一種基于中心矩和相關系數(shù)閾值的SVD重構(gòu)算法

何益宏 饒紅疆 汪倩文

(五邑大學智能制造學部 廣東 江門 529020)

0 引 言

奇異值分解去噪可以有效地分析非線性、非平穩(wěn)信號，消除信號中的隨機噪聲[1]。而且重構(gòu)信號不存在相位偏移和時間延遲[2]，具有良好的穩(wěn)定性和不變性[3]，在信號處理領域已經(jīng)得到了廣泛應用[4-7]。與其他信號處理技術相比，SVD速度更快且易于實現(xiàn)[8]。

奇異值分解去噪是將一維信號映射到二維Hankel矩陣中，利用有效秩階次確定信號空間和噪聲空間的邊界，對信號空間進行降維處理得到去噪后的信號。在矩陣結(jié)構(gòu)確定的前提下，有效秩階次是決定去噪效果的關鍵因素。現(xiàn)有的階次確定方法很多，如奇異值差分譜[9]、奇異值峭度相對變化率[10](SVK)等，但這些方法所確定的階次存在結(jié)果偏大或偏小的問題。例如當原始信號由多個信號分量疊加形成，信號能量弱于噪聲能量的部分容易被淹沒，對應奇異值譜中幅值較小的奇異值，使用SVK容易將這些奇異值去除，然而這些較小奇異值代表原始信號的某些特征分量，如旋轉(zhuǎn)機械的早期故障微弱特征[11]。這些信號能量較弱的分量丟失會導致去噪后的信號信噪比偏低，而在噪聲能量較強的情況下，SVK容易選擇過多的奇異值影響SVD去噪的結(jié)果。因此，為了提高奇異值分解的去噪性能，研究一種無須選擇有效秩階次的SVD去噪方法具有重要應用價值。

為了解決上述問題，本文提出一種基于中心矩和相關系數(shù)閾值的SVD去噪方法，重新優(yōu)化了Hankel矩陣維數(shù)，更小的矩陣維數(shù)使奇異值分解速度更快，顯著降低計算量，采用相關系數(shù)閾值選取有用分量實現(xiàn)信號重構(gòu)。本文方法無須選擇有效秩階次，避免了階次選擇不當帶來的去噪效果不理想的問題。

1 方法設計

1.1 傳統(tǒng)SVD去噪方法

傳統(tǒng)的SVD去噪方法利用測量信號構(gòu)建Hankel矩陣，對矩陣進行奇異值分解得到奇異值譜，奇異值以衰減的形式排列，在信號不含噪聲的情況下，奇異值譜中只有少數(shù)較大的奇異值，而其余的奇異值都為零。因此信號可用少數(shù)較大的奇異值重構(gòu)逼近。對于含噪信號，奇異值譜中所有奇異值都不為零，當信號能量強于噪聲時，代表信號的奇異值要大于噪聲的奇異值，因此可取前幾個較大的奇異值來重構(gòu)信號，可將其等效為原始信號的有效逼近，而其余的奇異值則代表噪聲予以去除。

假設一個含有噪聲的數(shù)字信號可以表示為：

y(n)=x(n)+e(n)

(1)

式中：y(n)是無噪信號x(n)和噪聲e(n)的線性疊加；n表示采樣點數(shù)。利用測量數(shù)據(jù)可以構(gòu)造Hankel矩陣為：

(2)

式中：N為信號長度；m為矩陣行數(shù)；l為矩陣列數(shù)；1

G=USVT

(3)

其中：U∈Rm×m、V∈Rl×l是左右正交奇異矩陣，S=diag(σ1,σ2,…,σr)是只含有不為零的奇異值和零兩種元素的對角矩陣，且σ1≥σ2≥…≥σr≥0，r=min(m,l)。若以單個奇異值及相應左右奇異向量表示，G可以表示為r個子矩陣的線性疊加，計算式表示為：

(4)

式中：q是奇異值序列的轉(zhuǎn)折點，前q個奇異值代表有效信號。信號矩陣為：

(5)

