潮汐調和分析方法的回顧與展望

呂咸青, 潘海東, 王雨哲

潮汐調和分析方法的回顧與展望

呂咸青1, 2, 潘海東1, 2, 王雨哲1, 2

(1. 中國海洋大學物理海洋實驗室, 山東 青島 266100; 2. 青島海洋科學與技術試點國家實驗室, 山東 青島 266237)

潮汐作為海洋中最普遍的運動過程, 與國民經濟建設密切相關。潮汐調和分析作為使用最廣泛的潮汐數據分析方法, 從1921年至今, 已歷經100年的發展歷程。本文對潮汐調和分析方法100年來的研究與發展進行總結與回顧, 并對其未來進行了展望, 致敬在潮汐調和分析方法發展及應用歷程中有所建樹的先賢和前輩。

潮汐; 調和分析; 振幅; 非平穩潮

海洋占據了地球表面71%, 與我們人類的生存發展密切相關。潮汐作為海洋中最普遍的運動過程之一, 是海水在天體引潮力作用下形成的某些特定頻率上的周期性波動現象, 在垂直方向上表現為潮位的周期性升降, 而在水平方向上則表現為潮流的周期性運動[1]。潮汐的主要成因是地球表面上各點離月球和太陽的相對位置不同, 各點所受到的引潮力有所差異, 從而導致地球上的海水的相對運動[2]。潮汐的原動力——引潮力, 可分解為一系列頻率(周期)的分力, 而每一個頻率對應一個簡諧振動, 稱之為分潮[3]。對實際觀測的水位資料進行經典潮汐調和分析可以求出各個主要分潮的振幅和遲角(稱之為調和常數), 結合天文參數(交點因子和交點訂正角)可以推算未來時刻的潮汐, 進行潮汐預報。潮汐與國民經濟建設密切相關, 潮汐、潮流的準確預報在國防建設、航運交通、水產養殖、海洋資源開發、能源利用、環境保護、近海和遠海工程建設以及海岸防護等各方面起著至關重要的作用[1]。

潮汐可以直接影響海洋內波、海洋環流、風暴潮、海氣相互作用、海洋生態系統等。潮致混合可以將次表層冷水帶到海洋表面, 進而使海表面溫度降低[4]。一般認為潮致混合的強度與潮流流速的平方成正比[5-6], 而潮流流速存在周期約半月的大小潮循環和18.61 a循環, 這導致潮汐混合強度也存在半月和18.61 a循環, 最終海表面溫度也存在相應的周期[7-11]。海面溫度直接影響海表大氣溫度以及海洋生態系統[6, 9, 12]。Royer[13]指出在美國阿拉斯加錫特卡氣溫的30%的低頻變化與18.61 a循環有關。Souza等[14]指出南加利福利亞海域海表面溫度和硅藻豐度變化的半月周期與潮致混合有關。Tanaka等[15]發現在海氣耦合模式里考慮潮汐混合的18.61 a循環可以提高年代際氣候預報的準確性。

在層結的海洋中, 當正壓潮流流經陸架、陸坡、海山、海洋中脊、島弧等變化的海底地形時會產生與天文潮頻率一致的海洋內波, 稱為內潮[16-18]。地形變化越劇烈的海域, 往往會產生越顯著的海洋內潮。海洋內潮可以引起海洋內部等密度面上百米的起伏[19-21], 在水平方向上可以傳播1 000 km以上[22-24], 同時也會在深海產生強烈的剪切與混合[19, 21, 25-26]。海洋內潮作為從天文潮到混合過程的一個重要中間環節[19], 是連接不同尺度海洋動力過程的重要橋梁[27]。海洋內潮也是全球深海混合過程的主要能量來源。根據Munk等[28]的估算, 維持全球海洋的層結需要約2.1 TW的能量, 而其中約一半的能量來自深海潮汐。海洋內潮及其引起的海水混合會影響局地環流流場, 進而影響海域內的物質輸運和生態系統[27, 29-30]。同時海洋內潮也是海洋內孤立波產生的一個重要因素[31], 而且內潮還能與其他頻率的海洋波動(比如近慣性內波)和中尺度渦等發生相互作用[27, 32-36]。另外, 深海潮汐也是海洋物質輸運的動力源泉, 特別是潮汐在海洋近底層可產生較強的剪切應力, 導致海底沉積物再懸浮和物質輸運[37-41]。總之, 潮汐學的研究不僅具有重要的實際應用價值, 還具有重要的學術價值[1, 42-44]。

