光滑時變約束轉(zhuǎn)子動力特性分析

劉棣，李超，馬艷紅，洪杰

（北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京 100083）

Abstract：The smooth time-varying constraint is a mechanical effect of continuous contact produced by the rubbing between rotor and stator，in which the periodic time-varying constraint is applied to the rotor.The additional stiffness curve caused by contact between the stator and the rotor is a smooth and derivable function with time.A smooth time-varying constraint model is established based on the orbit of rotor in experiment，and the modal frequency，stability and response of rotor system with smooth time-varying constraint are analyzed based on the Hill method，which provides an analysis frame for the fault identification and stability analysis of the rubbing rotor.The research results show that the rotor with smooth time-varying constraint has the characteristics of frequency coupling，multi-frequency and instability.In the unstable speed region，the amplitude of the rotor gradually increases with time.The frequency component that causes the instability of the rotor system is the frequency component whose real part of eigenvalue is greater than 0 in the rotor modal analysis.In the stable speed region，the rotor＇s frequency response is mainly the frequency combination composed of speed frequency and contact frequency.

Keywords：smooth time-varying；rotor；modal characteristics；stability；response

碰摩是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中一種常見故障，可以根據(jù)轉(zhuǎn)子的碰摩形式分為全周碰摩［1-2］、局部碰摩［3-5］及干摩擦反向渦動［6-8］。其中，全周碰摩、局部碰摩在航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中最為常見。

Muszynska［9］指出，碰摩發(fā)生時轉(zhuǎn)靜子之間同時存在摩擦、沖擊、扭轉(zhuǎn)和剛度耦合4種效應(yīng)。當(dāng)發(fā)生全周碰摩時，摩擦效應(yīng)占主導(dǎo)地位；而發(fā)生局部碰摩時，沖擊效應(yīng)占主導(dǎo)地位。全周碰摩狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子與靜子始終保持接觸狀態(tài)，且一般靜子對轉(zhuǎn)子的約束作用是恒定的。Choi［10］通過建立碰摩試驗裝置分析了全周碰摩的產(chǎn)生機理。局部碰摩狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子的部分弧段與靜子發(fā)生碰摩，對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生復(fù)雜的力學(xué)效果，包括沖擊、摩擦及靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生附加剛度，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高度非線性［11］。Sinha［12］通過顯示積分算法研究了葉尖與機匣發(fā)生局部碰摩所產(chǎn)生的周期沖擊載荷對懸臂Timoshenko梁的響應(yīng)特性。Dai等［13］通過數(shù)值方法研究了飛輪轉(zhuǎn)子與制動裝置發(fā)生碰摩所產(chǎn)生的非線性振動響應(yīng)，通過簡諧激勵模擬碰摩時靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的低頻擾動，利用庫倫摩擦模型和分段線性彈簧來模擬轉(zhuǎn)靜子之間的接觸狀態(tài)，研究表明隨著激振力的增加，局部碰摩會發(fā)展為反向渦動，降低制動裝置的效果。Wang等［14］以懸臂轉(zhuǎn)子為研究對象，分析了局部碰摩轉(zhuǎn)子運動過程，建立了對應(yīng)的周期時變系數(shù)方程并通過試驗研究了局部碰摩轉(zhuǎn)子的響應(yīng)特性。Abuzaid等［15］通過實驗和數(shù)值分析的方法研究了局部碰摩下不同碰摩程度對轉(zhuǎn)子動力特性的影響，輕微碰摩使轉(zhuǎn)子出現(xiàn)1倍、2倍、3倍轉(zhuǎn)速頻率，嚴重碰摩使轉(zhuǎn)子出現(xiàn)1／3、2／3轉(zhuǎn)速頻率，同時碰摩使得轉(zhuǎn)子的固有頻率增加。Goldman和Muszynska［16］分析了局部碰摩轉(zhuǎn)子的動力特性，獲得轉(zhuǎn)子諧波頻率、次諧波頻率及混沌的運動特征。局部碰摩過程中，轉(zhuǎn)子與靜子發(fā)生接觸碰撞-反彈分離，靜子結(jié)構(gòu)會對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生周期性的附加約束作用，其附加約束剛度由轉(zhuǎn)靜子的接觸狀態(tài)決定，對時間求導(dǎo)是不連續(xù)的，將其稱為非光滑約束作用。Hong等［17］建立了由碰摩時間、沖擊頻率、約束剛度幅值3個參數(shù)所決定的非光滑約束模型，分析得到轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率、穩(wěn)定性特征。相比非光滑約束轉(zhuǎn)子，靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的周期時變約束作用，且靜子與轉(zhuǎn)子保持持續(xù)接觸狀態(tài)，其附加約束剛度隨時間變化曲線是一條光滑可導(dǎo)的函數(shù)，將該約束作用稱為光滑時變約束。光滑時變約束兼具全周碰摩轉(zhuǎn)靜子持續(xù)接觸特征和局部碰摩的周期時變特性，是一種特殊的碰摩形式。

