基于灰色馬爾科夫模型的天津市供水總量預測

丁 祥， 王 彤

(1.長安大學基建處， 陜西 西安 710064; 2.長安大學 建筑工程學院， 陜西 西安 710061)

隨著城市化的發(fā)展，水資源短缺的問題愈演愈烈，水資源的優(yōu)化配置問題亟待解決，科學的預測供水量顯得尤為重要。水量預測方法主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡法、灰色模型法、組合預測法等[1-6]。

灰色模型(Grey Model)是由鄧聚龍[7-10]于1982年首次提出，當灰色模型GM(m,n)中只含有一個變量(m=1)且為一階方程(n=1)時，灰色模型就被稱為GM(1,1)模型。因為其具有建模過程簡單、模型表達式簡潔、便于求解等特點，已成功應用于農(nóng)業(yè)、氣象、環(huán)境和人口等領域[11]。由于模型自身具有缺陷，近年來很多學者對其進行了優(yōu)化，優(yōu)化方法大致可分為初始值優(yōu)化、背景值構造函數(shù)優(yōu)化等[12-13]。但是優(yōu)化后的模型仍然不能很好地預測波動大、增長規(guī)律性不強或不規(guī)則變化的序列。有研究表明馬爾科夫鏈中的轉移概率矩陣能夠很好地反應序列的波動性，有效彌補GM(1,1)模型的缺陷，故本研究聯(lián)合兩種數(shù)學方法構建灰色馬爾科夫預測模型。

以天津市年供水總量預測為例，建立灰色馬爾可夫預測模型，運用Matlab進行編程和求解。既突出GM(1,1)模型對時間序列模型需要數(shù)據(jù)少、預測結果精度高的優(yōu)勢，又結合馬爾科夫鏈對波動性較大的數(shù)據(jù)預測精確的優(yōu)點。

1 GM(1，1)模型與精度檢驗

設歷史用水量序列為：

X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}

(1)

累加原始序列X(0)可得序列X(1)：

X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}

(2)

所以GM(1,1)模型的一階微分方程可以寫成：

(3)

式中a為系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)；u為系統(tǒng)的灰作用量。

按導數(shù)定義有：

(4)

將式(4)寫成離散的形式：

=X(1)(k+1)-X(1)(k)=X(0)(k+1)

(5)

對微分方程式(3)中X取k和k+1時刻的平均值，即：

(6)

則微分方程可變?yōu)椋?/p>

X(0)(k+1)+a·Z(1)(k)=u

(7)

寫成矩陣形式有：

(8)

令

(9)

則式(8)可表示為矩陣式：

Yn=BA

(10)

由式(10)可知，Yn和B是已知的，A為未知數(shù)。A中又有未知參數(shù)a和u，所以共有2個未知數(shù)，有n-1個方程。而n-1>2，故該方程組無解。通過最小二乘法可求得其近似解。將式(10)可變?yōu)椋?/p>

Yn=B+E

(11)

式中E為誤差項；為最小二乘估計值。

欲使：

min‖Yn-B‖2=min(Yn-B)T(Yn-B)

(12)

求得式(11)的最小二乘解為：

(13)

將上述解帶入式(10)，可得:

(14)

寫成離散形式為：

(15)

對生成的序列進行累減還原后得到：

(16)

X(0)(1)=X(1)(1)

(17)

式(16)和式(17)為GM(1,1)模型預測用水量的基本方程。

2 灰色馬爾科夫預測模型

馬爾可夫預測模型與灰色系統(tǒng)模型不同，它彌補了灰色預測模型的不足，可以對波動序列進行預測。將GM(1,1)模型與馬爾可夫鏈理論相結合，建立灰色馬爾科夫預測模型，模型建立步驟如下。

① 計算波動指數(shù)序列

(18)

② 劃分狀態(tài)

將波動指數(shù)序列劃分為s個狀態(tài)：

v(k)∈[ai,bi](i=1,2,…,s)

(19)

式中ai、bi分別表示第i個狀態(tài)Ei的上限和下限，所以E=(E1，E2，…，Es)。

③ 初始概率矩陣

④ 狀態(tài)轉移概率矩陣

(20)

式中eij為從狀態(tài)Ei經(jīng)過一步轉移為狀態(tài)Ej的個數(shù)。

⑤ 狀態(tài)轉移矩陣

根據(jù)最大概率準則，預測結果所處狀態(tài)應該是pi1,pi2,…,pin中最大者對應的狀態(tài)，即當max{pij,pi2,…,pin}=pik時，就可以預測系統(tǒng)下一時刻將轉向狀態(tài)Ek，則Ek的中點或者均值表示預測數(shù)值。

若pik>pim(m=1,2,…,n；m≠k)且差值比較大時，則說明預測精度較高；若pik≈pim(m=1,2,…,n；m≠k)，則說明預測精度一般。

⑥ 計算預測序列

(21)

