基于壓縮感知的Lamb波信號(hào)成分分離

(1.中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，青島 266100；2.海軍潛艇學(xué)院 動(dòng)力操縱系，青島 266199； 3.中國(guó)科學(xué)院 聲學(xué)所，北京 100190)

Lamb波是在損傷檢測(cè)中常用的一種超聲導(dǎo)波，其在經(jīng)過損傷時(shí)會(huì)發(fā)生散射、反射以及能量吸收效應(yīng)，并且對(duì)裂紋、腐蝕等不同類型的損傷十分敏感[1]。

WANG等[2]研究了延時(shí)求和成像，該方法利用導(dǎo)波的行進(jìn)時(shí)間來定位損傷，但容易出現(xiàn)損傷點(diǎn)。王晶等[3]在此基礎(chǔ)上提出掃查合成的損傷成像方式。ZHAO等[4]開發(fā)了缺陷概率檢測(cè)重建算法。PERELLI等[5]提出了一種基于扭曲頻率變換(WFT)的導(dǎo)波損傷定位方法，該方法可以從頻散導(dǎo)波中恢復(fù)距離域的稀疏反射率函數(shù)，提高了波傳播距離的精度。ROJAS[6]的統(tǒng)計(jì)成像方法還可以比較兩個(gè)信號(hào)之間信號(hào)熵的差異。

在字典成像方式中，ALGURI等[7]使用從替代結(jié)構(gòu)收集的導(dǎo)波數(shù)據(jù)來學(xué)習(xí)字典，然后重建被測(cè)結(jié)構(gòu)的場(chǎng)波。筆者提出使用分析導(dǎo)波傳播模型來生成大量散射信號(hào)，并作為字典的原子，利用構(gòu)建的完備字典來匹配記錄的剩余蘭姆波信號(hào)。通過正交匹配追蹤算法(OMP)可實(shí)現(xiàn)散射信號(hào)的模態(tài)分離與頻散補(bǔ)償，使用缺陷的所有潛在位置來構(gòu)建精確的損傷反射模型，可以形成精確的過完備字典[8]。

1 字典建立與求解方法

1.1 字典的建立及求解

利用導(dǎo)波模式的頻散特性建立頻散信號(hào)字典，在無限薄板中，與激勵(lì)點(diǎn)距離為d處的接收器對(duì)激勵(lì)S(ω)的單模蘭姆波響應(yīng)可表示為[9]

(1)

式中：u(t)為時(shí)域響應(yīng)信號(hào)；t為時(shí)間；ω為角頻率；S(ω)為激勵(lì)信號(hào)f(t)的頻域激勵(lì)信號(hào)；j為虛部。

假設(shè)板中有一個(gè)散射體，激勵(lì)源到散射體再到接收器的總距離為ds，那么頻域的散射信號(hào)Y(ω)可以表示為

(2)

式中:α(ω)為散射體的散射系數(shù)；k(ω)為特定Lamb波模式的波數(shù)。

字典D的第i列ai可以表示為

(3)

式中：di為第i個(gè)原子所表示信號(hào)的行進(jìn)距離；F-1為傅里葉逆變換。

因此可以得到單模態(tài)字典的形式D為[10]

(4)

1.2 非頻散字典的建立

頻散消除過程實(shí)際上是從相應(yīng)的信號(hào)中提取非頻散信號(hào)。如果某種模態(tài)的Lamb波的波數(shù)與頻率呈線性關(guān)系，則不會(huì)發(fā)生頻散。為了得到非頻散字典，將波數(shù)k線性化為ka[11-12]。

(5)

式中：Cg為L(zhǎng)amb波群速度；fc為L(zhǎng)amb波中心頻率。

可以得到

xi=Cg(2πfc)ti

(6)

忽略由于信號(hào)行進(jìn)引起的振幅變化，可以得到非頻散信號(hào)yi(t)為

yi(t)=f(t-ti)

(7)

式(7)表明非頻散信號(hào)相當(dāng)于激勵(lì)信號(hào)的時(shí)移,因此將yi(t)在時(shí)間域上離散化后的信號(hào)作為原子,便可以構(gòu)造出非頻散字典Dn，其形式為

