協變量缺失下集值映射多目標規劃模型仿真

吳功躍，周香花

(南昌大學科學技術學院，江西南昌330047)

1 引言

自從多目標規劃問題被提出，就普遍存在并廣泛應用于交通運輸、資產負債管理、金融投資、軍事科學等眾多領域中，這些領域均在經濟、軍事以及日常生活中起著重大的決策作用，且占據著舉足輕重的地位[1]，因此，各類多目標規劃模型應運而生。該模型憑借對當中層次關系的恰當描述、對決策者意愿的全方位展示以及將社會生產實際問題作為規劃根本等諸多優勢，不斷拓寬應用前景，提升應用價值。針對多目標規劃模型的實際應用背景，許多相關學者與研究人員都對其展開了深入探索。

例如，謝仕煒等人[2]以通信領域主動配電網為研究對象，設計出一種不確定隨機網絡理論的多目標規劃模型，經架構不確定隨機主動配電網，完成經濟最小化與最小生成樹搜尋的目標設定，采用三維不確定機會空間解得多目標規劃問題；文獻[3]提出的PSO-GRA耦合決策下排水溝系統多目標規劃模型中，利用粒子群算法獲取非劣解集，結合灰色關聯投影法選擇最終決策；文獻[4]以運輸行業為研究背景，將模糊變量設定為供應鏈的風險與績效，構建出一種模糊動態非線性多目標規劃模型，設立成本、風險最小化與績效最大化目標后，綜合考慮供應商、訂單分配、風險以及績效等因素，得到模糊動態非線性多目標規劃模型，利用模糊評價法實現模型的處理與計算。

因上述各文獻模型中未考慮到數據缺失情況，導致規劃結果存在一定的偏差，為此，本文以協變量缺失為前提條件，提出一種集值映射多目標規劃模型。通常在采集數據過程中，因某些因素造成只有部分數據得到觀測(比如問卷調查階段，被調查者由于問題涉及個人隱私而未給出答案)，由此便產生了數據缺失現象。為解決數據缺失帶來的誤差與錯誤推斷，引入示性隨機變量，令協變量為隨機缺失，根據協變量缺失情況，實現參數與非參數的經驗似然推斷，減小規劃誤差，增強模型魯棒性。

2 協變量缺失下集值映射多目標規劃模型構建

2.1 模型建立及約束條件確定

利用一個上層決策者(即領導者)與多個獨立且平行的下層決策者(即跟隨者)，構建集值映射多目標規劃問題的數學模型。跟隨者在領導者做出決策后，根據領導者的決策知識來最小化其目標函數，領導者再制定出對其目標函數具有優化作用的決策。值得指出的是，該多目標規劃模型的決策過程存在一定的交互性[5]。

設定下層決策者數量是n個，領導者在給出決策之前有充分考慮到跟隨者的反應，且選擇的決策結果是以跟隨者決策為基礎，其表達式如下所示

(BLMOP)1=minQ(x，y1，…，yn)

(1)

下列方程組為對應約束條件

(2)

通過上式可以看出，領導者最優決策的制定復雜程度隨著跟隨者提供決策范圍的不斷縮小而降低，且有可能等同于下層問題中部分有效解相對應的目標函數值。綜上所述，用目標函數值集Ti(x)代替最優反應集Ei(x)是可行的，因此，由(BLMOP)1表達式推導出的下列多目標規劃模型

(BLMOP)2=minG(x，z1，…，zn)

(3)

對應約束條件式如下所示

(4)

基于該多目標規劃模型，領導者目標函數用G:A*T1(x)*…*Tn(x)→Y表示。基于各類導數概念與集值優化問題[6]的關聯結果，令下列方程式成立

F(x)={G(x，z1，…，zn):zi∈Ti(x)，i=1，2，…，n}

(5)

其中，集值映射是F:A→2Y，并基于此將(BLMOP)2改寫為下列表達式

(BLMOP)3=minF(x)

(6)

此多目標規劃模型的約束條件方程組如下所示

(7)

此時，令x0∈A、yi0∈Si(x0)、zi0=fi(x0，yi0)、z0=G(x0，z10，…，zn0)成立。

當滿足(F(x)-z0)∩{-intC}=?與yi0∈Ei(x0)時，(BLMOP)3的弱有效解[7]為(x0，y10，…，yn0)。其中，?x∈A。

2.2 模型參數經驗似然推斷

設定規劃模型的隨機樣本為{Yi，Xi，Ui，Zi}，可完全觀測到的樣本是(Yi，Xi，Ui)，而缺失的協變量則是Zi。利用示性函數技術[8]，引入隨機變量δi，令協變量為隨機缺失，且滿足下列條件式，推導出式(9)

(8)

P(δi=1|Yi，Ui，Xi，Zi)=P(δi=1|Yi，Ui，Xi)

=π(Yi，Ui，Xi)

(9)

上式表明，已知Yi，Ui，Xi時，δi與Zi均具有獨立性，選擇概率函數為π(Yi，Ui，Xi)。

基于協變量Zi缺失情況與逆概率加權方法[9]，利用下列逆概率加權目標函數，實現分量參數β的最小化估計

(10)

綜上得出分量參數β的輔助隨機向量表達式，如下所示

(11)

(12)

采用拉格朗日乘子法[11]計算分量參數的經驗似然比函數，得到下列解方程表達式

(13)

式中，拉格朗日乘子為λ，界定公式如下所示

(14)

2.3 模型非參數經驗似然推斷

若已知隨機樣本Ui的密度函數是f(u)與分量參數β，且滿足下列表達式

E{X[Y-g(Z，β)-XTθ(u)]}=0

(15)

