小學數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”中數(shù)學模型的建構(gòu)

袁媛

【摘? 要】“數(shù)與代數(shù)”是小學階段數(shù)學學習的重點與難點，亦是廣大教師關(guān)注的焦點。在“數(shù)與代數(shù)”的教學中，教師應(yīng)該從學生數(shù)學思維發(fā)展的邏輯起點出發(fā)，基于興趣，幫助學生搭建建模支架;基于過程，構(gòu)建數(shù)學模型;基于運用，讓數(shù)學模型內(nèi)化為數(shù)學能力，從而達成對“數(shù)與代數(shù)”的知識認知，發(fā)展數(shù)理邏輯能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與代數(shù);數(shù)學模型;建構(gòu);小學

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2021）33-0022-02

The Construction of Mathematical Model in Primary School Mathematics "Number and Algebra"

（Weixu Primary School， Taoyuan Town， Suining County， Xuzhou City， Jiangsu Province， China）YUAN Yuan

【Abstract】"Number and Algebra" is the key and difficult point of primary school stage mathematics learning， and it is also the focus of attention of teachers. In the teaching of "number and algebra"， teachers should start from the logical starting point of students' mathematical thinking development， based on interest， help students build modeling support; based on process， build mathematical model; based on application， internalize mathematical model into mathematical ability ， so as to achieve the knowledge and cognition of "number and algebra" and develop the ability of mathematical logic.

【Keywords】Number and algebra; Mathematical model; Construction; Primary school

一、基于數(shù)學問題情境是數(shù)學模型建構(gòu)的基礎(chǔ)

小學學生處于形象思維向抽象思維的過渡時期，基于數(shù)學生活的問題情境，特別是通過一些童話故事帶入的情境，可以激發(fā)學生學習的興趣。如教師在指導學生學習“小數(shù)的基本意義與性質(zhì)”的時候，通過一則童話故事來導入教學，能夠激發(fā)學生的學習興趣。在運用故事導入的過程中，不是為了講故事而講故事，而是要讓故事內(nèi)容與學生的學習內(nèi)容緊密地聯(lián)系起來，讓故事情境服務(wù)于教學情境。通過故事激發(fā)學生的學習興趣，勾連起學生的認知經(jīng)驗，為數(shù)學建模提供幫助。此外，教師創(chuàng)設(shè)的故事內(nèi)容要短小，故事要精彩，要與學生的生活、心理、認知聯(lián)系起來，不能在教學過程中占用太多的時間。教師還要具有一定的創(chuàng)編故事、講述故事能力，通過教師的“講”，能夠激發(fā)起學生學習的興趣，為數(shù)學模型建構(gòu)提供基礎(chǔ)。

二、經(jīng)歷“數(shù)與代數(shù)”抽象、運算與建模的過程

學生在數(shù)學模型建構(gòu)的過程中，首先要經(jīng)歷思維的參與，只有產(chǎn)生思維活動，才能從數(shù)學生活中認識數(shù)學關(guān)系，借助數(shù)學關(guān)系進行運算，最后才能達到建模的過程。其次，教師要基于學生生活提出數(shù)學問題，從學生能夠理解的數(shù)學生活出發(fā)開展教學。最后，教師要引導在具體建模中完成對知識的再次回顧，實現(xiàn)學習支架的搭建。如在“正比例和反比例”的學習中，教師就可以設(shè)置這樣的學習環(huán)節(jié)。

教師出示數(shù)學題：學校陽光食堂100kg面粉可以做出125kg饅頭，照此計算，要做出200kg饅頭，需要多少千克的面粉？從題中，我們可以看出“面粉”與“饅頭”是兩個基本的量;二者之間的關(guān)系通過“出餅率”表現(xiàn)。這道題目是從學生司空見慣的日常生活中提取的，學生對于其中的關(guān)系能夠輕易理解。但是要想走向數(shù)學建模，就需要運用數(shù)學符號來表達其中的數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在教學當中，教師需要組織學生通過對題目當中數(shù)量關(guān)系的觀察，對變化關(guān)系的概括，分析完成模型抽象，得到模型，這是學習的第一個環(huán)節(jié)。

在數(shù)量分析的基礎(chǔ)上，我們不難發(fā)現(xiàn)，需要把問題聚焦在“出餅率”上。它直接關(guān)系著面粉與饅頭兩者數(shù)量之間的關(guān)系。由此可見，我們可以得到關(guān)系是饅頭量=面粉量×出餅率。這道題目并不是要得到這兩道題的準確答案，而是讓學生建立起其中的數(shù)學思維。在本道題中，饅頭量=面粉量×出餅率。面粉與饅頭是變量，但它的“出餅率”固定的。因此，饅頭和面粉成正比例關(guān)系。如果通過列式計算，則為：125÷100=1.25;200÷1.25=160千克。當然，這道題目并不是為了考察學生的運算過程，而是讓學生經(jīng)歷思維的活動過程，喚醒學生運用比例知識解決問題。因此，教師要引導學生進行具體的分析，得出如下結(jié)論：