本文根據(jù)試驗中轉(zhuǎn)子的附加剛度曲線建立一種光滑時變約束模型，并分析該約束下轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性、穩(wěn)定性及響應(yīng)特性，為碰摩轉(zhuǎn)子故障識別和穩(wěn)定性分析提供一種分析途徑。

1 光滑時變約束轉(zhuǎn)子

根據(jù)轉(zhuǎn)子在光滑時變約束下的附加剛度曲線建立光滑時變約束模型，推導(dǎo)動力學(xué)方程并建立相應(yīng)的模態(tài)分析方法。

1.1 光滑時變約束模型

圖1為Hong等［17］所設(shè)計的懸臂轉(zhuǎn)子碰摩模型。在懸臂端處，轉(zhuǎn)子軸套與限位環(huán)發(fā)生碰摩，限位環(huán)模擬機匣結(jié)構(gòu)，其機匣剛度主要由圖2所示金屬橡膠的剛度決定，進而得到不同機匣剛度下，轉(zhuǎn)子附加約束剛度隨時間的變化曲線，如圖3所示。根據(jù)圖3附加約束剛度隨時間的變化曲線，可以將靜子對轉(zhuǎn)子的約束作用分為非光滑約束和光滑時變約束。

圖1 碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗器［17］Fig.1 Rub-impact test device of rotor system［17］

圖2 靜子碰摩試驗裝置Fig.2 Rub-impact test device of stator

圖3 不同機匣剛度下約束剛度隨時間變化Fig.3 Constraint stiffness changing with time with different case stiffness

對于非光滑約束（如圖3曲線l3、l4所示），靜子對轉(zhuǎn)子的約束作用是不連續(xù)的，且具有周期變化特征。Hong等［17］將非光滑約束的力學(xué)效果提煉為時變剛度knon-smooth隨時間t的變化，主要包含3個關(guān)鍵物理參數(shù)：碰摩時間α、沖擊頻率β、約束剛度幅值?ks，進而建立非光滑約束模型，如式（1）所示。其中，碰摩時間α為轉(zhuǎn)靜子接觸時間與碰摩周期的比值；沖擊頻率β＝Tr／Trotation為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周發(fā)生碰摩的次數(shù)，Tr為發(fā)生一次沖擊反彈所需時間，Trotation為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周所需時間；約束剛度幅值?ks為轉(zhuǎn)靜子侵入量達到最大時刻靜子對轉(zhuǎn)子的附加剛度。

根據(jù)式（1）繪制約束剛度隨時間的變化曲線，如圖4所示。值得注意的是，該模型不失一般性地將沖擊頻率與轉(zhuǎn)速頻率的比值作為變量去考慮，分析其變化規(guī)律對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)特性的影響。此外，針對非光滑約束的研究中，文獻［11］考慮單點碰摩狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特性，此時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩頻率與轉(zhuǎn)速頻率一致。

