基于粒子群算法的磁懸浮列車控制參數優化

苗 欣，李言民，江守亮，金 浩

(1.中車青島四方機車車輛股份有限公司，山東 青島 266111；2.北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191)

1 引言

高速磁浮列車以其與軌道無摩擦、低噪聲等優勢，目前已成為軌道交通領域內研究的熱點。磁懸浮控制系統是磁浮列車的核心部分，其動態性能的好壞決定了列車系統的舒適性與安全性，因此對懸浮控制系統性能的優化就顯得十分必要。懸浮控制系統性能的優化大致可分為控制系統結構優化與控制參數優化兩個方面：控制系統結構優化包括電磁鐵結構的優化、控制算法結構優化，如高溫超導和電磁混合懸浮[1]、永磁電磁混合懸浮[2]等，通過改變電磁鐵的物理結構提升懸浮控制性能；龍鑫林、佘龍華等在文獻[3]提出的非線性控制方法，楊杰提出的懸浮系統的自擾控制算法方法[4]，又從控制算法結構上對懸浮控制系統進行優化。通過控制參數優化可以在懸浮電磁鐵與控制器結構不變的情況下，提升控制性能，對于優化控制系統、指導調試車輛更具有現實指導意義。優化控制參數方法可以結合經典控制理論，如控制系統的隨機線性二次最優原理[5]、零極點配置等方式，也可以依據時域或頻域的控制性能指標，采用智能優化算法迭代求解最優參數組合，其實就等價為一定約束下的目標函數尋優問題，這種優化思想在各種控制領域得到廣泛應用，如利用遺傳算法實現多檔位行星變速傳動系統的動力學參數優化[6]，為降低齒輪傳動誤差，結合有限元計算，采用混沌蟻群優化算法進行優化[7]，利用改進多目標粒子群算法優化商用車的懸架系統參數，改善了汽車行駛的平順性[8]，智能優化算法以其理論要求低，便于靈活運用的特點，被廣泛應用于各類控制系統優化當中。

本文采用單電磁鐵懸浮控制系統模型，通過改進的粒子群優化算法，使懸浮控制系統的傳遞函數與理想傳遞函數進行擬合，最終懸浮控制系統的動態響應特性與理想傳遞函數動態響應特性達到一致，從而優化了懸浮控制系統的軌道跟蹤特性。

2 基于粒子群算法的參數優化

2.1 磁懸浮控制系統特性

磁懸浮列車的懸浮控制系統的最小系統為單電磁鐵懸浮系統，一般而言，對于復雜控制系統設計，需要對系統進行降階處理，減少模型自由度；另一方面基于Gottzein E提出“磁輪”[9]概念，TR系列的磁懸浮列車各懸浮點間耦合度大大降低，因此為便于分析磁浮列車的懸浮控制性能，一般建立單自由度磁懸浮控制模型圖1。

圖1 懸浮控制系統

其中，u(t)為電磁鐵電壓、i(t)為電磁鐵電流、m電磁鐵的質量，f(t)為懸浮力，s(t)為電磁鐵的測量間隙，h(t)為軌道面與參考面距離，z(t)為電磁鐵與參考面距離。

系統的動力學方程

(1)

電磁力模型

(2)

軌道與電磁鐵位置關系:

z(t)=h(t)+c(t)

(3)

電學方程

(4)

(5)

其中，fd為干擾力，φ電磁鐵的磁鏈，R為電阻，A為電磁鐵的有效面積，μ0為空氣磁導率。

基于以上方程，得到線性化的傳遞函數如下[10]

(6)

其中

根據勞斯定律，該系統為本質不穩定系統，因此需要進行閉環控制，引入間隙變化的微分量，增加特征方程的一次項，使系統變得穩定。

間隙變化的微分量一般可以通過如下兩種方式獲得：間隙的微分、加速度的積分。一方面，利用間隙傳感器對間隙測量會對系統引進高頻噪聲，在微分環節的作用下，電磁鐵會產生高頻振動；另一方面加速度信號低頻測量性能較差，在加速度積分的作用下，易產生零點漂移等，因此為避免以上兩個缺點，構建二階的觀測器，綜合利用兩種傳感器的信息對間隙變化率進行估計，其結構如下[11]圖2所示。

