正交異性鋼橋面板焊縫強度的不確定性評估

庫照宇，薛齊文,2

(1．大連交通大學 土木工程學院，遼寧 大連 116028；2．大連理工大學 工業裝備結構分析重點實驗室，遼寧 大連116023)

正交異性橋面板是工程中較為特殊的承載結構，具有質量輕、強度高、經濟性能好等優點，被廣泛應用于鋼橋設計.該結構由縱、橫肋與蓋板共同組成，因縱肋與橫肋相互垂直，在批次垂直的方向上存在明顯的剛度差異，具有各向異性的特點.

近年來，鋼橋疲勞開裂問題成為鋼橋損壞的主要原因，尤其是正交異性橋面板承載結構的破壞，在設計階段應充分考慮相關問題[1-2].在進行設計時可通過有限元驗證該部件是否達到要求，但在有限元分析中各設計參數都是選取確定的值，而實驗中各參數卻存在著諸多不確定的因素，使得實驗結果與分析結果不完全一致[3].

目前對正交異性鋼橋面板的研究主要依靠實驗及有限元仿真的方法對結構強度、穩定性進行分析，直接對焊縫強度的不確定分析非常少.劉益銘，吉伯海等對面板縱肋與橫肋腹板連接處的疲勞性能及影響要素進行了討論，并評價了其疲勞性能[4-5].李枝軍等對縱肋與面板及橫梁量連接處以及橫梁腹板開孔邊緣的疲勞性能進行了分析[6].黃云等對正交異性板縱肋與橫肋腹板之間的焊接細節初始缺陷進行了研究，結合斷裂力學方法提出了焊接缺陷疲勞評估方法并驗證了該方法可行性和合理性[7].從上述研究可知，焊縫是該結構易出現疲勞裂紋的關鍵位置，且上述研究中均未考慮分析時關鍵設計參數的不確定對結論的影響.但在實際工程問題中，由于存在多種不確定因素導致實際與分析結果存在一定差異，對其進行強度評估時考慮設計參數不確定的影響，對預防焊縫破壞、保證橋梁正常使用具有重要意義.

針對不確定問題，概率理論、模糊理論以及區間理論是目前主要采用的三種分析理論，而證據理論是概率論的一種拓展[8]且在處理參數不確定性時具備明顯的優勢，可對概率、模糊、區間等不同分布的不確定性信息進行處理.但證據理論在實際應用中的關鍵難點是大規模計算，其計算代價不僅與所分析實際問題本質相關，還與證據理論模型問題維數和焦元數也直接相關，如何減少計算的規模一直是學者重點關注的問題.文獻表明DE演化算法與證據理論結合起來，可以明顯提升計算速度，大幅度縮短時間[9].響應面法[10]是采用多元多項式來描述輸入參量與輸出響應之間的復雜關系，將其與證據理論結合后能很好地替代實際問題的復雜有限元分析，以減少計算工作量.

鑒于上述各個方面的考慮，本文基于證據理論來解決設計參數不確定性問題，結合響應面法構建了有關焊縫強度評估的不確定性分析數值模式.所構建的強度評估不確定性數值模式有效性和可行性通過正交異性鋼橋面板焊縫結構焊接強度分析結果來予以驗證.通過設計參數在不同分布特性的數值分析結果對比可知，所構建的數值模式能有效地對焊縫結構疲勞強度進行評估，評估結果更能真實地反映實際現狀，更具有可信性.

1 正交異性鋼橋面板模型

以某長江大橋的正交異性鋼橋面板模型為對象[11](如圖1)，以文獻5中的工況對其進行分析如圖2，探討焊縫強度評估分析中的不確定性因素的特征.各主體部件如縱梁、橫梁、面板、底板等均以角焊縫連接，且焊縫是橋面板的主要傳力結構.

