直流無刷電機的改進型滑?？刂?/h1>
2021-12-14 07:47:10曾俊杰
重慶理工大學學報(自然科學) 2021年11期 關鍵詞：系統
徐 鵬，曾俊杰，張 偉
(重慶理工大學 電氣與電子工程學院， 重慶 400054)
直流無刷電機具有維護成本低、機械性能良好、起動轉矩大、過載能力強、使用壽命長等一系列優點。自20世紀50年代以來，在各種驅動裝置和伺服系統中被廣泛使用[1]。但在一些高端產品中，電機控制芯片仍從國外進口，一些精確的控制算法仍參考國外理論。因此，有必要研究和發展高效、穩定、準確的電機控制算法理論[2-3]。在電機控制策略領域，常用的控制算法有傳統的PID控制[4-5]、模糊控制[6-7]、滑模變結構控制[8-10]等算法。其中，滑模變結構控制本質上是一種特殊的非線性控制方法，它通過切換控制量來使得系統軌跡朝滑模面滑動，因此具有響應速度快、對數學模型物理參數變化和外界擾動不敏感等優點。其缺點是當狀態軌跡到達設定的滑模面時，這種切換策略會造成在滑模面兩側來回運動，從而導致抖振現象[8]。該方法非常適用于直流無刷電機的控制，Yan等[11]提出了一種基于模糊滑模控制器的設計，有效削弱了抖振現象，控制系統具有較強的魯棒性。汪俊杰等[12]將前饋控制與滑?？刂平Y合成前饋滑?？刂破?，其具有傳統滑?？刂频暮唵涡阅埽瑥浹a了傳統滑模控制器輸出端積分環節響應速度慢的不足，提高了抗擾能力。焦曉雷等[13]闡述了一種全局滑模控制器，改善了傳統滑?？刂破飨到y參數的不確定性和外部干擾動態性能。 Zhang H等[14]在文獻[2，9-13]基礎上介紹了一種高階滑模觀測器與非奇異終端滑模，有效解決了快速終端滑模控制器出現的奇異問題。Naik B B等[15]對Buck變換器采用改進滑動函數的滑模控制策略，改善了系統的穩態和動態性能。
本文研究在滑模變結構控制算法基礎上改進傳統指數型趨近率，加大系統趨近滑模面平衡位置的控制力度，增強電機控制動態性能，并結合帶積分修正函數的快速終端滑模面，加快系統的收斂速度，減少切換時間，使得系統運動點快速沿著設定的滑模面運動，從而在提高系統響應時間以及減少系統超調量的基礎上解決了滑模控制所帶來的抖振問題。
1 改進趨近率模控制器的設計
直流無刷電機的電壓方程可表示為：
(1)
其中：Ua、Ub、Uc表示電機的三相電壓；Ra、Rb、Rc表示電機的三相繞組電阻；ea、eb、ec表示電機的三相反電動勢；ia、ib、ic表示電機的三相電流；La、Lb、Lc表示電機的三相繞組自感；Lab、Lac、Lba、Lbc、Lca、Lcb表示電機繞組間的互感；P為微分算子d/dt。
無刷直流電機轉子的機械運動方程為:
(2)
其中：T為直流無刷負載轉矩；J為電機轉動慣量；B為電機黏滯摩擦因數。忽略黏滯摩擦因數的影響，將式(2)改進為:
(3)
則直流無刷電機的狀態方程為:
(4)
式中：x1=ω*-ω；x2是x1的微分；電流i為控制量；轉速誤差為輸入；電機轉速為輸出。
典型的轉速電流雙閉環直流無刷電機調速系統如圖1所示。電流控制器采用結構簡單、易于實現的PI算法。速度環采用改進趨近率滑模變結構控制算法。
圖1 直流無刷電機雙閉環調速系統結構框圖
取滑模面為：
s=Cx1+x2
(5)
基于對常規指數趨近率的分析，為了在更大程度上提升控制系統的動態穩定性能，增強魯棒性，提出了一種改進型指數趨近率：
(6)
根據直流無刷電機的線性空間表達式和傳統滑模面，以及改進型指數趨近律可得控制器為：
(7)
其中：β=3；S可取x1、x2或s=Cx1+x2，即S與狀態變量關系密切。引入S后，趨于穩定的速度與狀態變量緊密相關。S取x1時，將控制器命名為x1SMC；S取x2時，將控制器命名為x2SMC；S取s時，將控制器命名為sSMC。
S值與當前系統狀態距離滑模面的距離相關。當S值較大時，系統狀態會根據-ε|S|sgn(s)和-ks兩種速率向滑動面趨近。與傳統指數趨近率相比，由于增加了 |S|β項，改進型趨近率的趨近速度將會大幅度提升; 當系統狀態接近滑模面，此時S值較小，-ks接近于0，而改進型趨近率-ε|S|sgn(s)起著主導作用，系統狀態變量會很快接近于0并在原點附近穩定。這樣有效減少了切換時間，提升了系統控制品質。