對式(5)所得矩陣進行反對角算術平均可得到去噪信號，本文選取SVK作為階次確定方法。

1.2 改進的SVD去噪方法

傳統(tǒng)的SVD去噪方法對信號進行處理時，構(gòu)建的Hankel矩陣通常采用最大維數(shù)法[12-13]，即矩陣列數(shù)和行數(shù)盡可能最大，且行列數(shù)之差最小。文獻[14]研究了不同矩陣列數(shù)下奇異值的概率分布，發(fā)現(xiàn)代表信號的奇異值分布在相對較寬的范圍內(nèi)；而代表噪聲的奇異值分布在相對較窄的范圍內(nèi)，而且分布類似于正態(tài)。基于此提出用四階中心矩的四階根(FRFCM)來確定矩陣列數(shù)，去除了探底雷達測量數(shù)據(jù)噪聲。本文在此研究基礎上繼續(xù)計算了一階、三階和四階中心矩的k次冪，可同時得到三個矩陣列數(shù)：

(6)

根據(jù)式(4)可得：

(7)

(8)

設定一個閾值δ，若相關系數(shù)滿足：

c(l)={i|CR(i)≥δ}l

(9)

則取對應坐標的分量信號進行線性疊加，得到去噪信號：

(10)

本文認為若某分量屬于有效信號，則該分量與第一個分量的相關系數(shù)應該大于等于0.1，因此將所有相關系數(shù)大于等于0.1的分量疊加起來便可形成去噪后的信號。

1.3 改進方法流程

(1) 利用一階、三階和四中心矩的k次冪的峰值坐標確定Hankel矩陣的列數(shù)，再根據(jù)信號長度等于矩陣行列數(shù)之和減1確定矩陣行數(shù)，由此得到三個新的Hankel矩陣。

(2) 對每個矩陣進行奇異值分解，根據(jù)奇異值分布規(guī)律依次取單個奇異值重構(gòu)信號，得到一系列信號分量，信號分量的個數(shù)等于奇異值個數(shù)，計算分量之間的相關系數(shù)，取相關系數(shù)大于等于0.1的分量重構(gòu)信號。

(3) 根據(jù)三個矩陣去噪結(jié)果選出最優(yōu)的去噪信號作為最終結(jié)果。

2 實 驗

為了驗證本文方法的有效性,首先對仿真極化電流信號進行測試與分析,然后再驗證對實測極化電流信號的去噪效果。為了定量分析本文方法的去噪性能，以信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)和擬合優(yōu)度(R2)為評判指標，SNR越大、RMSE越小、R2越接近1則說明去噪效果越好。三種評價指標計算如下：

(11)

2.1 仿真信號疊加實測噪聲

為分析本文方法的去噪性能，建立絕緣介質(zhì)仿真模型，參數(shù)取自一臺大型電力變壓器極化支路辨識結(jié)果[16]，具體參數(shù)見表1。極化支路總共有6條，極化支路最大時間常數(shù)為763.7 s，加壓1分鐘內(nèi)第6條支路極化電流變化幅度不大。第5、6條極化支路的極化電阻相對較大，根據(jù)歐姆定律可得這兩條支路產(chǎn)生的極化電流非常微弱，電流幅值低于1 μA。取測試電壓5 kV，仿真時間10 s，采樣間隔為0.01 s，信號采樣數(shù)為1 000，同時利用安捷倫3 4461 A采集現(xiàn)場噪聲。

表1 極化支路參數(shù)

向仿真極化電流混入1倍實測噪聲，實測噪聲和含噪極化電流如圖1所示。SNR=43.994 9 dB，表明信號的能量強于噪聲。從圖中可以看出噪聲主要分布在曲線變化較為緩慢的階段，對信號初始階段幾乎沒有影響。

圖1 實測噪聲與含噪極化電流

根據(jù)表1參數(shù)可知，前3條極化支路的時間常數(shù)很小，極化電阻相對也比較小，因此前3條極化支路電流衰減速度較為快速且電流幅值相對較大。第4、5、6條時間常數(shù)較大，特別是第6條極化支路時間常數(shù)接近1 000 s，極化電阻僅次于第5條極化支路，因此電流衰減非常緩慢，且電流幅值較小容易被噪聲干擾，據(jù)此可判定圖1中含噪極化電流初始階段主要由前3條極化支路的電流值和噪聲疊加形成，中后段主要由第4、5、6條極化支路電流和噪聲疊加形成。

