準零剛度隔振系統自適應控制

陳旭超，刁愛民，楊慶超，柴 凱

(1.海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學 艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

艦船機械設備的穩定運轉是產生機械振動的主要因素之一，為了減小機械設備的振動幅度，一般采用在基礎與被隔振物體之間設置隔振器。準零剛度隔振系統因其特有的高靜低動剛度特性在減振降噪方面應用廣泛，在參數設置理想的情況下能展現出很好的隔振性能，而且相比傳統線性隔振器，其在低頻隔振領域應用廣泛。然而在實際工程中，受環境等因素的影響，系統元器件的參數會發生一定的改變，對這些參數的變化并非能夠隨時隨地的掌握。與此同時，準零剛度隔振系統屬于非線性系統，含有三次方項，參數的改變可能使系統從小振幅運動狀態變換到大振幅運動狀態，不利于機械設備的正常工作。設計一種控制器，使準零剛度隔振系統在參數發生擾動的情況下仍然能夠控制被隔振設備運行在小振幅運動狀態是本文研究的主要內容。

自適應控制經過近幾年的發展，能很好地融入到各種控制系統并取得很好的控制效果，梁翠香等[1]將其應用在Qi系統的混沌控制，在參數受到較大擾動的情況下仍使系統保持漸近穩定。陳學菲等[2]將其應用在參數不確定的非自治混沌系統，并證明了誤差系統是指數穩定的。程春蕊等[3]基于自適應滑模控制方法，對非線性混沌系統在模型不確定和外部擾動的情況下的同步問題進行研究，得到一類帶有模型不確定性和外部擾動項的整數階及分數階非線性混沌系統的同步。劉梓豪[4]基于SD振子理論，建立一種載荷自適應的準零剛度隔振系統，解決了振動過程中載荷質量變化的問題。姚立強[5]針對一類隨機非線性系統，引入輔助子系統設計控制器，并驗證了控制策略的有效性和可行性。李國軍等[6]提出了一種帶有修正偏差功能的自適應控制策略，解決了控制過程中的顫振問題。

本文延續自適應控制算法在非線性控制領域的廣泛應用，針對兩自由度準零剛度隔振系統參數受到擾動的情況，首先對隔振系統進行動力學建模得到系統的動力學方程，對系統的動力學特性進行分析，利用數值仿真的方法得到系統的分岔圖，然后設計基于系統變量為觀測量的參數自適應控制器，并利用直接方法證明受控系統的全局穩定性。最后通過數值仿真證明所設計的控制器的有效性。

1 兩自由度準零剛度隔振系統建模

兩自由度準零剛度隔振系統一階形式無量綱動力學微分方程[7]為：

其中：X=[x1,y1,x2,y2]T∈R4為系統的狀態向量；參數γ，f， ω ，w，k2， ξi(i=1,2)均為正實數。

2 動力學特性數值分析

對系統剛度k2的分岔特性展開研究，設定系統參數 γ =2，f=6.8， ξi=0.1，w=0.5， 初 始 狀 態 向 量（位移、速度）選擇X=[0,0,0,0]T。在艦船機械設備中，系統的振動是通過基座向外部傳遞，選取基座的位移進行分岔分析，通過數值計算得到當k2為分岔參數時的局部分岔圖如圖1所示。

圖1 k2為分岔參數時的局部分岔圖Fig.1 k2 is a local bifurcation diagram with bifurcation parameters

圖1表明當 0 ＜k2＜1.92時，系統處于漸近穩定狀態，處于周期運動，且基座的振幅隨參數的增大逐漸增大，當k2=1.92時系統發生Hopf分岔。k2＞2.22時，系統的周期軌道失去穩定性最后通向混沌。取k2=1,系統穩態相圖和功率譜圖如圖2和圖3所示；取k2=2.1，系統穩態相圖和功率譜圖如圖4和圖5所示；取k2=2.5，穩態之后系統穩態相圖和功率譜圖如圖6和圖7所示。由圖2～圖7可知隨著系統參數k2的不斷增大，系統的運動狀態發生明顯的改變，并且系統的功率譜也逐漸增大，不利于設備的正常工作。