1 潮汐數據分析方法

經典潮汐調和分析是使用最廣泛的潮汐數據分析方法。在經典潮汐調和分析方法中, 各個分潮的振幅和遲角都是常數, 這種假設對于平穩潮是合理的。但是對于河流潮汐、內潮等非平穩潮, 這種假設是不合理的。河流潮汐是天文潮與地形、底摩擦和河流徑流非線性相互作用的結果。潮波在沿河傳播的過程中會逐漸被扭曲和衰減[45-51]。對于這些高度非平穩潮汐時間序列, 經典潮汐調和分析方法只能得到各主要分潮的振幅和遲角的時間平均值。為了能夠更好地理解潮與非潮過程的相互作用, 國內外學者開展了大量的相關研究。Jay等[52]首次將小波分析引入河流潮汐水位資料的分析, 小波分析相對于傅里葉分析和經典調和分析的優勢在于它能得到某些頻率振幅的時間變化, 因此被廣泛用于包括河流潮汐在內的非平穩潮的分析[52-57]。然而, 小波分析雖然能反映信號時域和頻域振幅的變化, 但是卻丟失了潮頻段分潮的分辨能力[58]。

Pan等[59]首次將經驗模態分解(empirical mode decomposition, 簡稱EMD)引入河流潮汐的分析。經驗模態分解[60]是依據數據自身的時間尺度特征來進行信號分解, 無須預先設定基函數。這一點與建立在先驗性的諧波基函數(小波基函數)上的傅里葉分析(小波分析)方法具有實質性的差別。正是由于這樣的特點, EMD方法在理論上可以應用于任何類型的信號的分解, 因而在處理非平穩及非線性數據上, 具有很高的信噪比, 有明顯的優勢。因此EMD方法一經提出就在不同的工程領域得到了廣泛的應用, 例如在海洋、大氣、天體觀測資料與地震記錄分析、機械故障診斷、密頻動力系統的阻尼識別以及大型土木工程結構的模態參數識別方面[59, 61-65]。EMD方法能使復雜信號分解為有限個本征模函數(intrinsic mode function, 簡稱IMF), 所分解出來的各IMF分量包含了原信號的不同時間尺度的局部特征信號。Flandrin等[66]研究表明EMD是一個二分濾波器(每個EMD模態的周期都近似是前面的2倍)。對于河流潮汐數據進行EMD分解得到的第一模態代表半日潮, 第二模態代表全日潮, 剩余模態的疊加是平均海平面(mean water level, MWL)。EMD成功捕捉到了全日分潮, 半日分潮以及平均海平面的由徑流引起的非平穩變化特征。和小波分析一樣, EMD同樣丟失了潮頻段分潮的分辨能力[58-59]。張亮等[67]使用了改進的集合經驗模態分解(MEEMD)對海洋潮汐進行分析, 該方法解決了EMD的模態混淆問題, 但是仍然不具備潮頻段分潮的分辨能力。

Matte等[58]首次嘗試改進經典潮汐調和分析模型,使之能應用于河流潮汐。Matte等[58]基于Kukulka等[68-69]的潮汐-徑流相互作用的理論框架, 將非平穩的外力強迫直接引入到調和分析基礎函數中, 開發了專門用于河流潮汐分析的工具包NS_TIDE。Matte等[58]將NS_TIDE用于分析美國哥倫比亞河的Vancouver驗潮站的水位數據, Gan等[70]和Yu等[71]將NS_TIDE應用于中國長江口水位數據分析, 他們的結果均表明NS_TIDE在河流潮汐數據分析中的表現遠遠優于經典調和分析工具包T_TIDE[72]。