圖4 非光滑時變剛度曲線Fig.4 Non-smooth stiffness curves

對于光滑時變約束（如圖3曲線l1、l2所示），靜子對轉(zhuǎn)子的約束作用具有連續(xù)、波動、時變特征，類似簡諧函數(shù)。將該光滑時變周期約束的力學(xué)效果提煉為3個關(guān)鍵物理參數(shù)，即平均剛度km、波動剛度kh、波動頻率ωk＝2π／Tk（Tk為波動周期），進而建立光滑時變約束模型，如式（2）所示：

根據(jù)式（2）繪制約束剛度隨時間的變化過程，如圖5所示。

1.2 動力學(xué)方程

Hong等［17］建立的運動學(xué)方程僅分析靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的徑向約束作用，然而轉(zhuǎn)靜子因持續(xù)接觸摩擦產(chǎn)生的周向約束同樣會影響轉(zhuǎn)子的動力特性，因此，建立綜合考慮徑向、周向光滑時變約束作用的Jeffcott轉(zhuǎn)子運動方程。Jeffcott轉(zhuǎn)子模型如圖6所示，轉(zhuǎn)子由質(zhì)量忽略不計的軸段和跨中圓盤組成，軸中間位置剛度為k，圓盤質(zhì)量為m，阻尼為c，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為ω，偏心距為e。

圖6 局部碰摩轉(zhuǎn)子模型Fig.6 Rotor model with local rub-impact

當(dāng)轉(zhuǎn)子受到光滑時變約束作用時，會受到來自于靜子2個方向的作用力，即徑向力Fn和周向摩擦力Fτ。

徑向力Fn的表達式為

進而得到慣性系數(shù)歸一化動力學(xué)方程：

式中：ξ為轉(zhuǎn)子阻尼比；ωn為轉(zhuǎn)子固有頻率；κ＝km／k為光滑時變周期約束平均剛度與轉(zhuǎn)子軸段剛度比值，簡稱“平均剛度比”；η＝kh／k為光滑時變周期約束波動剛度與轉(zhuǎn)子軸段剛度比值，簡稱“波動剛度比”。值得注意的是，應(yīng)滿足κ＞η，即靜子不會對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生負剛度。

進一步將式（6）寫為如下矩陣形式：

1.3 模態(tài)分析方法

去掉式（7）中等式右邊的不平衡激勵項，得到光滑時變約束轉(zhuǎn)子模態(tài)方程式（8），該方程為周期時變系數(shù)方程，可以通過Hill無窮行列式理論進行求解，以預(yù)測結(jié)構(gòu)在外部激勵下的實際振動響應(yīng)。

式中：Kt＝Kc／2。

上述線性周期時變系統(tǒng)方程的解形式如下：

式中：λ為周期時變系統(tǒng)的特征值；?為“類模態(tài)”向量，類模態(tài)向量具有周期時變性，且時變周期與方程中時變系數(shù)的周期相同，Tk＝2π／ωk。

可以將“類模態(tài)”向量?進行傅里葉展開，形式如下：

方程左右兩邊相同指數(shù)項的系數(shù)相加為0，則得到代數(shù)方程構(gòu)成的方程組：

根據(jù)Hill無窮行列式的收斂定理，對類模態(tài)向量的幅值具有顯著貢獻的傅里葉展開階次的數(shù)量是有限的，因此對式（13）選取適當(dāng)?shù)慕財嚯A次jmax，可以近似得到原時變周期系統(tǒng)的模態(tài)解。另外，根據(jù)式（13），類模態(tài)各個階次的模態(tài)向量中，僅相鄰階次模態(tài)向量之間存在耦合關(guān)系。此時，若要保證類模態(tài)第j階階次模態(tài)向量的求解精度，截斷階次的最小取值為jmax＝j(luò)＋1。

式（13）可以進一步寫成Hill特征值求解問題：

式中：

值得說明的是，根據(jù)式（15）獲得的特征頻率數(shù)量遠高于相同維數(shù)的時不變線性系統(tǒng)，可以證明，基于Hill行列式法獲得的特征頻率按照頻率簇的形式分布：