圖1 正交異性橋面板的殼單元模型

圖2 應力云圖

在橋面板結構設計過程中，因材料選取、荷載、幾何形狀、尺寸公差和制造工藝等不確定性因素的共同作用，造成了不確定性存在于幾乎所有設計參數中，但對于焊接結構強度產生影響的設計參數卻只有幾個關鍵的參數.針對具備不確定性參數的實際問題，在焊縫強度分析和設計中必須明確具有不確定性的關鍵參數，并分析關鍵設計參數的不確定性.根據有限元仿真分析可知，焊縫最大應力為323.6 MPa，其材料屈服強度為510 MPa滿足標準.依據有限元分析結果，可知在面板、縱肋與橫板間的焊縫受力較大，進而確定面板、縱肋和橫隔板厚度作為不確定參數，并以此不確定參數設計構建焊縫強度的不確定評估模型.

按照上述分析所選定的關鍵設計參數，參考Eurcode3、AASHTO和日本道路規范并分析多組正交異性破壞案例，確定以面板厚度、U肋厚度和頂板厚度作為不確定性設計參數.各不確定參數的取值在表1中列出，表中給出了三個不確定性參數的上下限取值以及均值.

表1 不確定設計參數的取值范圍 mm

對正交異性鋼橋面板進行強度分析的實質是分析焊縫的綜合剪切應力與焊接規范中的焊縫強度指標的關系，判定其是否滿足規范要求.在對焊縫強度進行評估時，首先要確定焊縫的強度指標.

對角焊縫進行應力分析時，建立有限元模型并可提取相應的Mises應力值.由于角焊縫參數是一系列的取值，不同的參數所對應的強度指標也不同，必將涉及系列參數所對應的復雜有限元分析.為避免多次反復的復雜計算，減少計算量，可采用響應面代理模型進行簡化從而提高計算效率.

利用二次不帶交叉項響應面來近似真實極限狀態，設定設計參數與輸出參數的回歸模型可寫為：

(1)

其中，n是輸入基本變量的維數，a0、ai、aii分別為常數項、一次項和二次項的待定系數，G(x)為真實極限狀態g(x)的響應面.

式(1)可以寫為如下矩陣形式

G=XC

(2)

其中，G為N維樣本點的函數值矢量，X為ns×nt矩陣：

(3)

(4)

2 基于證據理論的不確定性分析

證據理論是Dempster和Shafer提出并完善的一種可以滿足比概率論更弱的條件且能表達不確定和不知道的理論.對于上文已明確的具有不確定性的關鍵設計參數將采用證據理論對其進行分析.對于證據理論而言，識別框架、基本信任函數、信任函數和似然函數是該理論所涉及的主要表達要素，其分析結果與概率理論結果最接近，且對設計參數不確定性信息量的需求較少.

證據理論的基礎是識別框架，對于一個命題或者事件，包含所有可能結果的集合并且集合中的所有元素兩兩互不相容，這種集合就是識別框架，一般用Θ表示.

Θ={y1,y2，…，yi，…，yn}

(5)

證據理論中用基本可信度分配(BPA)來描述一個命題的可信度，其中基本概率函數m是從冪集到區間[0,1]的一個映射，其需要滿足以下三個條件：

(6)

其中m(A)為BPA，m(A)>0稱為焦元，m(A)反應了證據命題/事件A為真時的可信任程度.由上面公式可知，基本概率分配定義在冪集的任意函數上，不能對空集分配信任度且所有命題的可信度之和為1.

在很多情況下，信息的來源可能不統一，需要對來自多方面的信息進行整合形成針對命題的合成BPA.然而，迄今為止，證據合成仍然沒有一個統一的方法，文中采用Dempster法則，是最為經典的方法.假設從不同的來源得到關于同一個變量X的BPA分別為m1和m2，B和C分別表示m1和m2所對應的的命題，使用Demspter法則計算可信度分配如下：

(7)

(8)

其中，K表現信息不同來源間的沖突，沖突越大則K值越大，K=0則無沖突.