關于穩定性證明。選擇李雅普諾夫函數為：
(8)
對式(5)求導，再將式(7)代入。根據式(9)的李雅普諾夫穩定性判據進行判定。
(9)
從式(10)中可以看出，無論S取何值，均有|S|≥0；又因為ε、k和β均恒大于 0，則式(10)恒成立。由穩定性判據可知，采用改進型指數趨近率的滑模控制系統是穩定的。
(10)
2 改進滑模面滑?？刂破髟O計
2.1 快速終端改進型滑模變結構控制器設計
將快速終端滑模面定義為：
(11)
式中：x1為參考轉速與實際轉速的差值；x2為x1的導數。對式(11)進行求導：
(12)
取改進型指數趨近率為：
(13)
令式(12)等于式(13)，可得控制器為：
(14)
2.2 帶修正函數的快速終端改進型滑模變結構控制器設計
針對傳統快速終端滑?？刂拼嬖诙墩窈褪諗克俣嚷膯栴}，提出了帶修正系數的滑模面。帶修正系數的滑模面為：
(15)
其中r>0是標量。此處積分項用于實現閉合條件下電機轉速的穩態性能更好。
趨近律為：
(16)
對式(15)進行求導可得：
(17)
令式(16)等于式(17)，可得：
(18)
對于2階非線性動態系統：
(19)
取帶修正系數的快速終端滑模面為：
(20)
對帶修正系數的快速終端滑模面求導可得：
(21)
則指數趨近律為：
(22)
根據式(19)(21)(22)，可得帶修正系數的快速終端滑?？刂茷椋?/p>
(23)
關于穩定性分析。由于
(24)
則
(25)
由式(24)知ε>0，且 |x1|β≥0，則可得式(25)恒小于0，故所提出控制器穩定。
關于有限到達時間分析。設由s(0)≠0至s=0的時間為t1。當t=t1時，即s(t1)=0，且
(26)
(27)
即
(28)
(29)
設由x1(t1)≠0至x1(t2+t1)=0的時間為t2，在此階段，s=0，即
(30)
(31)
對式(30)(31)進行積分，得
3 仿真結果和分析
采用Matlab/Simulink軟件建立改進趨近率滑?？刂婆c改進滑模面滑?？刂频姆抡婺Ｐ汀２捎玫碾姍C參數見表1。
表1 直流無刷電機參數
3.1 改進趨近率控制器仿真結果和分析
將傳統指數型滑模變結構控制與改進型的 3種滑模控制進行對比，仿真時長為0.2 s。將電機參考轉速設置為1 500 r/min。初始時刻負載轉矩為0 N·m，在0.1 s時施加3 N·m的負載轉矩。
電機轉速響應與電磁轉矩響應如圖2、3所示。從圖2中可以看出，改進型趨近率(尤其是S取x1時)的趨近速度更加平滑，收斂過程的轉速波動較小，轉矩波動也較小，且在平衡位置時抖動最小。傳統指數型趨近率滑模算法與3種改進型趨近率算法相比，轉速、轉矩響應曲線變化趨勢相差不大，且在0.05 s時會重合，趨于穩定。
圖2 傳統指數型與改進型滑模變結構控制電機轉速響應曲線
圖3 傳統指數型與改進型滑模變結構控制電磁轉矩響應曲線
對圖2、3進行詳細對比分析，結果如表2所示。其中，x1SMC算法的轉速在啟動階段會從0平滑過渡到平衡狀態，且基本沒有轉速波動；趨于穩定的時間最短，雖然轉矩最大波動和轉速最大波動比x2SMC略大，但對系統整體影響不大。因此，x1SMC 控制算法的穩定性更優。但從圖2、3中可以看出，這種改進指數型滑模控制算法，針對滑模抖振的問題并沒有明顯改善。
表2 改進型趨近率滑模算法的系統響應性能參數
3.2 改進滑模面控制器仿真結果和分析
使用帶修正函數的快速終端改進型滑模變結構控制算法(即改進型滑模算法，簡稱ISMC)與快速終端改進型滑模變結構控制算法(FTSMC)、改進型指數趨近率滑模變結構控制算法(x1SMC)、傳統指數型趨近率滑模變結構控制算法(SMC)進行對比，得到直流無刷電機調速系統的電機轉速響應以及電磁轉矩響應波形如圖4、5所示。4種算法的轉速、轉矩響應曲線在接近 0.04 s 時重合，速度與轉矩響應曲線變化趨勢幾乎一致。