Jin等[73]提出了非平穩潮汐調和分析方法(enhan-ced harmonic analysis, EHA), 并首次應用于內潮流速資料的分析, 理念上將經典調和分析理論中的振幅和遲角由常數改進為隨時間變化的函數, 將獨立點方案[44, 74-76]和三次樣條插值方法引入調和分析方法中, 利用最小二乘方法對隨時間變化的振幅和遲角進行求解。Pan等[77]基于廣泛使用的T_TIDE工具包為EHA開發了S_TIDE工具包, 并首次使用S_TIDE研究了美國哥倫比亞河口的潮汐-徑流相互作用。相比NS_TIDE只能應用于河流潮汐, S_TIDE理論上可以應用于所有類型的潮汐。

NS_TIDE和S_TIDE作為潮汐調和分析模型的最新進展, 引起了大家的興趣和關注。本文首先回顧經典潮汐調和分析模型的原理, 然后重點介紹NS_ TIDE和S_TIDE模型的原理, 指出它們的優缺點, 并探討未來潮汐調和分析模型的發展方向。

2 經典潮汐調和分析模型

在經典潮汐調和分析模型中[如式(1)所示], 水位被認為是一系列三角函數線性疊加的結果[78-81], 每一個三角函數都代表了一個分潮:

()是時刻觀測到的水位,σ、H以及g是第個分潮對應的角速度、振幅和遲角。是分辨的分潮的個數。0是平均海平面。式(1)可以使用變量a和b線性化表達并改寫為式(2):

式(1)中

在做線性回歸時, 根據式(2)用矩陣的形式表示, 即式(4):

=, (4)

其中,是觀測水位矩陣,是已知的系數矩陣,是待求解的未知參數矩陣, 具體表達如式(5)和(6)所示:

根據最小二乘法,的解為:

s=(T)–1T. (7)

為了減小潮汐調和分析所求得的分潮振幅和遲角的置信區間, Godin[82]提出了瑞利準則來限制調和分析里使用的分潮的個數[式(8)]:

對美國哥倫比亞河5個驗潮站觀測的水位數據應用經典潮汐調和分析(借助于T_TIDE工具包), 結果如表1所示。Astoria是離海洋最近的站點, 河流徑流影響較小, 經典潮汐調和分析回報水位解釋了原信號96.7%的變化, 均方根誤差0.15 m, 最大絕對誤差1.18 m。潮波在沿河道向內陸傳播的過程中, 受河流徑流的影響越來越大, 而經典潮汐調和分析并沒有考慮潮汐-徑流的非線性相互作用, 導致離海洋越遠的站點, T_TIDE的表現就越差(表1)。Vancouver是離海洋最遠的站, 也是T_TIDE表現最差的, 其回報的水位只能解釋原信號的52.4%, 均方根誤差是1.60 m, 最大絕對誤差是4.16 m。

3 非平穩潮汐調和分析模型NS_TIDE

3.1 NS_TIDE模型介紹

經典潮汐調和分析模型認為每一個分潮都是完美的三角函數, 即分潮的振幅和遲角都是不隨時間變化的常數。在感潮河段, 由于潮汐-徑流非線性相互作用, 導致主要分潮的振幅和遲角不再是常數, 而是河流徑流的非線性函數。由于不合理的平穩性假設, 經典潮汐調和分析方法在河口地區表現不盡人意。基于Kukulka 等[68-69]的潮汐-徑流相互作用的理論模型, Matte等[58, 83]在T_TIDE的基礎上開發了專門用于河流潮汐數據分析的工具包NS_TIDE。NS_TIDE認為分潮的振幅和遲角都是隨時間變化的[式(9)], 并將非平穩的外力強迫(河流徑流和外海潮汐)直接引入到調和分析基礎函數中[式(10)]。

表1 T_TIDE在哥倫比亞河下游站點的表現

其中,代表河流徑流,代表外海參考站的全日潮差。代表分析的分潮總個數。是模型系數(=0代表亞潮模型系數,=1, 2代表潮汐-徑流模型系數)。、以及是待定的常數, 其理論值由Kukulka 等[68-69]給出。如果知道、、, 通過最小二乘的方法就能求出未知的模型系數, 進而量化非平穩外力對于潮汐振幅和遲角的影響。在NS_TIDE中, 為了減少離群值對于調和分析結果的影響, NS_TIDE 使用了迭代權重最小二乘法(the iteratively reweighted least squares, IRLS)[84-85]。