式中：ωn0為系統(tǒng)第n階類模態(tài)向量?n的基礎(chǔ)頻率，稱為第n階基礎(chǔ)模態(tài)頻率；ωnj為第n階類模態(tài)向量?n的第j階傅里葉展開階次模態(tài)向量對應(yīng)的頻率，稱為第j階階次分量頻率。階次模態(tài)頻率與主模態(tài)頻率之差為系統(tǒng)時變頻率的整數(shù)倍，是由系統(tǒng)時變參數(shù)產(chǎn)生。另外，主模態(tài)頻率與傳統(tǒng)線性系統(tǒng)的模態(tài)頻率相對應(yīng)，在分析中需要重點關(guān)注。

對于任一階模態(tài)，其穩(wěn)定性條件如下：

如果類模態(tài)的所有階次模態(tài)分量所對應(yīng)的特征頻率實部均小于0，則該階類模態(tài)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。

2 動力特性分析

根據(jù)第1節(jié)所建立的Jeffcott轉(zhuǎn)子方程及模態(tài)分析方法，分析光滑時變約束轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性與響應(yīng)特性。

2.1 模態(tài)特性

暫不考慮阻尼影響，設(shè)定Jeffcott轉(zhuǎn)子參數(shù)ξ＝0、ωn＝1 rad／s、κ＝2、η＝1.5、ζ＝1.7（ζ＝ωk／ωn表示光滑時變約束波動頻率與轉(zhuǎn)速頻率之比，簡稱“頻率比”）、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉(zhuǎn)子在不同摩擦系數(shù)μ下的模態(tài)特性，如圖7所示。計算結(jié)果表明：

1）轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率具有多頻特性，其模態(tài)頻率不僅包含基礎(chǔ)模態(tài)頻率成分ω0，還包含＋1、－1階模態(tài)頻率成分ω＋1、ω－1。在部分轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)0頻區(qū)和頻率耦合區(qū)，其中基礎(chǔ)模態(tài)頻率與－1階模態(tài)頻率發(fā)生頻率耦合。摩擦系數(shù)μ能夠弱化頻率耦合效果，如圖7（a）所示，μ＝0，基礎(chǔ)模態(tài)頻率與－1階模態(tài)頻率耦合明顯；如圖7（b）和（c）所示，隨著μ的逐漸增加，頻率耦合效果逐漸減弱。

2）圖7（d）所示轉(zhuǎn)子模態(tài)阻尼具有2個明顯的失穩(wěn)區(qū)A、B，區(qū)域A為次模態(tài)失穩(wěn)區(qū)，為圖7（a）的0頻特征值實部大于0所致；區(qū)域B為主模態(tài)失穩(wěn)區(qū)，為圖7（a）的基礎(chǔ)模態(tài)頻率與－1階模態(tài)頻率特征值實部大于0所致。當(dāng)摩擦系數(shù)μ大于0，如圖7（e）和（f）所示，轉(zhuǎn)子從局部失穩(wěn)轉(zhuǎn)變成全局失穩(wěn)，即在全轉(zhuǎn)速域中都存在特征值實部大于0，且隨μ增加失穩(wěn)程度越明顯。

圖7 摩擦系數(shù)對模態(tài)特性的影響Fig.7 Influence of friction coefficient on modal characteristics

不考慮阻尼和摩擦系數(shù)的影響，設(shè)定Jeffcott轉(zhuǎn)子參數(shù)ξ＝0、μ＝0、ωn＝1、κ＝2、ζ＝1.7（頻率比）、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉(zhuǎn)子在不同波動剛度比η下的模態(tài)特性，如圖8所示，計算結(jié)果表明，波動剛度比η對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻率耦合特性和穩(wěn)定性有顯著影響。當(dāng)η＝0，靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生恒定的約束作用，約束不再具有周期時變特性，該狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不具有頻率耦合特性，且不存在失穩(wěn)區(qū)。當(dāng)η逐漸增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的0頻區(qū)和頻率耦合區(qū)逐漸擴張，失穩(wěn)區(qū)逐漸擴張。波動剛度比η對非失穩(wěn)區(qū)域轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率的影響不顯著，增大剛度比不會增大轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)模態(tài)頻率。

圖8 波動剛度比對模態(tài)特性的影響Fig.8 Influence of wave stiffness ratio on modal characteristics

