邊坡穩定性分析及滑移面快速確定

葉帥華,章瑞環,袁中夏

(1.蘭州理工大學 甘肅省土木工程防災減災重點實驗室,甘肅 蘭州 730050;2.蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心,甘肅 蘭州 730050)

0 引言

對于邊坡穩定性的研究一直是巖土界廣泛關注的問題之一。目前邊坡穩定性的研究方法主要有有限元法和極限平衡法。針對有限元法[1-4],國內外學者做了大量工作,并取得了一定成果,但是仍有很多問題,例如:該方法著重邊坡的變形分析,很難給出明確的臨界滑移面[5];安全系數的力學概念不明確[6];當邊坡變形較大時,容易出現計算不收斂等一系列問題。因此經典的極限平衡法[7-9]憑借其獨特的優勢在邊坡穩定性分析中占據著主導地位,在國內外研究中方興未艾。

極限平衡法在分析邊坡穩定性時一般分兩步進行:第一步,對某一可能滑移面,構造安全系數Fs與滑移面的關系;第二步,對眾多潛在滑移面,計算安全系數并確定相應于最小安全系數Fs(min)的滑移面,即臨界滑移面。近幾十年來,絕大多數研究都集中到第一步,得出了許多有效的安全系數計算公式[10-12]:最早有Fellenius提出的瑞典條分法,后來有學者在此基礎上又提出了Bishop法、Janbu法、Morgenster-Price法和Spencer法等。近年來,蔣斌松等[13]、鄭宏等[14]基于極限平衡理論,采用無條分法給出了邊坡安全系數的解析表達式;時衛民等[15]在假定滑裂面為平面的基礎上,給出了階梯型邊坡臨界滑移面及最小安全系數的解析算式。對第二步的研究,近年來也取得了許多成果,對邊坡臨界滑移面的搜索提出了一些新方法:如莫海鴻等[16]提出應用模式搜索法尋找臨界滑移面;馬忠政等[17]提出了三向搜索法,在一定程度上提高了滑移面搜索效率。目前臨界滑移面的搜索方法主要有變分法[18]、固定模式搜索法、數學規劃方法[19]、隨機搜索方法[20]和人工智能方法等。但是無論哪種方法都沒有擺脫廣泛試算這一重大弊端,當自由度大時,其計算量將難以想象。另外,近年來可靠度理論也開始廣泛運用于邊坡穩定性分析中,并取得了頗為豐富的成果[21-22]。但現有的邊坡可靠度分析大多建立在傳統極限平衡條分法的基礎上,自然而然地沿襲了傳統極限平衡條分法的上述缺點[23]。

基于以上論述,在前人研究的基礎上,本文擬提出一種采用解析的方法進行邊坡穩定性分析及臨界滑移面確定的新方法,并通過實例驗證其可行性。此方法可提高邊坡滑移面確定及穩定性分析的效率與精度,克服傳統方法在邊坡穩定性分析中存在的計算量大、滑移面搜索效率低等問題,為均勻土質邊坡臨界滑移面確定及穩定性分析提供技術參考。

1 基本假定

根據極限平衡理論和瑞典圓弧法的基本假設以及均勻土質邊坡發生滑移時滑移面的位置、形狀等基本特征,為方便滑移面控制方程和安全系數解析表達式的推導,提出以下3條基本假定:

(1)邊坡為均勻土質邊坡,其抗剪強度服從Mohr-Coulomb準則。

(2)土條間的作用力對邊坡穩定性的影響不大,可以忽略;或土條兩側的作用力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。

(3)假定剪切面為通過坡腳的圓弧面,即在橫剖面上滑移面為圓弧;圓弧的圓心位于邊坡上方。

2 滑移面確定模型

以邊坡ABD為例,建立如圖1所示的邊坡滑移面確定模型。線段AB表示邊坡坡面;BD表示邊坡坡頂;β表示坡面角;H表示坡高。以坡腳A為原點建立直角坐標系0xy,圓弧AC為假定的滑移面,其圓心為點o,半徑為r,圓弧AC與坡頂平面BD的交點為C;直線AE為圓弧AC在點A處的切線。根據建立的滑移面確定模型,進行滑移面控制方程的推導,具體過程如下。

圖1 邊坡滑移面確定模型Fig.1 Determination model of slope slip surface

(1)在直角坐標系中,令點o坐標為(a,b),點C坐標為(S,H),點A坐標為(0,0),則圓弧AC的方程為:

(x-a)2+(y-b)2=r2

(1)

且滿足:

a2+b2=r2

(2)

(S-a)2+(H-b)2=r2

(3)

(2)對于均勻土質邊坡ABD,坡面AB處于單向應力狀態,其上的作用力σ1為大主應力。根據Mohr-Coulomb破壞準則,當單元體剪應力達到土體抗剪強度時會發生破壞,那么滑移面AC與大主應力作用方向即坡面AB的夾角為:

(4)

令k為切線AE的斜率,由幾何關系可得:

k=tan(β-θ)

(5)

則:

a=-kb

(6)

(3)聯立式(2)、(3)、(6)可求得滑移面圓弧的圓心及半徑表達式為:

(7)

式中:

(8)

至此,滑移面控制方程已確定。當一個邊坡給定后,k、H均為已知量,滑移面控制方程將變成關于S的一元函數。

3 邊坡穩定性分析

3.1 安全系數解析式推導

根據滑移面確定模型及控制方程,建立如圖2所示的邊坡穩定性分析模型,進行邊坡安全系數解析式的推導。

圖2 邊坡穩定性分析模型Fig.2 Slope stability analysis mode

將滑動土體ABCA劃分為寬度dx趨于無限小的土條微元,取其中的土條cdef進行分析,其受力示意圖如圖3所示。該土條上的作用力有dW、dN及dT,由土條平衡條件得:

圖3 土條cdef受力示意圖Fig.3 Schematic diagram of the force on soil bar cdef

(9)

式中:dW=γhdx,為土條重力;dN為作用于滑移面的正應力;dT為作用于滑移面的剪應力。

由式(9)可得在整個滑移面上,由所用土條自重引起的剪力所產生的滑動力矩:

(10)

同理,由所有土條上的抗剪強度所產生的抗滑力矩為:

(11)

式中:xa、xb分別為積分下限與上限;c為土體黏聚力;φ為土體內摩擦角;l為弧長。

由幾何關系可知式(10)、(11)中:

(12)

邊坡的安全系數Fs為抗滑力矩Mr與滑動力矩Ms的比值:

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

式中:a、b、r的取值列于式(7)。

3.2 臨界滑移面和最小安全系數的確定

由式(13)可以看到,當一個邊坡給定以后,邊坡的安全系數Fs為S的一元函數,那么求最小安全系數Fs(min)將變為一元函數求最值的問題,亦為數學優化問題[24-25],其目標函數及約束條件分別為式(17)、(18)。

Fs(min)=minFs(S)

(17)

(18)

求解時可借助MATLAB計算軟件,通過MATLAB中嵌套fmin函數實現對最小安全系數Fs(min)的求解計算,也可以應用圖解法實現對Fs(min)的求解計算。求得S后,根據式(7)即可確定與最小安全系數Fs(min)相對應的滑移面,即臨界滑移面。

4 算例驗證

已知某均質邊坡:坡高H=6.5 m,坡角β=55°,重度γ=19 kN/m3,黏聚力c=32 kP,內摩擦角φ=23°。對此邊坡算例,采用不同方法進行臨界滑移面的確定及最小安全系數計算,并對不同方法的計算結果進行對比分析。

4.1 本文方法

對上述邊坡算例,采用本文方法進行邊坡臨界滑移面確定及最小安全系數計算。通過分析計算,在定義區間[4.6,31.9]內,S與Fs的關系如圖4所示。從圖4可以看到,當S=8.4 m時,安全系數Fs取最小值2.233,即最小安全系數Fs(min)=2.233。將S=8.4 m代入式(7)可以得到最小安全系數所對應的臨界滑移面圓心坐標o(-2.396,11.774),半徑r=12.015 m。

圖4 S-Fs關系曲線Fig.4 S-Fs relation curve

4.2 傳統極限平衡條分法

對上述邊坡算例,采用基于傳統極限平衡條分法的邊坡穩定性分析軟件GeoStudio中的SLOPE/W分析模塊進行邊坡穩定性分析計算,并選用Bishop法、Janbu法、M-P法和Spencer法4種不同的分析方法(統稱傳統極限平衡條分法),建立如圖5所示的分析模型。各方法的計算結果列于表1。

