二維梯形沉積盆地放大效應的數值模擬研究

包得志,榮棉水,喻 煙

(1.應急管理部國家自然災害防治研究院,北京 100085;2.北京工業大學,北京 100124)

0 引言

“盆地效應”是指入射到盆地內部的地震波由于基巖和土層介質阻抗比的差異,能量被捕獲于盆地內沉積物中且難以向盆地外釋放,從而顯著地改變地震動的頻率、振幅和持續時間并給盆地內部建筑物造成嚴重的破壞。

1985年墨西哥大地震,距震中400 km外位于盆地中的墨西哥城震害十分嚴重,經研究人員事后調查指出城市震害異常與該城市坐落于沉積盆地有關[1-2]。1995年日本神戶地震后在大阪盆地邊緣形成了一個長約20 km、寬約1 km的條帶狀嚴重破壞區,事后Hiroshi Kawase[3]通過數值模擬的方法研究發現,由于介質阻抗比的差異盆地邊緣處誘發了面波并和直達體波發生相干干涉使震動增強,并首先將這一現象定義為盆地的邊緣效應。Bard和Bouchon[4]研究了P波和SV波入射兩個基巖和土層波速差異不同的二維盆地對比發現,波速差異較大的寬盆地激發的瑞利面波的振幅比要比波速差異較小的盆地大。Khanbabazadeh等[5]分析了不同土質類型和不同強度的入射波對二維盆地放大的影響,結果表明,不同土質類型的盆地在不同激勵水平下的放大行為存在較大差異。另外Khanbabazadeh等[6]從微震調查和巖土工程調查獲得的數據建立了土耳其杜茲切盆地邊緣模型,發現傾斜的基巖對盆地邊緣特性影響很大。Zhu等[7]建立了二維淺層盆地的數值模型,并將其響應與工程上常用的一維響應分析做比較,來分析側向非均質性引起的附加放大效應。陳國興等[8]利用收集到的鉆孔及其他地質資料建立了福州盆地的仿真模型并用地震波垂直入射,發現在盆地邊緣處產生明顯的邊緣效應,在幾何形狀突變處聚焦效應明顯。劉中憲等[9]利用間接邊界元法研究了半空間橢球形沉積盆地對地震動響應,結論是盆地形狀對地震動放大效應和空間分布特征具有明顯的影響。李雪強[10]采用顯式有限元法研究了盆地基巖傾角和覆蓋層厚度對盆地內面波發育及盆地邊緣效應和聚焦效應的影響。王建龍[11]利用顯式有限元法研究了盆地放大效應與盆地深度的關系。于彥彥[12]利用譜元法研究了四川盆地的地震動響應,并認為四川盆地基底深度的分布對盆地內強地震動分布有較大影響。張建經等[13]選用三個卓越頻率不同的Ricker子波作為輸入,研究了不同卓越頻率的輸入波對盆地地震反應的影響。

通過以上學者們的研究,可以得知盆地的幾何形狀、介質的材料性質以及入射波的頻率成分對盆地的放大效應都有較大的影響。但是以上學者的研究并沒有對盆地效應的影響因素做統一的無量綱處理,得出的研究結論只適用于特定的研究模型,本文采用Buckingham[14]提出的π定理,將盆地的幾何形狀、材料性質和入射波頻率等影響因素做無量綱處理。并利用顯式有限元方法和透射人工邊界[15]建立了二維梯形盆地的粘彈性數值分析模型,以SH波垂直入射來研究盆地幾何形狀、介質物理參數以及入射波頻率對地震動放大的影響。

1 計算方法和輸入波

1.1 計算方法

本文采用的數值計算方法是顯式有限元法結合透射人工邊界,模型的介質為黏彈性介質,計算區內網格節點的運動動力方程:

(1)

[C]=α[M]+β[K]

(2)

式中:α、β為比例系數,其取值決定體系阻尼效應的大小。在瑞利阻尼模型下阻尼比ξ和入射波頻率滿足以下關系,其中f為入射波的頻率:

ξ=0.5(α/f+βf)

(3)

在本文當中α、β分別取0.025和0.02,入射SH波的主頻f0為1.1 Hz,模型最大阻尼比約為0.022 4。

單元剛度矩陣為:

(4)

單元等效節點荷載向量:

(5)

式中:[N]為單元形函數矩陣,[B]為單元幾何矩陣;t為單元厚度,它為一常數;[D]為材料矩陣,并且有如下關系:

對于SH問題有

(6)

透射人工邊界的設置保證波在人工邊界處的傳播特性與在原連續介質中一致,使得波通過人工邊界時無反射效應發生完全透射,從而實現對原連續介質的精確模擬。透射邊界利用內點位移表示邊界點位移,隨著引入內點數量的增加,可以建立高精度的高階透射公式。透射邊界將邊界波場分為內行波場和外行波場,運用透射邊界在邊界節點建立運動方程時必須分離出外行波,設分離出的外行波場位移為u外行,全波場位移為u總,內行波場為u內行,三者滿足如下關系:

u外行=u總-u內行

(7)