(8)

式中：fm(t-ti)為時(shí)移時(shí)間為ti的非頻散信號(hào)的第m個(gè)測(cè)量值。

1.3 字典求解方法

當(dāng)字典建立完成后，可以用其中的原子線性組合來表示離散信號(hào)ys，假設(shè)ys共有r個(gè)波包，則

ys=Dθ+n

(9)

式中:D∈RN×M(M≥r),為建立的字典;θ∈RM,為求解的系數(shù)列向量;n∈RN,為噪聲項(xiàng)。

散射信號(hào)可以在字典D中被稀疏分解為[13]

(10)

式中：λ為一個(gè)正則化參數(shù)，用來平衡稀疏性和保真性；θ最優(yōu)為散射信號(hào)。

求解后的θ為大部分值為0的列向量，以距離域上的信號(hào)作為原子時(shí)，θ的非零元素Zi(i表示行數(shù))表示字典中行進(jìn)距離為L(zhǎng)的第i個(gè)原子的散射系數(shù)。散射波包的行進(jìn)距離可由第i個(gè)原子的行進(jìn)距離直觀表達(dá)。同樣，以時(shí)間域上的離散信號(hào)作為字典，可以從系數(shù)列向量θ上得到y(tǒng)s的行進(jìn)時(shí)間。

2 仿真試驗(yàn)

對(duì)模態(tài)分離與頻散補(bǔ)償進(jìn)行仿真模擬，激勵(lì)是一個(gè)中心頻率為100 kHz的五波峰加窗脈沖。對(duì)于每個(gè)單一模態(tài)，使用式(3)生成所有合成信號(hào)。采用的中心頻率小于截止頻率，只考慮兩個(gè)基本Lamb波模態(tài)A0和S0。

原始頻散信號(hào)如圖1所示，頻散信號(hào)包含兩種

行進(jìn)距離的兩個(gè)模態(tài)分量，一共4個(gè)波包。波包1和2為S0模態(tài)，波包3和4為A0模態(tài)。

原始信號(hào)中包含兩種模態(tài)，使用單模態(tài)字典對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分離(見圖2)。

通過先前構(gòu)造的單模態(tài)字典可以很容易將A0模態(tài)和S0模態(tài)分離，通過圖2可以看出,A0模態(tài)已發(fā)生較為嚴(yán)重的頻散，使用非頻散字典對(duì)分離的模態(tài)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，可以較好地消除頻散。頻散消除前后的信號(hào)如圖3所示。

圖1 原始頻散信號(hào)

通過一系列的信號(hào)形成字典，之后再通過字典原子求解去匹配原始信號(hào)，最終獲得單模態(tài)和非頻散信號(hào)。

圖2 原始信號(hào)與模態(tài)分離后的信號(hào)

圖3 頻散消除前后信號(hào)

為了完全補(bǔ)償所有頻散模態(tài)，字典必須包含所有對(duì)應(yīng)的原子，否則頻散信號(hào)將被不完全補(bǔ)償。使用S0模態(tài)頻散字典重構(gòu),S0模態(tài)分量的頻散信號(hào)被恢復(fù)，而A0模態(tài)分量未被恢復(fù)，這是因?yàn)樵赟0模態(tài)字典中沒有A0模態(tài)對(duì)應(yīng)的原子，S0模態(tài)重構(gòu)信號(hào)如圖4所示?？傊岢龅幕趬嚎s感知的頻散補(bǔ)償模型不能處理字典不完整的情況。

圖4 S0模態(tài)重構(gòu)信號(hào)

3 結(jié)語

(1) 用具有已知傳播距離的單態(tài)響應(yīng)蘭姆波可以構(gòu)建頻散單模字典，有不同時(shí)移的激勵(lì)信號(hào)可以用于構(gòu)建非頻散字典。

(2) 所設(shè)計(jì)字典中的原子可以有效地匹配頻散多模Lamb波中的分量，信號(hào)可以在字典中稀疏表示。

(3) 與其他成像方法相比，Lamb波單模態(tài)分離及頻散消除方法更加簡(jiǎn)便，且很容易得到信號(hào)傳播距離和傳播時(shí)間的信息。