圖4 4種算法的電機轉速響應曲線
圖5 4種算法的電磁轉矩響應曲線
對圖4、5進行詳細對比分析，結果如表3所示。綜合上述4種算法的系統動態響應可知，ISMC算法與FTSMC算法在穩定時間的抖動問題方面得到了很大改善，且前者算法的抖動為0.4 r/min，幾乎可忽略不記，且轉速響應最大波動的最小范圍在 1 500～1 502 r/min范圍，幾乎沒有超調現象，到達參考轉速時間最短，響應最快，轉矩響應最大，轉矩波動為14 N·m。相對于其他3種控制算法，ISMC在直流無刷電機控制系統中具有更好的應用優勢。
表3 4種算法的系統響應性能參數
4 實驗結果和分析
為驗證所提出算法的可行性，建立基于STM32的直流無刷電機調速實驗平臺，如圖6所示?？刂葡到y以TI公司的STM32C8T6為控制芯片，實驗平臺還包括外圍電路開關、電流采樣模塊、電源模塊、通信模塊、直流無刷電機等。
圖6 直流無刷電機調速實驗平臺實物圖
實驗中，電流環采用結構簡單的PI控制，速度環采用SMC、x1SMC、FTSMC以及ISMC。將電機的給定轉速設置為 25 r/s(即1 500 r/min)，使用以上4種控制算法得到不同的電機轉速響應，如圖7所示。
圖7 傳統滑?？刂扑惴ǖ碾姍C轉速響應曲線
從圖7中可以看出，所提出的ISMC算法響應時間最快，幾乎沒有超調量；其他3種算法的抖動很明顯，而ISMC算法到達參考轉速的過程很平滑，幾乎沒有抖動。具體性能參數見表4。
表4 改進型趨近率滑模算法的系統響應性能參數
為了更好地驗證所提出算法的性能，將這4種算法進行加減速實驗對比分析。加速實驗過程：從0加速到10 r/s，再加速到20 r/s，最后加速到30 r/s，如圖8所示。直流無刷電機減速實驗過程：從0上升到20 r/s，然后減速到15 r/s，最后減速到10 r/s，如圖9所示。從圖8的4種算法的加速實驗和圖9的4種算法的減速實驗中可以看出，ISMC算法在響應時間和系統抖動方面都優于其他3種算法，加減速實驗結果更加證明了所提出算法的優越性。
圖9 4種算法減速實驗的電機轉速響應曲線
5 結論
將所提出的改進型滑?？刂扑惴ㄅc其他3種控制算法在實驗平臺上進行調速實驗。實驗結果表明：改進型滑模算法不僅超調量明顯減少，響應速度明顯加快，而且基本消除了電機滑?？刂频亩墩袂闆r。
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徐 鵬，曾俊杰，張 偉
(重慶理工大學 電氣與電子工程學院， 重慶 400054)
直流無刷電機具有維護成本低、機械性能良好、起動轉矩大、過載能力強、使用壽命長等一系列優點。自20世紀50年代以來，在各種驅動裝置和伺服系統中被廣泛使用[1]。但在一些高端產品中，電機控制芯片仍從國外進口，一些精確的控制算法仍參考國外理論。因此，有必要研究和發展高效、穩定、準確的電機控制算法理論[2-3]。在電機控制策略領域，常用的控制算法有傳統的PID控制[4-5]、模糊控制[6-7]、滑模變結構控制[8-10]等算法。其中，滑模變結構控制本質上是一種特殊的非線性控制方法，它通過切換控制量來使得系統軌跡朝滑模面滑動，因此具有響應速度快、對數學模型物理參數變化和外界擾動不敏感等優點。其缺點是當狀態軌跡到達設定的滑模面時，這種切換策略會造成在滑模面兩側來回運動，從而導致抖振現象[8]。該方法非常適用于直流無刷電機的控制，Yan等[11]提出了一種基于模糊滑模控制器的設計，有效削弱了抖振現象，控制系統具有較強的魯棒性。汪俊杰等[12]將前饋控制與滑?？刂平Y合成前饋滑?？刂破?，其具有傳統滑?？刂频暮唵涡阅埽瑥浹a了傳統滑模控制器輸出端積分環節響應速度慢的不足，提高了抗擾能力。焦曉雷等[13]闡述了一種全局滑模控制器，改善了傳統滑?？刂破飨到y參數的不確定性和外部干擾動態性能。 Zhang H等[14]在文獻[2，9-13]基礎上介紹了一種高階滑模觀測器與非奇異終端滑模，有效解決了快速終端滑模控制器出現的奇異問題。Naik B B等[15]對Buck變換器采用改進滑動函數的滑模控制策略，改善了系統的穩態和動態性能。