圖2 懸浮控制系統模型

通過以上觀測器可以得到估計后的加速度ao、間隙變化速度vo、間隙變化量so，并將以上的觀測量加權求和，得到電磁鐵的實時控制量，實現了帶狀態觀測器的狀態反饋控制。在穩定懸浮10mm時，以相對于參考面的軌道面變化Δh(t)為輸入，電磁鐵相對于參考面的位置變化Δz(t)為輸出，可以得到線性化的傳遞函數

(7)

在系統穩定的前提下，對于Ka、Kv、Ks不同取值，該控制系統的帶控制帶寬、阻尼也會有所不同，從而決定了控制系統的性能。

2.2 磁懸浮控制參數優化原則

在高速運行時，為防止車輛撞擊軌道、保證乘客安全，在較低頻段的軌道面變化時，如彎道、梁跨、緩和曲線等，保證足夠的穩定裕度，而對軌道錯臺、梁端轉角等高頻的軌道面變化不敏感。因此，對于25m長的高速磁浮的標準軌道梁，在列車最高時速600km/h下會存在6.7Hz左右的軌道梁特征頻率，為保證列車安全性與舒適性，懸浮控制系統的帶寬應需要設計為6.7Hz，同時要降低帶寬內的諧振峰值，使帶寬內的幅頻特性較為平坦。

對于阻尼比ζ、無阻尼振蕩角頻率為ωn的二階系統而言，其傳遞函數為

(8)

由圖3、圖4可知，當阻尼ζ=0.707時，對于5%的誤差帶，系統調節時間最短[12]；超調量為4.3%，相對較低;其自然頻率即為傳遞函數的帶寬，并且帶寬內無諧振峰值，因此根據以上分析，以阻尼ζ=0.707、ωn=6.6Hz得到的理想系統，在保證響應能力的同時，超調量相對較小，具有很好的較好的綜合性能，綜上所述，可以得到如下的理想函數

圖3 超調量(左)、不同誤差帶下調節時間(右)與阻尼關系

圖4 不同阻尼比的幅頻特性

(9)

對于實際懸浮控制系統模型，可以通過迭代算法尋找Ka、Kv、Ks使得懸浮控制系統與理想系統性能近似，實現兩個系統的近似，達到保證懸浮系統在指定帶寬情況下，具有較好的動態性能。考慮到電磁鐵懸浮控制系統是一個較強的慣性系統，具有典型的低通特性，因此可以得到如下結論：

1)低頻帶內Gaim(s)與Gmag(s)特性差別不大，幅頻曲線都較為平坦，此時懸浮控制系統對緩和曲線、彎道具有較好的跟蹤性。

2)中頻帶對系統的動態性能具有重要作用。

3)高頻帶內，由于實際系統的動態特性與Gaim(s)慣性作用特性一致，都具有大幅度的衰減特性。

因此，對于兩個系統的擬合主要著眼于低頻帶末端以及中頻帶，為使兩個系統的性能相近，以ωn為中心，設置擬合的頻帶為[ωn-Δωωn+Δω]，若按照一定原則保證兩個系統在該頻帶內近似，就能實現控制系統與理想系統的動態特性擬合。

對[ωn-Δωωn+Δω]進行N點均勻等分，對于ωi頻率下的理想系統的傳遞函數與懸浮控制系統的傳遞函數復數域的差值為

Δi=Gmag(s)-Gaim(s)

=|Gmag(jωi)|eφ(jωi)-|Gaim(jωi)|eφ(jωi)

(10)

對于[ωn-Δωωn-Δω]內所有的頻率點，設置目標函數指標如下

(11)

該指標本質上是Δh(t)為輸入、Δz(t)為輸出的閉環控制系統與理想系統的奈奎斯特曲線擬合(如圖5)，即在指定固定的頻帶內，使目標系統和懸浮控制系統該復數坐標系下擬合，就能確定閉環系統輸入和輸出的幅值相位關系，從而保證懸浮控制系統與目標系統動態行為上的一致。

圖5 系統奈奎斯特曲線擬合原理

此外，對于如果將懸浮控制系統的等價為二階系統，那么Bode圖上低頻段等效的諧振頻率和增益的峰值為

(12)

(13)

ΔA=|Aaim-Amag|→0

(14)

同時，為保證系統的帶寬，設置帶寬指標如下

Δω=|ωaim-ωmag|→0

(15)