在圖1中,設x軸的原點O設置在所考慮的人工邊界點上,垂直于人工邊界并指向外部無限域,則可將外行單向波位移場表示成一系列外行平面波位移場的疊加,即:

圖1 透射人工邊界示意圖Fig.1 Diagram of transmission artificial boundary

(8)

由于不同的外行波分量視速度不同,為了解決這一問題引入了一個共同的常值人工波速ca來近似替換不同的視波速cxj式(8)則變為:

(9)

N階多次透射人工邊界(MTF)格式如下:

(10)

u(pΔt+Δt,0)=2u(pΔt,-caΔt)-

u(pΔt-Δt,-2caΔt)

(11)

1.2 輸入波

本文選擇雷克子波作為場地反應的輸入波(圖2),并以SH波垂直入射盆地模型,雷克子波波形簡單,只有一個正峰,兩側各有一個旁瓣,收斂快延續時間短,雷克子波的表達式為:

圖2 入射波時程及傅里葉振幅譜Fig.2 Incident wave time history and Fourier amplitude spectrum

R(t)=[1-2(πf0t)2]exp[-(πf0t)2]

(12)

其中f0為輸入的雷克子波主頻。

2 計算模型及參數無量綱處理

2.1 計算模型

如圖3所示,研究的梯形盆地的深度為h,盆地的開口寬度為2d+L,土層介質的剪切波速、密度和泊松比為vS1、ρ1和υ1。基巖介質的剪切波速、密度和泊松比為vS2、ρ2和υ2。

圖3 二維梯形盆地模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of two-dimensional trapezoidal basin model

影響盆地放大效應的物理參數包括:盆地的幾何形狀、材料性質、入射波的頻率。所研究的梯形盆地模型為一種理想化盆地模型。它的各項幾何指標很容易被參數化。通過將所研究盆地的各項物理參數進行無量綱處理后所得到的結果更具有普適意義。在所研究的梯形盆地模型當中,土層和基巖的分界面可由下面的數學表達式表示:

(13)

在本文當中梯形盆地的所有計算模型都是基于寬度L=2d來計算的,放大系數β定義為盆地地表加速度峰值與入射波加速度峰值的比值[16]。

(14)

2.2 影響參數無量綱化處理

對于動力學問題可以用三個參數來表示材料的屬性,分別是剪切波速vS、介質密度ρ以及泊松比υ[17]。vS1、ρ1和υ1分別表示土層介質的剪切波速、密度和泊松比。vS2、ρ2和υ2分別表示基巖介質的剪切波速、密度和泊松比。根據量綱分析原理中的π理論[18],任何一個由n個有量綱的物理量參與的物理過程中的函數關系都可以轉換成由n-k個這些物理量組成的無量綱量πi之間的函數關系,其中k是具有獨立量綱的物理量的數。由于這些無量綱量是以不同的πi來表示的,故稱為π定理。根據這條定理,通過物理關系式將研究參數轉化為無量綱形式,減少研究函數中自變量的個數,從而有利于實驗處理和分析。結合模型的幾何參數以及材料性質參數本文定義以下幾個無量綱參數:

(15)

式中:π1為模型深寬比;π2為模型的橫波波速比;π3為無量綱頻率;π4為無量綱盆地寬度;π5為土層介質泊松比;π6為基巖介質泊松比;π7為介質密度比;λ1為輸入地震動在土層介質中的主頻波長;λ2為輸入地震動在基巖介質中的主頻波長;f0為入射波的主頻。

由于π5、π6和π7對盆地效應的影響不大,且以SH波作為輸入波泊松比基本上無影響,為了減少計算量在所有的計算模型中這三個影響因素都設為定值π5=0.3,π6=0.3,π7=0.98。接下來本文將研究盆地深寬比π1、模型波速比π2、盆地深度和入射波長比π3以及盆地開口寬度和入射波長之比π4這四個影響因素對盆地放大效應的影響。

3 計算結果及分析

3.1 深寬比π1對放大系數的影響

深寬比π1為梯形盆地尺度的縱橫比,并且盆地的深寬比是支配盆地地震反應的一個重要因素[19]。在本小節,結果都是在盆地深度和入射主頻波長之比為1(即π3=1),圖4給出了盆地深寬比π1分別取值為0.5、0.25、0.17、0.13時,地震動放大系數β在地表的分布。