本道題目中，面粉和饅頭是變量，但是“出餅率”是不變量。列方程的方式去解，則設(shè)：要做出200kg饅頭，需要x千克面粉。

饅頭量=面粉量×出餅率

125? ? 100? ? 一定

200? ? ? ？? ? 一定

因此，面粉和饅頭成正比例，通過列方程不難得出：

解：設(shè)要做出200千克的饅頭需要x千克的面粉。

125：100=200：x

在教學中，教師通過這種式讓學生思考，就是引導學生對數(shù)學模型建構(gòu)過程進行思考。在第一次解題過程中，學生大多會基于兩種數(shù)量關(guān)系進行直接計算，其思維沒有經(jīng)過整合，缺少了模型建構(gòu)的過程;以上比例的方式則是讓學生通過思維的發(fā)生，重新建立了思維模型。在這道題目的學習過程中，第一次是通過數(shù)學的方式解決問題;第二次是通過數(shù)學思維建模的方式解決問題。我們不難發(fā)現(xiàn)第二個方法更好，因為當學生建立了這樣的數(shù)量關(guān)系后，對于其他的題目就能夠熟能生巧，舉一反三。這樣的學習過程是進步的過程，在這種模型當中，一是數(shù)量關(guān)系的變與不變，是內(nèi)容層面的;第二是方法層面的，即數(shù)學模型的建構(gòu)與運用。

三、建構(gòu)模型支架，運用數(shù)學模型學習

建模的過程就是“數(shù)學化”的過程。教師在教學中要時刻關(guān)注“數(shù)學化”的時間，找準“數(shù)學化”的節(jié)點，讓學生運用數(shù)學模型學習，回到數(shù)學生活中完成知識的建模。如在“用字母表示數(shù)”的教學中，在學生建構(gòu)起了用“字母”表示數(shù)的數(shù)學模型后，教師需要及時引導學生發(fā)現(xiàn)“用字母表示數(shù)”背后隱藏的知識結(jié)構(gòu)，建立起符號思維，搭建起符號模型，讓學生的思維品質(zhì)得到發(fā)展。學生通過學習，已經(jīng)初步具備了可以用字母表示任意一個數(shù)字的能力，在具體的學習運用，教師需要抽絲剝繭，讓學生抵達知識的核心，建構(gòu)起數(shù)學模型。

教師在研究完“x”在字母與數(shù)字之間的關(guān)系后，可繼續(xù)讓學生看一看教師的年齡如何表示，如果用“x”來表示，這里的“x”能不能“表示任意的數(shù)”，讓學生經(jīng)歷思維建構(gòu)的過程。通過這個環(huán)節(jié)，教師夢將讓“字母表示數(shù)”的知識與學生的生活聯(lián)系起來。有的學生認為這里的“x”大約能表示“25～35”之間的數(shù)字。教師順勢引出，“x”表示任意的數(shù)是“有范圍”的;接著出示家中的小狗，讓學生繼續(xù)猜小狗的年齡。在這個環(huán)節(jié)中，讓學生建構(gòu)起“同一個問題中，不能用相同的字母表示不同的量”的概念。接著教師出示小狗比自己小32歲，讓學生運用算式來表示，引導學生說出“x-32”，然后讓學生說一說其中的數(shù)量關(guān)系。“x-32”是運算過程還是運算結(jié)果。最后，教師繼續(xù)指出：“老師的年齡和小狗的年齡都會變化，如果繼續(xù)用數(shù)量關(guān)系表示，其中有變量與不變量。”教師可讓學生說一說其中的關(guān)系。經(jīng)過這樣的學習過程，學生在用“字母表示數(shù)”的數(shù)學模型運用的過程中就能夠聯(lián)系生活，聯(lián)系知識概念與方法，實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

總之，數(shù)與代數(shù)的學習分布在教材的不同學段，包含著不同的數(shù)學模型。在教學中，從教師角度，教師需要從“數(shù)”的角度去理解，從生活的角度去設(shè)計，從思維的角度構(gòu)建學習支架，幫助學生建立起數(shù)學模型，在具體的數(shù)學活動中運行數(shù)學模型，實現(xiàn)知識的遷移與內(nèi)化;從學生角度，學生需要在具體的情境中理解“數(shù)與代數(shù)”，在真實的思維活動中獲得“數(shù)感”的發(fā)展，感受模型的不同表征。此外，“數(shù)與代數(shù)”還需要與學生的數(shù)學生活、現(xiàn)實生活結(jié)合起來，需要與數(shù)學知識的整體建構(gòu)結(jié)合，需要與學習發(fā)展的整體脈絡(luò)結(jié)合。教師只有豐富問題情景、強調(diào)教學多樣、學會把握數(shù)學關(guān)系、發(fā)展符號意識、探究數(shù)學規(guī)律，才能實現(xiàn)小學學生數(shù)學素養(yǎng)的全面發(fā)展。

參考文獻：

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（責任編輯? 王小飛）