不考慮阻尼和摩擦系數(shù)的影響，設(shè)定Jeffcott轉(zhuǎn)子參數(shù)μ＝0、ξ＝0、ωn＝1 rad／s、η＝1.5、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉(zhuǎn)子在相同平均剛度比（κ＝2）、不同頻率比ζ下的模態(tài)特性，如圖9所示。同時得到在相同頻率比ζ＝1.7、不同平均剛度比κ的模態(tài)特性，如圖10所示。

圖9 頻率比對模態(tài)特性的影響Fig.9 Influence of frequency ratio on modal characteristics

圖10 平均剛度比對模態(tài)特性的影響Fig.10 Influence of average stiffness ratio on modal characteristics

進一步分析阻尼對光滑時變轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響，設(shè)定Jeffcott轉(zhuǎn)子參數(shù)η＝1.5、μ＝0.2、ωn＝1、κ＝2、ξ＝0.2、ζ＝1.7（頻率比）、jmax＝2，得到模態(tài)頻率、特征值實部隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，分別如圖11（a）、圖11（b）所示。計算結(jié)果表明，阻尼對模態(tài)頻率影響不顯著，對轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性影響顯著。特征值實部曲線在圖7（f）基礎(chǔ)上整體下移0.2，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性從全局失穩(wěn)變成局部區(qū)域B失穩(wěn)。

圖11 阻尼對模態(tài)特性的影響Fig.11 Influence of damping on modal characteristics

進一步將阻尼參數(shù)ξ增加至0.3，得到特征值實部隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，如圖11（c）所示，計算結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子在0～3 rad／s轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)特征值實部均小于0，未發(fā)生失穩(wěn)。

綜上，可以得到光滑時變約束模型中各參數(shù)對轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響規(guī)律，其中，摩擦系數(shù)、波動剛度比、阻尼對轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性有顯著影響，其中摩擦系數(shù)會引起轉(zhuǎn)子全局失穩(wěn)，波動剛度比會引起轉(zhuǎn)子的頻率耦合、局部失穩(wěn)，適當(dāng)增加轉(zhuǎn)子阻尼會消除轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)區(qū)。平均剛度比和頻率比對轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)的分布有顯著影響。此外，平均剛度比是基礎(chǔ)模態(tài)頻率的敏感參數(shù)，其大小表征了靜子結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子的約束強度。

2.2 響應(yīng)特性

Hong等［17］僅分析了非光滑約束轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性，未通過響應(yīng)分析進行驗證。本節(jié)進一步通過計算不平衡激勵下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)來對光滑時變約束轉(zhuǎn)子的多頻、失穩(wěn)特性進行驗證。

在圖11（b）參數(shù)基礎(chǔ)上設(shè)定轉(zhuǎn)速為2 rad／s，偏心距e＝0.5 mm。利用Newmark-β方法計算式（7），得到在x方向轉(zhuǎn)子位移隨時間變化過程和頻率成分，如圖12（a）和（b）所示。計算結(jié)果表明，失穩(wěn)區(qū)內(nèi)轉(zhuǎn)子的振幅隨時間不斷增加，頻率成分主要為基礎(chǔ)模態(tài)頻率ω0、＋1階模態(tài)頻率ω＋1、－1階模態(tài)頻率ω－1，驗證了光滑時變周期轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的多頻特性。同時可以看出，轉(zhuǎn)子的幅值隨時間不斷增加，發(fā)生失穩(wěn)。為進一步分析轉(zhuǎn)子失穩(wěn)機理，通過小波變換計算得到頻率成分隨時間的變化過程，如圖12（c）所示。計算結(jié)果表明，隨著時間的增加，基礎(chǔ)模態(tài)頻率成分ω0不斷發(fā)散，成為影響轉(zhuǎn)子發(fā)生失穩(wěn)的主要因素。上述模態(tài)分析表明，基礎(chǔ)模態(tài)頻率成分ω0特征值實部大于0，是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)散的本質(zhì)原因。