圖5 GeoStudio邊坡穩定性分析模型(Bishop法)Fig.5 GeoStudio slope stability analysis mode (Bishop method)

表1 傳統極限平衡條分法邊坡穩定性分析結果Table1 Analysis results of slope stability with traditional limit equilibrium methods

4.3 對比分析

將采用本文方法求得的邊坡最小安全系數與采用傳統極限平衡條分法求得的結果進行對比(表2)。從表2中可以看到,兩種方法分析結果的定性完全一致(Fs(min)>1.0,邊坡穩定),定量相近,最小安全系數相對偏差不超過±5%。將采用本文方法計算確定的臨界滑移面與基于傳統極限平衡條分法廣泛搜索得到的臨界滑移面進行對比,結果如圖6所示。從圖6可以看到,本文方法所確定的臨界滑移面與基于Bishop法和Janbu法所廣泛搜索的滑移面基本一致,而與基于M-P法和Spencer法所廣泛搜索的滑移面有一定差異。其主要原因在于對條間力的考慮方面本文方法與Bishop法和Janbu法比較相似,與M-P法和Spencer法則差距較大。但整體而言,采用本文方法所確定的臨界滑移面與基于傳統極限平衡條分法所廣泛搜索的滑移面還是比較接近的。

表2 安全系數對比Table 2 Comparison of safety factors

圖6 不同方法搜索的臨界滑移面示意圖Fig.6 Schematic diagram of critical slip surface with different methods

該實例佐證了本文基本假設的合理性,也證明了本文方法在邊坡穩定性分析及臨界滑移面確定方面的可行性。相對GeoStudio而言,本文方法不需要劃分網格,并進行廣泛的搜索計算,也不會出現搜索計算不收斂的情況,所以在邊坡穩定性分析方面具有較大的優勢。

5 參數影響分析

本文方法的特殊之處就是引入了參數k,但參數k的合理性并不能通過一個算例來充分說明,還有待進一步驗證。k的取值與坡面角β與土體內摩擦角φ有關。因此以上述算例為背景,針對β與φ分別設計單因素試驗,采用本文方法和嚴格的M-P法進行穩定性分析計算,并將分析結果進行對比,研究參數β、φ對本文方法分析結果準確性的影響,同時研究其對邊坡穩定性的影響。

5.1 參數β對本文方法準確性的影響

坡面角β取30°、45°和60°,采用本文方法和M-P法分別進行穩定性分析計算,結果如圖7所示。圖7中,RDmax代表最小安全系數相對偏差的最大值。從圖7中可以看到,本文方法的準確性不受β取值影響,始終與M-P法的計算結果保持較高的相似性,偏差最大時僅為1.8%。邊坡穩定性受坡面角β的影響明顯,最小安全系數Fs(min)與坡面角β基本呈反比例關系。

圖7 參數β對本文方法準確性的影響Fig.7 Influence of parameter β on the accuracy of the proposed method

5.2 參數φ對本文方法準確性的影響

土體內摩擦角φ取16°、22°和28°,采用本文方法和M-P法分別進行穩定性分析計算,結果如圖8所示。從圖8中可以看到,本文方法的準確性也不受φ取值影響,始終與M-P法的計算結果保持較高的相似性,偏差最大時僅為-1.5%。邊坡最小安全系數Fs(min)與φ呈正比例關系。

圖8 參數φ對本文方法準確性的影響Fig.8 Influence of parameter φ on the accuracy of the proposed method

通過上述分析可以看到,本文方法邊坡穩定性分析結果的準確性不受邊坡參數取值的影響,始終與M-P法的分析結果保持較高的相似性,這也說明本文方法中參數k的取值是科學、合理的。

6 結論

本文基于極限平衡理論,提出一種邊坡穩定性分析及滑移面快速確定的新方法,并通過算例及試驗對該方法進行了驗證,得到以下結論:

(1)本文方法邊坡穩定性分析結果與傳統極限平衡條分法分析結果的定性一致,定量相近,二者分析得到的最小安全系數的相對偏差不超過±5%,完全滿足工程要求。

(2)本文方法所快速確定的臨界滑移面與基于傳統極限平衡條分法所廣泛搜索的臨界滑移面比較接近。

(3)本文方法邊坡穩定性分析結果的準確性不受邊坡參數取值的影響,始終與傳統極限平衡條分法保持較高的相似性。