圖2k2=1時系統穩態相圖Fig.2 Steady state phase diagram fork2=1

圖3 k 2=1時系統功率譜圖Fig.3 Power spectrum of the system atk2=1

圖4 k 2=2.1時系統穩態相圖Fig.4 Steady state phase diagram fork2=2.1

圖5 k 2=2.1時系統功率譜圖Fig.5 Power spectrum of the system atk2=2.1

圖6 k 2=2.5時系統穩態相圖Fig.6 Steady state phase diagram fork2=2.5

圖7 k 2=2.5時系統功率譜圖Fig.7 Power spectrum of the system atk2=2.5

3 參數自適應控制

3.1 控制器的設計

選取隔振系統結構參數γ =2，f=6.8，ω=1.6，ξi=0.1，w=0.5，初始狀態向量（被隔振物體和基座的位移和速度）選擇X=[0,0,0,0]T時，k2為受到擾動的參數，此時受控系統為：

設式（2）的參考模型為：

當參數k2發生變化，由局部分岔分析結果可得當參數達到一定值時，系統運動狀態發生變化，振幅逐漸增大，功率譜也逐漸增大，這些都不利于艦船設備的正常工作。現要求隔振系統可以在參數發生變化的情況下始終運行到期望的小振幅運動狀態，根據參數自適應控制理論，設計如下以被隔振物體和基座位移之差為觀測量的自適應控制器：

則式（2）變為：

為證明所設計控制器的穩定性，根據李雅普諾夫穩定性定理，首先構造Lyapunov函數：

求導得：

由式（6）和式（7）可知V有極值且收斂于某一值，又由于參數k2在沒有受到干擾的情況下是隔振器的理想參數，是一個定值，所以有如下關系式：

式(8)表明當t→∞時，它的積分極限存在，故必有

由于式（7）中(x1-x2)2當t→∞時并不常為0，故有

由此證明受控系統是漸進穩定的，實現了兩自由度準零剛度隔振系統在參數受到擾動情況下的穩定控制。

3.2 數值仿真

采用Matlab對所設計的自適應控制算法進行數值仿真，當準零剛度隔振系統中的參數k2受到擾動而發生改變時，假設理想的結構參數k2=0.1，通過3種情況對所設計的參數自適應控制器進行數值驗證。參數值改變k2=1.5，圖8和圖9為初始參數k2=1.5的t-k2和t-x2曲線圖。由圖8可知系統在t=500s時施加控制，大約1.5 s后參數k2恢復到期望的參數值。由圖9可知施加控制之后系統的振幅相對于控制前明顯降低。繼續增大擾動量，圖10～圖13為初始參數為k2=2.1和k2=2.5的t-k2和t-x2曲線圖，可知系統在參數變化的情況下，施加自適應控制后參數恢復到期望的參數值，運動狀態也明顯的發生變化。由此可見所設計的自適應控制器可以很好的達到參數自適應控制的效果。

圖8 初始參數k2=1.5的t-k2曲線Fig.8 t -k2 curve of initial parameterk2=1.5

圖9 初始參數k2=1.5的t -x2曲線Fig.9 t -x2 curve of initial parameterk2=1.5

圖10 初始參數k2=2.1的t -k2曲線Fig.10 t -k2 curve of initial parameterk2=2.1

圖11 初始參數k2=2.1的t-x2曲線Fig.11 t -x2 curve of initial parameterk2=2.1

圖12 初始參數k2=2.5的t-k2曲線Fig.12 t -k2 curve of initial parameterk2=2.5

圖13 初始參數k2=2.5的t -x2曲線Fig.13 t -x2 curve of initial parameterk2=2.5

4 結 語

準零剛度隔振系統的動力學微分方程含有三次方項，系統參數微小的改變都有可能會使系統的運動狀態發生變化，對其動力學行為的控制比較復雜，本文基于參數自適應控制方法，設計參數自適應控制器，使系統在參數發生變化情況下仍能運行到期望的小振幅運行狀態，得出結論如下：

準零剛度隔振系統動力學模型隨結構參數的改變，表現出豐富的動力學特性。

設計的控制器能使準零剛度隔振系統在參數（剛度）發生變化的情況下能很快恢復到期望值，并且系統的運動狀態也能維持在理想的小振幅運動狀態。

在隔振器結構參數（剛度）不斷發生改變的情況下所設計的控制器仍能保證準零剛度隔振系統運行于小振幅運動狀態，說明所設計的自適應控制器在一定范圍內是有效的。