圖6 ΔA、Δω指標

基于以上的分析，最終設置目標函數如下

J(Ka，Kv，Ks)=αΔd+βΔA+γΔω

(16)

其中α、β、γ為加權因子，隨著Ka、Kv、Ks不同取值，J的值也會隨之變化，通過一定的計算方法得到J的最小值，就可以找到最優化后的懸浮控制參數組合。

2.3 改進粒子群優化方法

粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart最早提出[13]，參考動物的群體性行為規律設計的智能算法，具有算法靈活調整、收斂速度快、原理簡單的特點，在智能控制、函數優化等領域應用廣泛[14][15]。

假設有N個粒子的群落，其中第k個粒子的位置可以用一個D維度的空間向量表示

xk=(xk1，xk2，…xkD)

(17)

對于每個粒子，每一次迭代移動的速度向量為

vk=(vk1，vk2，…vkD)

(18)

vk由有三部分組成

vk=ωvk-1+c1r1(xlocal-xk-1)+c2r2(xglobal-xk-1)

(19)

其中，ω為權重因子，vk-1為前一次迭代時的速度向量，c1、c2為學習因子，r1、r2為[0 1]之間的隨機數，xlocal為第k個粒子的歷史最優值，xglobal為全部粒子的歷史最優值。

位置更新方程

xk=xk-1+vk

(20)

根據優化計算的指標要求，選取適宜的目標函數，經多次迭代后，即可找到參數xk的優化值。但是這種方式下，粒子在迭代初始尋優過程中，易進入局部最優值的情況，為減小進入局部最優的可能性，對速度的向量方程作如下改進

vk=ωivk-1+ci(xlocal-xk-1)+di(xglobal-xk-1)+eirxk-1

(21)

其中，權重參數ωi、ci、di、ei隨著迭代次數增加的線性遞減，r為[0 1]之間的隨機數。

在迭代初期ωi、ci、di、ei相對較大，各個粒子在空間內運動比較劇烈，增強了全局收斂內能力，迭代晚期數值較小，保證了的局部收斂能力此外，由于隨機因子r從粒子的自主學習和社會學習中剝離，使得粒子慣性更強，收斂更為快速。為盡量減少陷入局部最優的可能，可以采用試湊的方法，找到較為接近目標系統的一組參數x(Ka、Kv、Ks)，作為迭代計算的粒子初始位置，可置粒子邊界范圍

[(1-η)x(Ka，Kv，Ks) (1+η)x(Ka，Kv，Ks)]

其中，0.5<η<1為邊界調整因子。

此外，在迭代優化中，需要設置判斷系統穩定的邊界條件，保證每個參數下系統特征根位于虛軸左側，剔除使系統不穩定的控制參數組合。

2.4 仿真結果

基于以上分析，設計粒子群算法粒子的初始位置為x(Ka，Kv，Ks)=x(300、900、150000)，取帶寬頻率ωn=6.7Hz，Δω=6.3Hz，需要擬合的頻帶范圍為[0.4Hz 13Hz]，其中[0.4Hz 6.7Hz]為低頻帶，以保證系統的低頻特性，[6.7Hz 13Hz]保證系統的動態響應特性，以粒子數N=500，迭代次數為500進行迭代運算，優化后的粒子位置為x(174.57、1453.5、122589.3)，目標函數值、奈奎斯特曲線、閉環系統bode圖的收斂過程如下。

圖8 系統閉環奈奎斯特曲線收斂過程

圖9 系統幅頻曲線收斂過程

如圖7，從優化目標函數值的收斂過程來看，粒子群的初期收斂速度較快，具有較強的全局搜索能力，晚期的收斂過程較慢，保證了晚期的局部收斂精度。隨著迭代進行，奈奎斯特曲線和bode圖在固定帶寬[0.4Hz 13Hz]內逐漸接近，諧振峰值逐漸減小，同時帶寬逐漸靠近目標帶寬，達到了控制目標。

圖7 優化目標值的收斂過程

3 硬件在環試驗結果

dSPACE半實物仿真系統是由德國dSPACE公司研發的，是一種基于MATLAB/Simulink軟件的控制系統開發及半實物仿真的軟硬件實驗平臺，可以非常方便的結合MATLAB/Simulink進行半實物仿真。dSPACE實時系統擁有實時性強，可靠性高，擴充性好等優點[16]。采用SCALEXIO型號半實物仿真機搭建硬件在環的試驗系統如圖10。