圖12 失穩(wěn)區(qū)轉(zhuǎn)子響應(yīng)特性Fig.12 Response characteristics of rotor in unstable region

將轉(zhuǎn)速改為1.5 rad／s，得到非失穩(wěn)區(qū)域轉(zhuǎn)子盤心的運動軌跡和在x方向的頻率成分，如圖13所示。計算結(jié)果表明，在靜子的光滑時變約束下，轉(zhuǎn)子的運動軌跡具有花瓣特征，頻率成分為轉(zhuǎn)速頻率ω和波動頻率ωk所構(gòu)成的頻率組合。其中ωk－ω、ω頻率成分占主要影響。

圖13 非失穩(wěn)區(qū)轉(zhuǎn)子響應(yīng)特性Fig.13 Response characteristics of rotor in stable region

在圖13參數(shù)的基礎(chǔ)上，計算得到不同頻率比ζ下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動軌跡、光滑時變剛度曲線和頻域成分，如圖14所示。計算結(jié)果表明，當(dāng)頻率比ζ從1.3增加至1.9，波動頻率ωk＝ζωn從1.95 rad／s增加至2.85 rad／s，頻率成分ωk－ω從0.45 rad／s增加至1.35 rad／s，ωk－ω逐漸接近轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)頻率，導(dǎo)致該頻率所對應(yīng)的幅值不斷增加，轉(zhuǎn)子軌跡從圓環(huán)形轉(zhuǎn)變成花瓣形；當(dāng)頻率比ζ從1.9增加至2.7，波動頻率ωk＝ζωn從2.85 rad／s增加至4.05 rad／s，頻率成分ωk－ω從1.35 rad／s增加至2.25 rad／s，ωk－ω逐漸遠離轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)頻率，該頻率所對應(yīng)的幅值不斷下降，轉(zhuǎn)子軌跡從花瓣形轉(zhuǎn)變成圓環(huán)形。此外，不同頻率比對應(yīng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻率分布規(guī)律一致，可以為光滑周期時變約束轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩故障診斷提供參考。

圖14 不同頻率比下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)Fig.14 Rotor system response with different frequency ratios

2.3 模型應(yīng)用

本節(jié)進一步從光滑時變約束模型角度分析經(jīng)典Jeffcott碰摩模型的響應(yīng)特性，該經(jīng)典Jeffcott碰摩模型被文獻［8，18］廣泛采用，如圖15所示。轉(zhuǎn)子由質(zhì)量忽略不計的軸段和跨中圓盤組成，軸中間位置剛度為k，圓盤質(zhì)量為m，質(zhì)量偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為ˉω；靜子為彈性支承的無質(zhì)量剛性環(huán)，支承剛度為kc，剛性環(huán)與轉(zhuǎn)子表面接觸時的摩擦系數(shù)為μ；轉(zhuǎn)靜子初始間隙為r0，其推導(dǎo)過程參見附錄A。

圖15 Jeffcott轉(zhuǎn)子碰摩的物理模型Fig.15 Physical rub-impact model of Jeffcott rotor

給定計算參數(shù)如下：ξ＝0.05，γ＝0.04，R0＝1.05，μ＝0.15，Rdisk＝20r0（Rdisk為轉(zhuǎn)子幅值），轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速范圍ω取0～1。利用Newmark-β數(shù)值積分方法掃頻得到不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)幅值及分叉圖，如圖16所示。

圖16 經(jīng)典Jeffcott轉(zhuǎn)子碰摩模型響應(yīng)特性Fig.16 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model

計算結(jié)果表明，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于0.16時，轉(zhuǎn)子振幅小于間隙，轉(zhuǎn)靜件未發(fā)生碰摩；當(dāng)轉(zhuǎn)速高過該值時，轉(zhuǎn)靜件發(fā)生碰摩，但在不同轉(zhuǎn)速下具有不同的碰摩形式，轉(zhuǎn)速0.16～0.40范圍，轉(zhuǎn)子處于轉(zhuǎn)靜子持續(xù)接觸狀態(tài)；轉(zhuǎn)速0.40～0.58范圍，轉(zhuǎn)子處于局部碰摩狀態(tài)；轉(zhuǎn)速超過0.58時，轉(zhuǎn)子發(fā)生反向渦動。

