表5所示。

表5 確定參數(shù)后Black-Litterman模型多周期資產(chǎn)配置結(jié)果

2.5 混合方法資產(chǎn)配置

在之前的結(jié)果和步驟基礎(chǔ)之上，將2個模型結(jié)合進行資產(chǎn)配置，利用生成的模擬數(shù)據(jù)在每個時期進行動態(tài)資產(chǎn)規(guī)劃和Black-Litterman模型的資產(chǎn)配置。因為動態(tài)資產(chǎn)規(guī)劃模型分為兩種限制情況，所以在本次資產(chǎn)配置中也分為具有VaR限制和AFC兩種情況。

由于動態(tài)規(guī)劃模型和Black-Litterman模型參數(shù)體系并不相同，動態(tài)規(guī)劃根據(jù)資產(chǎn)比的不同得出相應(yīng)的資產(chǎn)配置，而Black-Litterman是改進的均值-方差模型，更多的是在“混亂程度”的基礎(chǔ)上考慮資產(chǎn)配置的最后結(jié)果。2個模型思考的角度分別具有不兼容性，但最后得到的資產(chǎn)配置可以在收益的基礎(chǔ)上選擇更優(yōu)化的資產(chǎn)配置，先將得到的結(jié)果列舉為表6。

表6 具有VaR限制下的混合策略資產(chǎn)配置結(jié)果

表6給出了當具有VaR限制的情況下得到的結(jié)果。將得到的結(jié)果與之前結(jié)果進行比較，為了更加直觀地反映兩者之間的差別，直接將每個周期根據(jù)策略進行資產(chǎn)配置后的累計收益率進行對比，得到的結(jié)果見圖2，其中縱坐標即為累計收益，橫坐標對應(yīng)周期。

圖2 具有VaR限制下混合策略和單策略累計收益曲線

在對比了累計收益的基礎(chǔ)上，進一步計算了各策略下的夏普比率，用以衡量各策略下的單位風險收益能力得到的結(jié)果如表7所示。

表7 具有VaR限制下夏普比率

由表6、圖2和表7的結(jié)果可以看出：其中的混合模型在多周期資產(chǎn)配置的過程中大多數(shù)擁有比單策略更好的收益和累計收益，而單風險下的收益也在大多數(shù)時候比單策略更好，由此可見，混合策略對于單策略有一定的改進。

當具有AFC的情況下得到的結(jié)果為表8。

表8 具有AFC下的混合策略資產(chǎn)配置結(jié)果

同理，將混合策略得到結(jié)果的累計收益率與之前的結(jié)果進行對比，結(jié)果見圖3。

圖3 具有AFC下混合策略和單策略累計收益曲線

表9 具有AFC限制下夏普比率

同理，由表8、圖3和表9也可以看出混合策略具有比單策略更高的收益和單風險下更好的收益，由此可以保證更加穩(wěn)定的收益。

由以上兩個策略得到的結(jié)果與之前的模型結(jié)果進行對比可以發(fā)現(xiàn)：混合策略能更加充分地利用每個策略的優(yōu)點，并且使得資產(chǎn)配置具有更高的收益。

3 結(jié)論

分別使用動態(tài)規(guī)劃模型和Black-Litterman模型進行了股票、債券和無風險資產(chǎn)這3種資金之間的資產(chǎn)配置，探討了單周期和多周期的資產(chǎn)配置。在多周期的動態(tài)規(guī)劃長期投資的情況下，區(qū)分了具有VaR限制和外來投資AFC兩種情況。可以看出，VaR限制主要在資產(chǎn)比小于且接近1時起的作用最大，而在資產(chǎn)比遠小于1的時候，無法得到有效的資產(chǎn)配置相關(guān)的結(jié)果；在具有AFC的時候，將獲取AFC計入效用損失，可以看出投資者為了取得更大的效用函數(shù)而更加傾向于選擇債券和無風險資產(chǎn)，股票的比重會隨之減小。

在分析多周期的累計收益相對于原本的單策略累計收益的比值情況后，發(fā)現(xiàn)大多時候混合模型不僅可以擁有超越單模型的收益，并且可以在單位風險上擁有更大的收益，從而獲得更加穩(wěn)定的收益。

但由于動態(tài)規(guī)劃模型和Black-Litterman模型參數(shù)體系并不相同，在結(jié)合過程中，對動態(tài)規(guī)劃模型的資產(chǎn)配置只選取了資產(chǎn)配置結(jié)果不隨資產(chǎn)比變動的情況，盡量降低資產(chǎn)比在混合模型中的影響，而在動態(tài)規(guī)劃模型中根據(jù)不同資產(chǎn)比的情況進行資產(chǎn)配置的特性損失掉了，因此相對于原模型，混合模型對資產(chǎn)比變化不夠敏感。