圖2列出了一階、三階和四階中心矩的8次冪計算結(jié)果，由此可確定Hankel矩陣列數(shù)分別為290、794和312，矩陣維數(shù)分別711×290、794×207和312×689。與傳統(tǒng)最大維數(shù)法確定的矩陣結(jié)構(gòu)G501×500相比，本文方法確定的矩陣維數(shù)更小。從圖2可以看出除一階中心矩以外，其余均是對稱結(jié)構(gòu)。

圖2 一階、三階和四階中心矩的8次冪確定矩陣列數(shù)

表2給出了本文方法和傳統(tǒng)SVD的去噪評價指標，結(jié)果表明兩種方法均能有效去噪，SNR都有一定程度的提高。其中l(wèi)2=794時SNR最大，相比l=500提升幅度約為52%。從擬合優(yōu)度和均方根誤差看，本文方法去噪信號更加接近理想信號，均方根誤差明顯比傳統(tǒng)SVD去噪信號小，擬合優(yōu)度更加接近于1，說明去噪信號保留了更多有用成分。綜上所述，l2=794的去噪指標最優(yōu)，將其作為最終的去噪結(jié)果。

表2 仿真信號加1倍的外界噪聲的去噪指標

為了體現(xiàn)本文方法對不同程度實測噪聲的適用性，分別對疊加不同程度噪聲的仿真信號進行處理。當仿真信號疊加4倍噪聲時，信噪比為16.269 0 dB。由中心矩的8次冪確定Hankel矩陣列數(shù)的結(jié)果分別為l1=700、l2=232、l3=339，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G700×301、G232×769和G339×662。表3給出了去噪信號的評判指標，信噪比反映了去噪信號的能量強度，去噪信號的能量強度越高，信噪比越大。由表3中數(shù)據(jù)可知本文方法去噪性能優(yōu)于傳統(tǒng)SVD方法，信噪比可提高39%～45%。且本文方法的去噪信號更加接近原始信號，擬合優(yōu)度非常接近于1。綜上所述，l2=232的去噪指標最優(yōu)，將其作為最終的去噪結(jié)果。

表3 仿真信號加4倍的外界噪聲的去噪指標

向仿真信號疊加10倍實測噪聲時，信噪比為-2.056 8 dB。由中心矩的8次冪確定的Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=615、l2=709、l3=356，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G615×386、G709×292和G356×645。表4給出了去噪信號的評判指標，相比之下，傳統(tǒng)SVD方法去噪效果不明顯，擬合優(yōu)度低于0.5，說明去噪信號失真程度嚴重，而本文方法在Hankel矩陣列數(shù)為709時信噪比約為34 dB，為傳統(tǒng)方法的2.5倍，擬合優(yōu)度達到0.9以上，說明去噪信號更加接近原始信號。在噪聲比較嚴重的情況下本文方法仍然有較好的去噪能力和信號保留能力。

表4 仿真信號加10倍的外界噪聲的去噪指標

2.2 仿真信號疊加高斯白噪聲

為驗證在高斯白噪聲中本文方法有效，向仿真信號中加入115 dB的高斯白噪聲，如圖3所示。含噪信號除了初始階段外全都被噪聲覆蓋，信噪比為16.633 5 dB。

圖3 疊加白噪聲的極化電流

圖4給出了中心矩的8次冪確定的Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=241、l2=267、l3=294，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G760×241、G267×734和G294×707。所確定Hankel矩陣維數(shù)仍然要小于最大維數(shù)矩陣。

圖4 一階、三階和四階中心矩的8次冪確定矩陣列數(shù)