對于河口潮等非平穩潮, 瑞利準則[式(8)]是不適用的。Munk等[86]指出潮汐譜線周圍形成的尖點寬度與非線性強迫的低頻譜有關。從這一事實出發, NS_TIDE定義了適用于非平穩潮的瑞利準則, 它主要考慮到主要分潮附近的小分潮對于主要分潮能譜的扭曲:

3.2 NS_TIDE模型優缺點

NS_TIDE不僅保持了潮頻段分潮的分辨能力, 而且還可以量化非平穩外力(河流徑流)對于潮汐非平穩變化的貢獻。因此, NS_TID在美國哥倫比亞河[58-59, 77]、加拿大圣勞侖斯河[58, 87-88]、中國長江[70-71, 89]和珠江[90]等全球各大河口都得到了廣泛應用。但是NS_TIDE也存在一些不足[59, 77]。第一, 河流高頻徑流數據的缺乏會限制NS_TIDE的使用。第二, NS_TIDE基于潮汐-徑流相互作用模型, 這也就導致了NS_TIDE不能用于其他的非平穩潮(比如內潮)。第三, NS_TIDE需要河流參考站的逐時水位數據。而且, NS_TIDE只考慮了潮汐-徑流的相互作用, 忽略了其他的重要物理過程比如沿岸上升流[91]對于水位變化的影響。第四, NS_TIDE的待定指數需要進行迭代計算和優化, 導致計算效率降低。

圖1 NS_TIDE得到的2003年Vancouver處的M2和K1的振幅(a)和遲角(b)

4 非平穩潮汐調和分析模型S_TIDE

4.1 S_TIDE模型介紹

與NS_TIDE類似, 如式(13)所示, S_TIDE同樣認為分潮的振幅和遲角是隨時間變化的:

但是不同于NS_TIDE, 在S_TIDE中, 式(13)的求解使用了獨立點方案[44, 73, 92-95]。獨立點方案的基本思想是基于樣條函數方法。如圖2所示, 假定調和變量(比如振幅)是隨時間變化的(圖2中黑色實線), X={x1, x2, x3,…, x9} 是不同的時刻。首先, 選擇= {x1, x3, x5, x7, x9}作為獨立點(independent points, IPs)代表整個變量空間。然后, 獨立點處的調和變量的值(圖2中的紅色圓圈)通過特定的算法可以求解(細節稍后給出)。最后, 調和變量在非獨立點處(x2, x4, x6, x8)的值可以通過獨立點處的插值得到。

注: 紅色的點為獨立點, 黑色的點為非獨立點

S_TIDE的求解過程可以表示為如下步驟。對于平均海平面和第個分潮潮汐調和變量(a和b), 在時間域上均勻選取一系列點作為獨立點(標記為S,a和b), 而非獨立點處的值可以通過獨立點處的插值得到。因此, 隨時間變化的MWL和調和變量可以用獨立點來表達S、a和b:

其中,f是第個獨立點在時刻的插值權重, 只與選用的插值方法有關。s和分別是MWL和分潮使用的獨立點個數。要注意的是, 目前S、a和b還是待定的, 但是基于獨立點方案, 隨時間變化的()a()和b()被表達成了獨立點(S,a,b)處值的線性疊加[式(14)]。將式(13)和(14)組合得到式(15):

三次樣條插值由于其穩定、收斂和光滑的性質在數據處理中得到了廣泛使用[44, 60, 96-97]。因此, S_TIDE選擇了三次樣條插值連接獨立點和非獨立點。關于三次樣條插值權重的具體計算公式可以參考Pan等[77], 這里不再贅述。

黨的十九大提出鄉村振興戰略并寫入黨章，把“三農”工作的重要性提升到前所未有的高度。作為當前農村工作的重中之中，精準扶貧對鄉村發展具有重大意義，同時與鄉村振興具有內在統一性和顯在的自洽性。探討二者深層的邏輯關系和內在機理，思考以精準扶貧推進鄉村振興的現實路徑，有助于進一步理解和領悟習近平關于“三農”工作的重要論述和更好地推進鄉村振興的偉大事業，因而具有深刻的理論意義和重要的現實意義。

如果有個時刻的水位觀測值, 即=1,2,…,Z, 在=1,2,…,t,時刻, 可以得到下面的方程組:

方程組(16)里有(2?s)個未知參數, 當觀測數遠遠大于(2?s)時可以通過最小二乘法來求解這些未知參數(S,a和b)。一旦獨立點處的值確定, 就可以三次樣條插值得到時間變化的MWL、分潮振幅和遲角。

在做線性回歸時, 與經典潮汐調和分析類似, 式(16)也可以寫成矩陣的形式, 即式(17):

=, (17)

其中是觀測水位矩陣,是已知的系數矩陣,是待求解的未知參數矩陣, 具體表達如式(18)、(19)和(20)所示:

根據最小二乘法,的最優解為:

s=(T)–1T. (21)

獨立點個數和使用的分潮是S_TIDE最核心的兩個輸入參數, 如果這兩個參數取值不合適, S_TIDE輸出結果可能是沒有物理意義的。根據目前的研究[77, 98], 獨立點個數越多, S_TIDE得到的分潮振幅和遲角的變化就越復雜; 獨立點越少, 得到的振幅和遲角的變化就越簡單。當獨立點個數為2時, S_TIDE得到的分潮振幅和遲角的變化是線性的; 當獨立點個數為1時, S_TIDE得到的分潮振幅和遲角都是不隨時間變化的, 與經典調和分析結果是完全一致的。從某種意義上來說, 經典潮汐調和分析模型可以看成是S_TIDE在獨立點為1時的一個特例。獨立點個數和分潮的個數是相互制約的。使用的獨立點越多, S_TIDE得到的分潮振幅和遲角的變化就越復雜, 能分辨的分潮就越少, 計算得到的分潮振幅里來自鄰近的未分辨的分潮的貢獻就越大, 反之亦然。

以下以M2分潮振幅的年循環為例, 介紹為什么在S_TIDE模型里獨立點個數和分潮的個數是相互制約的。如式(22)所示,σ、h以及g是M2分潮振幅年循環的頻率、振幅和遲角,M2、M2以及M2是M2分潮振幅的頻率、振幅和遲角,是時間。對式(22)做積化和差展開, 得到式(23)。雖然式(22)與(23)在數學上是完全等價的, 但是它們卻代表了對同一信號的兩種完全不同的解讀方式。式(22)認為信號里只存在一個頻率, 那就是M2分潮的頻率, 但是M2分潮振幅是存在年變化的。式(23)中出現3個分潮的頻率, 分別是M2、H1和H2這3個分潮的頻率, 而且這3個分潮振幅都是不隨時間變化的常數。式(22)代表了S_TIDE理解信號的方式, 即分潮的振幅和遲角是時間變化的; 而式(3)—(10)則代表了T_TIDE理解信號的方式, 即分潮的振幅和遲角都是常數。如果要用S_TIDE提取M2分潮振幅的年變化, 那么在S_TIDE模型里, H1和H2分潮不能區分, 因為H1和H2分潮是由于M2分潮的年循環產生的。

S_TIDE在哥倫比亞河的表現要略優于NS_ TIDE。以Vancouver驗潮站為例: S_TIDE回報的水位解釋了原始觀測99.1%的方差變化, 均方根誤差為0.075 m, 最大絕對誤差為0.48 m。圖3展示了S_TIDE回報水位, 幾乎與觀測水位一致, 回報的殘差非常小。相比之下, T_TIDE的回報誤差非常大。

圖3 (a)在Vanvouver, T_TIDE, NS_TIDE和S_TIDE結果比較

4.2 S_TIDE模型優點

1) 相比小波分析和NS_TIDE, S_TIDE更加簡單易懂, 更容易實現。由S_TIDE得到的結果與經驗模態分解, 小波分析還有NS_TIDE高度一致, 也符合河口潮解析理論。但是相比NS_TIDE, S_TIDE回報更加準確。

2) 與經典潮汐調和分析類似, S_TIDE只假定預先知道潮汐頻率,無需知道其他的動力過程。也就是說S_TIDE不像NS_TIDE那樣依賴于河流徑流數據或者其他外界強迫數據, 這使得S_TIDE可以廣泛應用于其他非平穩潮汐過程(比如內潮)。不僅如此, 盡管S_TIDE是為非平穩潮設計的, 但是其實它也可以用于平穩潮, 可以用來分析振幅和水位的長期變化和季節變化等。