由于信息缺失的影響，不確定分析的區間結果要比單點的概率結果更為合理.對于一個命題X采用[Bel(X)Pl(X)]來表示對它的信任程度，并且Bel(X)和Pl(X)均為0～1之間的數，其中Bel和Pl分別為信任函數與似然函數.其數學表達式以及關系圖如圖3所示.

(9)

圖3 信任函數與似然函數關系

依靠證據理論對這些非同源的信息進行分析處理后，各參數的取值均以區間的形式體現，并給出各區間的信任度分配.在進行分析時，整個工作的一個重要環節就是輸入的不確定.參數區間經過分析模型函數傳播得到對應的計算響應區間.根據初始給定各參數的區間劃分，不確定的區間響應計算實際就是在對應的所有焦元區間上尋求極大值和極小值.對每個小焦元區間上求極值需要進行若干次抽樣得到，而抽樣的精度和抽樣次數相關，得到所有焦元區間上的響應就需進行大量的抽樣.為了提高計算效率，本文采用DE演化算法，將大量的抽樣工作進行優化分析，加快不確定在焦元區間內的傳播速度.

DE演化算法是一種新穎的智能算法，它結合了遺傳算法的更大種群概念和進化算法的自適應變異.這些特點使得DE演化算法具有簡單、快速、魯棒性好的特點.將DE演化算法和證據理論結合，可以顯著提升計算效率，具體過程見文獻[9].

3 焊縫的不確定性分析流程

在確定面板、縱梁和橫梁的厚度作為關鍵設計參數后，當這些參數的取值為不確定區間時，焊縫的Mises應力值不是一個單一確定的值，而是一個范圍.設計指標的取值范圍情況將與關鍵設計參數的不確定性程度密切相關.

針對這些不確定性參數，進行不確定性分析的相關步驟可分以下幾步：

(1)不確定設計參數的選??；

(2)不確定參數識別框架的構建；

(3)不確定參數焦元區間的確定；

(4)每個焦元基本信任函數的確定；

(5)代理模型的構建；

(6)每個焦元的區間響應邊界計算；

(7)基本函數計算.

對于實際中的設計參數，其不確定性特征存在兩種可能，一方面是認知不確定，另一方面是偶然不確定.對不確定參數給定條件時，其焊縫強度條件不再是一個固定的取值，而是具有不確定特征的區間.在進行焊縫強度分析時，應根據關鍵設計參數的不確定性分布水平，結合證據理論以及分析方法，按照上述分析步驟，對焊縫強度評估中評定條件存在的不確定性特征進行分析和探討.

4 數值算例

根據上文分析可知，對正交異性橋面板進行不確定性分析的關鍵設計參數為面板、縱梁和橫梁的厚度.為了更準確的評估設計參數對焊縫強度的影響，排除偶然因素的干擾，分別采用正交實驗設計和D-最優化實驗設計構建實驗樣本，對其模型進行仿真分析.

圖4 不確定分析流程圖

統一給定各設計參數的最大值和最小值范圍，考慮3個關鍵設計參量均為認知不確定的情況，為簡化計算均采用均勻分為兩個區間的情況，如表2、圖4所示.

表2 2個區間表示的變量

算例1正交實驗設計結果

根據上述分析，將面板、U肋、橫梁厚度作為不確定性設計參數，根據正交優化實驗設計的思想設計樣本，如表3所示.

表 3 正交樣本設計 mm

為了更好地了解不確定設計參數對焊縫強度的影響，選取兩個位置的應力極值進行對比研究.根據響應面法可以構建兩個危險點處有關焊縫強度的代理模型，分別為式10、11.對其誤差進行評估，其最大誤差為3.41%，故該代理模型可以表征設計參數與響應之間的關系.詳細誤差如圖5.

W1=335.14-22.701×A-2.3696×

B+23.394×C+0.41014×

A2+0.03686×B2-0.912×C2

(10)

W2=1101.3+3.7474×A-31.365×

B-71.934×C-0.07243×

A2+1.0501×B2+1.9326×C2

(11)

圖5 代理模型的誤差圖

為更清晰地了解到不確定性參數的影響，取危險點及相鄰兩個點作為樣本，其應力大小見圖6.