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1 改進趨近率模控制器的設計
直流無刷電機的電壓方程可表示為：
(1)
其中：Ua、Ub、Uc表示電機的三相電壓；Ra、Rb、Rc表示電機的三相繞組電阻；ea、eb、ec表示電機的三相反電動勢；ia、ib、ic表示電機的三相電流；La、Lb、Lc表示電機的三相繞組自感；Lab、Lac、Lba、Lbc、Lca、Lcb表示電機繞組間的互感；P為微分算子d/dt。
無刷直流電機轉子的機械運動方程為:
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其中：T為直流無刷負載轉矩；J為電機轉動慣量；B為電機黏滯摩擦因數。忽略黏滯摩擦因數的影響，將式(2)改進為:
(3)
則直流無刷電機的狀態方程為:
(4)
式中：x1=ω*-ω；x2是x1的微分；電流i為控制量；轉速誤差為輸入；電機轉速為輸出。
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圖1 直流無刷電機雙閉環調速系統結構框圖
取滑模面為：
s=Cx1+x2
(5)
基于對常規指數趨近率的分析，為了在更大程度上提升控制系統的動態穩定性能，增強魯棒性，提出了一種改進型指數趨近率：
(6)
根據直流無刷電機的線性空間表達式和傳統滑模面，以及改進型指數趨近律可得控制器為：
(7)
其中：β=3；S可取x1、x2或s=Cx1+x2，即S與狀態變量關系密切。引入S后，趨于穩定的速度與狀態變量緊密相關。S取x1時，將控制器命名為x1SMC；S取x2時，將控制器命名為x2SMC；S取s時，將控制器命名為sSMC。
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(8)
對式(5)求導，再將式(7)代入。根據式(9)的李雅普諾夫穩定性判據進行判定。
(9)
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(12)
取改進型指數趨近率為：
(13)
令式(12)等于式(13)，可得控制器為：
(14)
2.2 帶修正函數的快速終端改進型滑模變結構控制器設計
針對傳統快速終端滑?？刂拼嬖诙墩窈褪諗克俣嚷膯栴}，提出了帶修正系數的滑模面。帶修正系數的滑模面為：
(15)
其中r>0是標量。此處積分項用于實現閉合條件下電機轉速的穩態性能更好。
趨近律為：
(16)
對式(15)進行求導可得：
(17)
令式(16)等于式(17)，可得：
(18)
對于2階非線性動態系統：
(19)
取帶修正系數的快速終端滑模面為：
(20)
對帶修正系數的快速終端滑模面求導可得：
(21)
則指數趨近律為：
(22)
根據式(19)(21)(22)，可得帶修正系數的快速終端滑?？刂茷椋?/p>
(23)
關于穩定性分析。由于
(24)
則
(25)
由式(24)知ε>0，且 |x1|β≥0，則可得式(25)恒小于0，故所提出控制器穩定。
關于有限到達時間分析。設由s(0)≠0至s=0的時間為t1。當t=t1時，即s(t1)=0，且
(26)
(27)
即
(28)
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設由x1(t1)≠0至x1(t2+t1)=0的時間為t2，在此階段，s=0，即
(30)
(31)
對式(30)(31)進行積分，得
3 仿真結果和分析
采用Matlab/Simulink軟件建立改進趨近率滑?？刂婆c改進滑模面滑?？刂频姆抡婺Ｐ汀２捎玫碾姍C參數見表1。
表1 直流無刷電機參數
3.1 改進趨近率控制器仿真結果和分析
將傳統指數型滑模變結構控制與改進型的 3種滑模控制進行對比，仿真時長為0.2 s。將電機參考轉速設置為1 500 r/min。初始時刻負載轉矩為0 N·m，在0.1 s時施加3 N·m的負載轉矩。