3 實例分析

3.1 研究區(qū)域選取

選擇天津市作為研究區(qū)域，使用2001—2017年全市供水總量數(shù)據(jù)預測2018年全市供水總量，預測供水數(shù)據(jù)來源于《天津統(tǒng)計年鑒2019》。原始供水總量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 天津市2001—2018年供水總量Tab.1 Total water supply quantity of Tianjin from 2001 to 2018

3.2 GM(1,1)供水量預測模型

建立原始供水總量序列為X(0)={188 141，199 610，205 118，…，274 905}，原始供水總量1-AGO序列X(1)={188 141，387 751，592 869，…，3 873 357}。

使用Matlab軟件編程，采用最小二乘法，計算微分方程中X(0)(k+1)+aZ(1)(k)=u中的參數(shù)a=-0.018 56，u=1.950 59×105，帶入得到微分方程表達式：X(1)(k+1)=188 141.001 051e0.018 56k-0.001 051。

求得2001—2017年供水總量的擬合值和相應的波動系數(shù)，如表2所示。

表2 GM(1,1)模型擬合結果和狀態(tài)分布Tab.2 Fitting results and state distribution of the GM(1,1) model

續(xù)表2 (Continue)

由式(16)可求得2017年供水總量擬合值為255 549×104m3。按照新陳代謝進化機制，去掉2001年供水總量數(shù)據(jù)，添加2017年供水總量數(shù)據(jù)，計算得到2018年供水總量擬合值為258 579×104m3。

3.3 灰色馬爾可夫供水量預測模型

首先計算波動系數(shù)，結果見表2。波動系數(shù)最小值為0.9346，最大值為1.0629。采用等間距的狀態(tài)劃分方式，將波動系數(shù)劃分為3個區(qū)間段。

E1：[0.882 5，0.942 6]

E2：[0.942 6，1.002 7]

E3：[1.002 7，1.062 9]

根據(jù)各年份供水量預測序列的波動系數(shù)進行狀態(tài)劃分，結果見表2。

得到初始概率：E1=2；E2=6；E3=8。

然后計算狀態(tài)轉移概率矩陣：M11=0；M12=2；M13=0；M21=1；M22=2；M23=3；M31=1；M32=1；M33=5。

因此，狀態(tài)轉移概率矩陣為：

預測2017年供水總量波動系數(shù)：2016年供水總量波動系數(shù)位于狀態(tài)3，由max{p31，p32，p33}=5/7=p33可知2017年供水總量彈性系數(shù)位于狀態(tài)3，數(shù)值等于狀態(tài)3均值，即1.032 8。

預測2017年供水總量R2017=263 931×104m3，2018年供水總量R2018= 267 060×104m3。

3.4 模型精度檢驗與分析

3.4.1 GM(1,1)模型擬合性能

為了便于分析GM(1,1)模型擬合的精確性，繪制表2中的2001—2017年實際供水總量、擬合值和相對誤差，如圖1所示。

圖1 GM(1,1)模型的擬合結果Fig.1 Fitting results of the GM(1,1) model

由圖1可知，2001—2006年實際供水總量整體呈現(xiàn)上升趨勢，但是在2007—2013年區(qū)間供水總量變化出現(xiàn)一定程度的波動。GM(1,1)模型擬合的供水總量變化曲線基本為一條上升直線，大致可認為是以固定速度逐年遞增。在2001—2007年和2013—2016年兩個實際供水總量遞增區(qū)間，GM(1,1)模型擬合結果相對誤差在±5%以內，擬合精度較高；在2007-2013年區(qū)間實際供水總量出現(xiàn)波動，擬合供水總量遞增，GM(1,1)模型擬合結果相對誤差大于±5%，其中2012年的相對誤差更是高達13.31%。

以上結果表明，GM(1,1)模型對于均勻遞增且無波動的序列擬合精度較高，對于波動較大序列擬合精度較低，不能滿足使用需求，需要采取措施加以優(yōu)化。

3.4.2 灰色馬爾科夫模型預測結果分析

為更好地比較GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型，評價其預測精度，分別計算兩個模型對2017年和2018年的供水總量預測的絕對誤差、相對誤差，結果如表3所示。

GM(1,1)模型的預測精度較低，相對誤差絕對值大于7%。經(jīng)過灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預測精度得到大幅度提升，將相對誤差絕對值控制在5%以內。GM(1,1)模型的預測值大幅度低于實際值，灰色馬爾科夫模型在一定程度上起到了糾偏的作用，使得預測值偏離程度降低，但是預測值仍然低于實際值。

表3 GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型預測結果對比Tab.3 Comparison of the GM(1,1) and Grey Markov Model

4 結語

當采用GM(1,1)模型擬合波動比較大的數(shù)據(jù)時，誤差會比較大，精度不夠高。通過基于GM(1，1)的灰色馬爾科夫模型的建立，原始序列波動可以在一定程度上由馬爾科夫鏈通過轉移概率來克服。以天津市2001—2018年供水總量為研究對象，擬合2001—2016年供水總量曲線、預測2017年及2018年供水總量，對比分析表明經(jīng)馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預測精度滿足要求，可應用于年供水量、用水量預測，為區(qū)域水資源配置優(yōu)化提供參考。