假設核函數K1h1的帶寬是h1，則非參數θ(u)的輔助隨機矢量與經驗對數似然比表達式分別如下所示

(16)

由于此函數不屬于標準的卡方分布[12]，故構建下列殘差調整下輔助隨機矢量表達式

(17)

因此，采用下列表達式界定非參數θ(u)的殘差修正經驗對數似然比

(18)

3 集值映射多目標規劃模型仿真分析

協變量缺失下集值映射多目標規劃模型的仿真結果通過C#編程軟件獲得，實驗環境主要采用因特爾I5 3516型號4.2GHz處理器，內存為8GB。為驗證模型有效性，降低隨機性對模型結果產生的影響，分別采用文獻[2]、文獻[3]、文獻[4]方法以及文本所建模型展開以下仿真。

3.1 協變量缺失下模型經驗似然檢驗效果

圖1所示為樣本函數取不同數值(100、150、200)、顯著性水平是0.05時的經驗似然比檢驗結果。

圖1 不同缺失概率下經驗似然檢驗結果

根據圖1中的經驗似然檢驗仿真結果可以看出：關于不同樣本函數取值，數值越高，經驗似然檢驗越趨近于1，說明經驗似然檢驗效果與樣本函數值之間呈正相關關系，檢驗功效隨樣本函數值的增加而更優，這是因為本文引用逆概率加權方法，最小化估計了分量參數，構建出對應的經驗似然比函數，并采用拉格朗日乘子法求取解值；針對缺失概率與經驗似然檢驗結果關系，一般情況下，顯著性水平將隨著協變量缺失概率的不斷上升而逐漸偏離預設值，而本文方法因利用示性隨機變量，進一步假設了協變量為隨機缺失，經結合協變量缺失情況，使上表中數據與預設值較為擬合，大幅提升了經驗似然檢驗性能。綜上所述，本文提出的經驗似然推斷方法能夠對協變量缺失下集值映射多目標規劃模型的經驗似然做出有效驗證，具有較好的合理性與可靠性。

3.2 集值映射多目標規劃模型性能評估

設定模型決策變量分別是5維與10維，驗證模型的有效性。通過運行各模型10次，對比運行結果相關性能，得到的性能指標結果為各層函數的最優、最差以及中等函數評估次數，還有由目標函數取得的精準度、下層被執行次數以及執行時的下層函數評估次數均值，具體數值如列各表所示。

通過表1中10次運行評估指標數據可以看出：文獻提及的各類多目標規劃模型下層最優函數評估次數分別是本文模型的5.48倍、7.72倍、6.88倍，上層分別是本文模型的8.53倍、7.3倍、7.98倍；針對下層中等函數評估次數，分別是本文模型的6.08倍、7.19倍、7.01倍，上層分別是本文模型的4.6倍、4.11倍、4.24倍；而下層最差函數評估次數則分別是本文模型的7.23倍、7.32倍、6.99倍，上層分別是本文模型的6.17倍、6.86倍、6.43倍。這是因為上層決策者將下層決策者的反應作為考慮因素，且下層決策者提供決策范圍的不斷縮小大幅降低了上層決策者的最優決策制定復雜程度，使得本文模型不必參與過多的函數評估，在一定程度上減少了評估次數。

表1 5維多目標規劃模型各層函數評估次數統計表

由表2數據可知：盡管本文模型與文獻方法的上層中值目標函數精度差異較小，但下層精度對比文獻模型更理想，且其中值下層被執行次數也僅有各文獻模型的0.27～0.28倍，由于對協變量缺失下模型經驗似然做了推斷，加快了模型的收斂速度，所以，在一定程度上降低了下層函數評估次數。

表2 5維多目標規劃模型各層目標函數相關指標統計表

從整理得到的表3評估次數發現：各層函數評估次數均隨著決策變量的增加而大幅上升，與此同時，文獻各模型出現了不同程度的失效現象，比如文獻[3]幾乎完全失效，文獻[4]在執行最差函數評估時失效，只有文獻[2]模型與本文模型完成了所有評估，但經過對比可知，本文模型的各級函數評估次數因持續縮小跟隨者決策范圍而具有較大優勢，僅是文獻[2]模型各層評估次數均值的0.12倍與0.28倍。

表3 10維多目標規劃模型各層函數評估次數統計表

從表4各層目標函數相關指標數據可以看出：本文模型的各層中值目標函數精度均優于文獻方法，其平均調用下層問題次數也因經驗似然推斷階段，極大程度小于各文獻模型。

表4 10維多目標規劃模型目標函數相關指標統計表

4 結論

本文針對實際數據收集過程中存在的數據缺失問題，構建出一種基于協變量缺失的集值映射多目標規劃模型。盡管目前已經取得了一定的研究成果，但仍需在以下幾個方面做出改進：關于多目標規劃模型的異方差檢驗與序列相關檢驗等問題，應繼續進行進一步的探討；逆概率加權方法穩健度不足，在今后的工作中，應嘗試結合線性加權、降維等更優越的算法與策略，獲取協變量缺失下更穩健的估計值，并在一定程度上降低運算復雜度；因時間關系，實例應用研究的實驗對象較為單一，應將模型應用于多個實際問題中，通過發現更多問題，完善模型性能，提升模型實用性與通用性；將多目標規劃模型的最優性條件研究作為下一階段的研究重點，以最優性條件作為基礎，進一步提升運算效率與收斂速度。本文成果為多目標規劃模型理論與方法的發展指明了方向，為優化與決策等問題的處理奠定了堅實的理論基礎。