(a) 危險點1

(b) 危險點2圖6 正交樣本應力圖

由圖6可知，不同位置的焊縫受參數變化的影響也不同，其中危險點1位于U肋與面板交接處，主要受面板及U肋厚度的影響，故整體呈現下降趨勢.綜上可知整體趨勢為應力值大小與設計參數成反比，即面板、U肋及橫板的厚度越大，焊縫處的應力越小.

表4 證據理論分析結果

(a) 危險點1

(b) 危險點2圖7 正交樣本累積信任函數與似然函數

采用證據理論分析可以得到滿足條件的信任函數與似然函數以及焊縫強度的期望區間與具有95%保證概率的應力區間，如表4、圖7所示.

由表4可知95%保證概率的應力區間為[299.6,339.2]，小于材料屈服強度510 MPa，說明在該設計參數區的焊縫符合要求.

算例2D最優實驗設計結果

根據上述分析，將面板、U肋、橫梁厚度作為不確定性設計參數，根據D-最優化實驗設計的思想設計樣本，如表5所示.

表5 D最優化實驗設計 mm

為了更好地了解不確定設計參數對焊縫強度的影響，選取兩個位置的應力極值進行對比研究.根據響應面法可以構建有關焊縫強度的代理模型，分別為式(12)、(13).對其誤差 進行評估，其最大誤差為3.35%，故該代理模型可以表征設計參數與響應之間的關系.詳細誤差如圖8.

W3=568.30-25.912×A-4.3963×

B-5.5156×C+0.61593×A2+

0.12219×B2+0.08292×C2

(12)

W4=393.12+9.5442×A-7.2767×

B-3.4588×C-0.47688×

A2+0.19313×B2-0.30583×C2

(13)

圖8 代理模型誤差圖

為更清晰地了解到不確定性參數的影響，取危險點及附近兩個點作為樣本，其Mises應力大小見圖9.對圖9分析可知，設計參數的變化對應力大小的影響明顯，即模型敏感度較高，不確定性參數的選取較好.

(a) 危險點1

(b) 危險點2圖9 D最優化樣本應力

表6 證據理論分析結果

采用證據理論分析可以得到滿足條件的信任函數與似然函數以及焊縫強度的期望區間與具有95%保證概率的應力區間，如表6、圖10所示.

(a) 危險點1

(b) 危險點2圖10 D-最優化樣本的累積信任函數與似然函數

由圖表可知，95%保證概率的應力區間最大為[298.8,338.6] MPa,小于屈服強度510 MPa，說明在該設計參數區間的焊縫符合要求.

根據上文分析，討論在認知不確定情況下焊縫的強度，兩個算例采用不同方法構建樣本模型，并根據證據理論對其進行分析.對比分析表4和表6可知，采用正交設計和D最優設計構建的不同樣本在使用證據理論進行不確定性分析時，其結果基本一致.通過圖5、8對比分析可知，D最優化方法構建的樣本在進行不確定性分析時，其累積Bel和Pl更加合理.

綜上可知，正交設計樣本與D最優設計樣本在不確定分析中的數值結果基本一致，但在累積Bel與Pl圖中，D最優樣本更合理，即在不確定分析的樣本構建宜采用D最優設計方法.

5 結論

(1)針對正交異性鋼橋面板焊縫參數的不確定，建立了不確定性數值分析模式，可利用較少的參數信息進行焊縫不確定評估，獲取焊縫的強度分布結果并以區間形式表現，更符合實際；

(2)由文中算例可知，對比不同樣本分析結果，在進行正交異性板焊縫不確定性分析時，其樣本構建宜采用D最優化設計方法；

(3)由文中算例可知，在進行不確定性分析時，將證據理論結合DE演化算法，可快速計算以提高計算速度，有望進一步應用于多個參數的結構強度不確定分析.