電機轉速響應與電磁轉矩響應如圖2、3所示。從圖2中可以看出，改進型趨近率(尤其是S取x1時)的趨近速度更加平滑，收斂過程的轉速波動較小，轉矩波動也較小，且在平衡位置時抖動最小。傳統指數型趨近率滑模算法與3種改進型趨近率算法相比，轉速、轉矩響應曲線變化趨勢相差不大，且在0.05 s時會重合，趨于穩定。
圖2 傳統指數型與改進型滑模變結構控制電機轉速響應曲線
圖3 傳統指數型與改進型滑模變結構控制電磁轉矩響應曲線
對圖2、3進行詳細對比分析，結果如表2所示。其中，x1SMC算法的轉速在啟動階段會從0平滑過渡到平衡狀態，且基本沒有轉速波動；趨于穩定的時間最短，雖然轉矩最大波動和轉速最大波動比x2SMC略大，但對系統整體影響不大。因此，x1SMC 控制算法的穩定性更優。但從圖2、3中可以看出，這種改進指數型滑模控制算法，針對滑模抖振的問題并沒有明顯改善。
表2 改進型趨近率滑模算法的系統響應性能參數
3.2 改進滑模面控制器仿真結果和分析
使用帶修正函數的快速終端改進型滑模變結構控制算法(即改進型滑模算法，簡稱ISMC)與快速終端改進型滑模變結構控制算法(FTSMC)、改進型指數趨近率滑模變結構控制算法(x1SMC)、傳統指數型趨近率滑模變結構控制算法(SMC)進行對比，得到直流無刷電機調速系統的電機轉速響應以及電磁轉矩響應波形如圖4、5所示。4種算法的轉速、轉矩響應曲線在接近 0.04 s 時重合，速度與轉矩響應曲線變化趨勢幾乎一致。
圖4 4種算法的電機轉速響應曲線
圖5 4種算法的電磁轉矩響應曲線
對圖4、5進行詳細對比分析，結果如表3所示。綜合上述4種算法的系統動態響應可知，ISMC算法與FTSMC算法在穩定時間的抖動問題方面得到了很大改善，且前者算法的抖動為0.4 r/min，幾乎可忽略不記，且轉速響應最大波動的最小范圍在 1 500～1 502 r/min范圍，幾乎沒有超調現象，到達參考轉速時間最短，響應最快，轉矩響應最大，轉矩波動為14 N·m。相對于其他3種控制算法，ISMC在直流無刷電機控制系統中具有更好的應用優勢。
表3 4種算法的系統響應性能參數
4 實驗結果和分析
為驗證所提出算法的可行性，建立基于STM32的直流無刷電機調速實驗平臺，如圖6所示?？刂葡到y以TI公司的STM32C8T6為控制芯片，實驗平臺還包括外圍電路開關、電流采樣模塊、電源模塊、通信模塊、直流無刷電機等。
圖6 直流無刷電機調速實驗平臺實物圖
實驗中，電流環采用結構簡單的PI控制，速度環采用SMC、x1SMC、FTSMC以及ISMC。將電機的給定轉速設置為 25 r/s(即1 500 r/min)，使用以上4種控制算法得到不同的電機轉速響應，如圖7所示。
圖7 傳統滑?？刂扑惴ǖ碾姍C轉速響應曲線
從圖7中可以看出，所提出的ISMC算法響應時間最快，幾乎沒有超調量；其他3種算法的抖動很明顯，而ISMC算法到達參考轉速的過程很平滑，幾乎沒有抖動。具體性能參數見表4。
表4 改進型趨近率滑模算法的系統響應性能參數
為了更好地驗證所提出算法的性能，將這4種算法進行加減速實驗對比分析。加速實驗過程：從0加速到10 r/s，再加速到20 r/s，最后加速到30 r/s，如圖8所示。直流無刷電機減速實驗過程：從0上升到20 r/s，然后減速到15 r/s，最后減速到10 r/s，如圖9所示。從圖8的4種算法的加速實驗和圖9的4種算法的減速實驗中可以看出，ISMC算法在響應時間和系統抖動方面都優于其他3種算法，加減速實驗結果更加證明了所提出算法的優越性。
圖9 4種算法減速實驗的電機轉速響應曲線
5 結論
將所提出的改進型滑?？刂扑惴ㄅc其他3種控制算法在實驗平臺上進行調速實驗。實驗結果表明：改進型滑模算法不僅超調量明顯減少，響應速度明顯加快，而且基本消除了電機滑?？刂频亩墩袂闆r。
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