3) 可以使用S_TIDE來準確分離水位里的潮汐和亞潮波動。也可以通過調整獨立點的個數來提取MWL、分潮振幅和遲角在不同時間尺度上的波動。

4.3 S_TIDE模型的不足

1) S_TIDE是處理非平穩非線性數據的有力工具。NS_TIDE可以用于預報; 而S_TIDE目前還未實現, 尚需深化研究。

2) 當獨立點個數較大時, 相比其他的方法, S_ TIDE需要更多的計算資源和時間。另外, 太多的獨立點可能會導致計算機內存的溢出和不符合實際的結果。例如, 對于哥倫比亞河Vancouver驗潮站7年的水位數據, 當分潮的獨立點超過了500個時, 反演得到的振幅的大小潮變化由于過度擬合被明顯夸大了。因此, 在使用S_TIDE時要非常謹慎選擇獨立點個數和使用的分潮。

5 結論

經典潮汐調和分析作為使用最廣泛的潮汐數據分析方法, 從1921年至今, 已歷經100年的發展歷程。Doodson[78-80]發展并完善了經典的潮汐調和分析理論。方國洪于1960年發展了Doodson短期觀測的分析方法, 對引潮勢進行了準調和展開, 提出了潮汐分析和預報的準調和分析方法[99-101], 為我國的潮汐、潮流分析預報工作做出了重要貢獻。當代我國的潮汐潮流研究, 陳宗鏞[102]的《潮汐學》, 方國洪等[1]的《潮汐和潮流的分析和預報》, 黃祖珂等[103]的《潮汐原理與計算》等專著發揮了重要作用。

經典調和分析方法理論上沒有考慮季節變化, 而主要分潮的季節變化是客觀存在的, 亟待準確的刻畫和提取。盡管在經典調和分析的框架下, 能夠獲取主要分潮的季節變化, 但在具體求解過程中必須假定某個時間段內各分潮的調和常數是不變的, 而這個時間段長度如何確定是個無法解決的問題: 這個時間段長度過短則無法準確分離不同分潮, 過長則無法準確提取出各個分潮隨時間變化; 需要特別指出的是上述的求解過程不可避免地會弱化振幅(遲角)的變化幅度。根據調和分析理論和方法的發展趨勢和現實需求, 潮汐調和分析模型研究未來可能的發展方向之一是改進經典的調和分析方法, 把經典調和分析方法中主要分潮的調和常數(振幅和遲角)推廣位變化的振幅(遲角), 開展變化振幅(遲角)獲取的理論和方法研究。

致謝: 謹以此文致敬在潮汐調和分析模型發展及應用歷程中有所建樹的先賢和前輩們, 特別感謝引領我入門物理海洋學研究的授業恩師方國洪先生。本文使用的S_TIDE工具包可以從如下網址獲取: https://www.researchgate.net/project/ A-non-stationary-tidal-analysis-toolbox-S-TIDE。

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Review and prospect of tidal harmonic analysis method

LV Xian-qing1, 2, PAN Hai-dong1, 2, WANG Yu-zhe1, 2

(1. Physical Oceanography Laboratory, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. Pilot National Laboratory for Marine Science and Technology (Qingdao), Qingdao 266237, China)

As the most common physical process in the ocean, tides are closely related to economic development. Tidal harmonic analysis is the most widely used method for the analysis of tidal data. Since 1921, the tidal harmonic analysis model has gone through 100 years of development. This paper summarizes and reviews the research and development of tidal harmonic analysis in the past 100 years and forecasts its future development. It pays tribute to those who made achievements in the development and application of tidal harmonic analysis.

tide; harmonic analysis; amplitude; nonstationary tides

Sep. 10, 2020

P717

A

1000-3096(2021)11-0132-12

10.11759/hykx20200910003

2020-09-10;

2020-11-10

國家自然科學基金項目(42076011, U1806214); 國家科技計劃項目(2019YFC1408405)

[National Natural Science Foundation of China, No. 42076011, No. U1806214; National Key Research and Development Plan of China, No. 2019YFC1408405]

呂咸青(1963—), 男, 山東青島人, 教授, 主要從事物理海洋學研究, E-mail: xqinglv@ouc.edu.cn

(本文編輯: 叢培秀)