表5給出了兩種方法的去噪指標，根據(jù)表5中數(shù)據(jù)可判斷l(xiāng)1=241時信噪比最高，比傳統(tǒng)SVD方法有明顯提高。因此l1=241所構(gòu)成的矩陣結(jié)構(gòu)是當前幾種矩陣結(jié)構(gòu)中去噪效果最好的。

表5 SNR=16.633 5 dB的仿真信號的去噪指標

圖5給出了兩種方法的去噪信號，從曲線光滑程度對比，兩者相差不大，肉眼難以分辨，唯一可見的是去噪信號在初始階段的幅值有很大差異，這說明截取前k個有效奇異值重構(gòu)信號保留了信號強度高于噪聲的部分，而低于噪聲的部分被消除了。

圖5 兩種方法的去噪信號

當含噪信號的信噪比為-6.463 5 dB時，由中心矩的8次冪確定Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=241、l2=267、l3=294，由此確定Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G760×241、G734×267和G294×707。表6給出了去噪指標，由于噪聲能量強于信號能量，重構(gòu)信號的信噪比最大只有30 dB左右，表明重構(gòu)信號存在較為嚴重的有用信息丟失。但相對而言，本文方法的去噪效果更好。

表6 SNR=-6.463 5 dB的仿真信號的去噪指標

綜上所述，本文方法在去噪方面的性能優(yōu)于以有效秩階次和Hankel矩陣為核心的SVD去噪方法，同時根據(jù)中心矩準則優(yōu)化矩陣結(jié)構(gòu)，降低了計算復雜度。

2.3 實際應用

電力變壓器是電網(wǎng)系統(tǒng)中重要的變電設備，而絕緣系統(tǒng)是電力變壓器正常運行的基本保障。測量絕緣電阻和吸收比或極化指數(shù)能夠有效地診斷變壓器整體絕緣是否良好。變壓器的絕緣電阻可由直流電源電壓與極化電流測量值計算得到。極化電流采集原理如圖6所示，其中“L”為電源負極，“E”為電源正極，“G”為屏蔽端，主要目的是防止變壓器高壓側(cè)瓷瓶上的泄露電流進入測量回路。

圖6 極化電流測量示意圖

測量儀器采用34 461 A，設定PLC積分時間為0.2 s，采樣間隔為0.02 s，變壓器現(xiàn)場采樣極化電流信號如圖7所示，信號采樣數(shù)取613點。現(xiàn)場測量噪聲包括環(huán)境噪聲和儀器的電子噪聲。由圖可知噪聲能量很強，信號趨勢無法直接觀察出來。一階中心矩確定的矩陣列數(shù)為186,三階中心矩確定的矩陣列數(shù)為214，四階中心矩確定的矩陣列數(shù)為237。由此確定的Hankel矩陣維數(shù)分別為186×428、214×400和237×377。

圖7 實測極化電流

兩種方法的去噪結(jié)果如圖8所示，由中心矩準則確定的矩陣結(jié)構(gòu)去噪效果最好的是l1=186，其有效信號保留最完整，幅值衰減程度最小。相比之下，傳統(tǒng)SVD方法去噪效果不明顯，信號帶有嚴重的振蕩成分。去噪結(jié)果說明在噪聲較為嚴重的情況下，本文方法去噪效果依然優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

圖8 兩種方法去噪結(jié)果

3 結(jié) 語

傳統(tǒng)的SVD方法對測量信號去噪時存在兩個問題，一是當噪聲能量較小時，有效信號分量中能量小于噪聲能量的部分被舍去，重構(gòu)信號存在能量損失；二是噪聲能量強于信號能量時，階次選擇結(jié)果偏大使信噪比降低，噪聲去除效果不明顯。因此傳統(tǒng)的SVD方法去噪效果取決于有效秩階次確定是否準確，這極大地限制了SVD去噪方法的實際應用。為了進一步提升去噪效果，本文提出一種基于中心矩和相關系數(shù)閾值的SVD去噪方法。中心矩的峰值可重新確定Hankel矩陣的維數(shù)，更小的維數(shù)減少了SVD計算量。利用相關系數(shù)閾值選取有用信號分量實現(xiàn)去噪，避免了有效秩階次選擇不當帶來的問題。