以持續(xù)碰摩接觸狀態(tài)（ω＝0.38）為例，分析運動軌跡、約束剛度曲線和頻域成分，如圖17所示。約束剛度曲線須根據(jù)轉(zhuǎn)子的運動軌跡并結(jié)合式（18）得到：

圖17 光滑時變約束轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率Fig.17 Modal frequency of smooth time-varying constrained rotor system

式中：k1為光滑時變約束剛度；k2為機匣剛度；r1為轉(zhuǎn)靜子間隙；q為轉(zhuǎn)子幅值。計算結(jié)果表明，持續(xù)碰摩過程中，轉(zhuǎn)子與靜子持續(xù)接觸，靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生周期時變的約束作用，其頻率分布與圖14光滑時變約束轉(zhuǎn)子模型頻率分布一致。

選取反向渦動狀態(tài)ω＝0.8，計算得到運動軌跡、約束剛度曲線和頻域成分，如圖18所示。計算結(jié)果表明，反向渦動過程中，轉(zhuǎn)子與靜子持續(xù)接觸，靜子對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生微小的周期時變約束作用。頻域分析表明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要由2個頻率成分決定，分別為轉(zhuǎn)速頻率成分ω和ω′。ω′可以通過光滑時變約束轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率方法分析，首先根據(jù)圖18（b）剛度曲線得到光滑時變約束轉(zhuǎn)子關(guān)鍵參數(shù)：平均剛度km、波動剛度kh、波動頻率ωk＝2π／Tk，然后根據(jù)光滑時變轉(zhuǎn)子的定義，建立經(jīng)典Jeffcott碰摩轉(zhuǎn)子參數(shù)與光滑時變轉(zhuǎn)子參數(shù)對應(yīng)關(guān)系，進而得到：ξ＝0.05、ωn＝0.2 rad／s、κ＝25、η＝0.2、ζ＝1.5、jmax＝2。計算光滑時變約束轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率，如圖19所示。計算結(jié)果表明，ω′為無量綱轉(zhuǎn)速0.8所對應(yīng)的基礎(chǔ)頻率。

圖18 經(jīng)典Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)ω＝0.38轉(zhuǎn)速響應(yīng)特性Fig.18 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model with rotational speedω＝0.38

圖19 經(jīng)典Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)ω＝0.8轉(zhuǎn)速響應(yīng)特性Fig.19 Speed response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model withω＝0.8

3 結(jié) 論

分析了轉(zhuǎn)子在光滑時變約束下的動力特性，得到以下結(jié)論：

1）模態(tài)分析中，光滑周期時變系統(tǒng)具有多頻、頻率耦合、失穩(wěn)的特性，其中波動剛度比是引起轉(zhuǎn)子頻率耦合、局部失穩(wěn)的首要影響因素；轉(zhuǎn)靜子摩擦系數(shù)使頻率耦合弱化，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)從局部失穩(wěn)轉(zhuǎn)變成全局失穩(wěn)。阻尼能夠顯著影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)增加適當(dāng)阻尼可以消除失穩(wěn)區(qū)。平均剛度比和頻率比對轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)的分布有顯著影響。平均剛度比表征了靜子結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子的約束強度。

2）響應(yīng)分析中，光滑周期時變系統(tǒng)能夠有效驗證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多頻、失穩(wěn)等特征，增加波動頻率會使轉(zhuǎn)子的幅值增加。非失穩(wěn)區(qū)的頻率成分主要為轉(zhuǎn)速頻率和波動頻率構(gòu)成的頻率組合，其分布形式可以為碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障診斷提供參考。

3）光滑時變約束模型能夠解釋傳統(tǒng)碰摩模型在持續(xù)接觸狀態(tài)和反向渦動狀態(tài)所體現(xiàn)的頻率成分及分布規(guī)律，說明光滑時變約束轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在分析轉(zhuǎn)子碰摩方法具有一定的應(yīng)用價值。

附錄A