圖10 懸浮控制硬件在環試驗平臺

其中，工控機用于仿真模型的搭建，快速原型電路用于運行磁懸浮控制算法，SCALEXIO仿真用于運行電磁鐵模型、列車動力學模型、傳感器模型等，它們之間通過信號線連接形成閉環控制回路。

首先將系統模型各部分離散化，將控制算法通過Simulink的Embeded Coder工具包轉換控制代碼后運行在快速原型電路，然后在仿真機中編輯軌道不平順激勵，傳感器模型測量間隙和加速度信號，通過線纜傳輸到快速原型電路中，快速原型電路的控制算法計算出控制電壓，將該控制電壓反饋到仿真機的電磁鐵模型，電磁鐵模型計算出懸浮力并作用到車輛動力學模型上，產生變化的間隙和加速度。

圖11 硬件在環的拓撲結構

假定軌道梁撓度為5mm[15]，以典型的25m長軌道梁為例，設置4Hz、6.7Hz時的半正弦激勵，并添加隨機不平順，分別模擬列車以350km/h、600km/h列車經過梁跨的情景，以驗證控制參數優化方法的有效性，試驗結果如圖12。

圖12 4Hz軌道激勵下的懸浮控制系統響應

如圖12所示，當列車運行速度為350km/h，軌道激勵為4Hz時，懸浮控制系統在初值參數的系統響應、優化參數后的系統響應、理想系統響應下的電磁鐵振動的幅值分別為4.3mm、2.2mm、2.1mm。表明優化參數后的懸浮控制系統與目標系統動態行為相似，低頻跟隨性較好，能夠較為理想地跟蹤軌道。

如圖 13列車速度為600km/h時，此時系統的軌道梁的激勵頻率為6.7Hz，懸浮控制系統在初值參數的系統響應、優化參數后的系統響應、目標系統響應下的電磁鐵振動的幅值分別為4.2mm、1.6mm、1.4mm。初值參數下的懸浮控制系統，響應比較劇烈，由于懸浮電磁鐵的具有較強非線性，電磁鐵容易控制失穩或者與軌道吸死，而參數優化后的懸浮控制系統與理想系統響應近似，具有很好的跟隨性，提高了列車舒適度和安全性。

圖13 6.7Hz軌道激勵下的懸浮控制系統響應

如圖14 對于8Hz及以上軌道激勵，可以認為是懸浮控制系統需要抑制的軌道不平順，系統此時不應跟蹤軌道梁，初值參數下、優化參數下的懸浮控制系統與理想系統電磁鐵振動的幅值分別為2.1mm、1.4mm、1.1mm。初值參數下的懸浮控制系統，階躍響應振動劇烈，控制參數優化后的系統響應較為平緩，列車舒適度和安全性得到了提高。

圖14 8Hz軌道激勵下的懸浮控制系統響應

磁懸浮列車系統在長期的運營當中，可能出現地基下沉等現象，會導致的軌道梁錯臺的產生，列車高速通過時，測量間隙的產生階躍，引起懸浮控制系統振蕩收斂，影響列車乘坐舒適度。

在仿真機中模擬5mm的軌道階躍[17]如(圖 15)，發現初值參數下、優化參數下的懸浮控制系統與理想系統電磁鐵振動的超調量分別為37%、11%、4.8%。動態調節時間為分別為0.95s，0.3s，0.11s，因此優化后的控制參數在系統的穩定性、快速性都顯著提高。

圖15 5mm的軌道階躍響應

4 結論

高速列車懸浮控制動態特性與控制參數關系密切，通過優化控制參數，使懸浮控制特性滿足安全和舒適度指標更具有工程意義。針對目前時速600km/h磁浮列車尚未有試驗線路的現狀，本文首先確定理想擬合系統的傳遞函數，再通過粒子群算法使系懸浮控制系統與理想傳遞函數近似，通過搭建的半實物仿真系統，對懸浮控制參數進行了先期驗證與參數優化，經半實物仿真驗證，懸浮控制系統的快速性和平穩性得到了提高。

為提高擬合手段的精確性，對于指標函數的優化、加權因子等的設定是需要進一步研究的方向，此外考慮電磁鐵的非線性等因素，提高整個模型的建模精度對參數優化方法的可靠性也有重要作用。