圖4 深寬比π1對放大系數的影響Fig.4 Effect of depth-width ratio π1 on amplification factor

從圖4(a)、(b)兩圖中可以看出,無論在波速比π2為1.5或3時,盆地深寬比π1對放大系數β的影響都十分顯著,且變化趨勢基本一致,隨著深寬比值逐漸減小,盆地表面各處的放大系數β都有逐漸減小的趨勢,π1值越大盆地邊緣越陡峭盆地較深,盆地的聚焦效應越明顯[20],如π1=0.5時,此時盆地邊緣最陡峭,圖4(a)、(b)兩圖的放大系數最大值都出現在盆地中心位置,波速比π2=1.5時最大值為1.85,當π2=3時最大值為2.9。在π1=0.5時,圖4(a)、(b)兩圖放大系數分布都為單峰,在π1分別取0.25、0.17、0.13時,即對于較淺的盆地,放大系數β的最大值出現在盆地邊緣附近,這是因為盆地邊緣處誘發的面波與入射體波發生相長干涉,誘發的邊緣效應[21],放大系數整體上呈雙峰分布。縱向比較圖4(a)、(b)兩圖可以發現,盆地基巖和土層的波速比π2對放大系數的影響也十分巨大,在深寬比相同的情況下,π2=3時的放大系數要整體上大于π2=1.5時的放大系數。

總之π1越大盆地越深,誘發的盆地聚焦效應越明顯,π1值越小盆地越淺,誘發的盆地邊緣效應就越顯著。并且隨著π1值逐漸減小,在波速比不變的情況下,放大系數β有逐漸減小的趨勢。且在盆地深寬比相同時,基巖介質與土層介質波速比越大,放大系數越大。

3.2 波速比π2對放大系數的影響

選取盆地內部中心位置處的觀測點為研究對象,如圖5所示。給出了放大系數β與波速比π2之間的關系,在盆地深度和入射波長之比π3和盆地深寬比π1相同的情況下,改變波速比π2的值,將π2值分別取為(1.5、2.0、3.5、5.0),介質的波速比不斷增大,從圖5的(a)、(b)、(c)、(d)都可以看出隨著波速比π2增大,放大系數也逐漸增加。這主要是由于隨著波速比增大,土層和基巖介質的阻抗比就越大[22],土層沉積物所捕獲的入射地震動的能量百分比就越高,能量透射到基巖的比例就越小,導致放大系數越大[23]。

圖5 波速比π2對放大系數的影響Fig.5 Effect of wave velocity ratio π2 on amplification factor

3.3 無量綱頻率π3對放大系數的影響

在本小節中,定義了有關輸入地震動主頻的一個參數π3。π3通過量化盆地深度與入射主波長的相對大小來測量盆地對入射波頻率的響應。

(16)

由于前面的結果發現π1=0.5時放大系數β最大,因此本小節中所有結果都是基于深寬比π1=0.5時得到的。圖6給出在不同波速比π2的情況下,π3不斷變化時對放大系數β的影響。改變入射波主頻f0來改變入射波的波長λ1,進而改變π3值。π3分別取值0.5、1、4。因為在π3小于0.5或是大于4的情況下,盆地深度相對于入射波長來講都太小或者太大。π3取0.5時入射波主頻波長相當于盆地深度的2倍,π3取1和4時,入射波主頻波長相當于盆地深度的1倍和0.25倍。從圖6(a)、(b)可以看到,π3=4時,盆地深度相對于入射波主頻波長較大時,放大系數分布出現兩個峰值,峰值出現在X/d=±1左右。π3分別等于0.5或1時,盆地深度相對入射主頻波長較小時,放大系數分布呈單峰分布,放大系數峰值出現在盆地中心位置。在圖6(c)中,當波速比較大時,即π2=3.5時,放大系數全都為單峰分布,峰值出現在盆地中心,并且π3=4盆地中心處放大系數最大,π3=1時次之,π3=0.5時盆地中心放大系數最小。縱向比較圖6(a)、(b)、(c)三個圖可以發現,對放大系數影響最大還是波速比π2,隨著基巖和土層介質的波速比增大,放大系數β明顯增大,最大放大系數出現在圖6(c)π2=3.5時的盆地中心位置,大約為3.2倍左右。

圖6 無量綱頻率π3對放大系數的影響Fig.6 Influence of dimensionless frequency π3 on amplification coefficient

3.4 無量綱化盆地寬度π4對放大系數的影響

最后研究盆地無量綱寬度π4對地震動放大系數β空間分布的影響。

(17)

圖7 無量綱寬度π4對放大系數的影響Fig.7 Influence of dimensionless width π4 on amplification factor

4 總結

本文將二維梯形盆地對地震動影響的主要物理參數分為三類:盆地的幾何參數(包括盆地的深寬比、盆地的開口寬度)、盆地的材料物理參數(包括基巖和土層的剪切波速、泊松比和介質密度)以及入射波物理參數(入射波的主頻頻率以及主頻波長)。根據Buckingham的π定理定義了影響盆地放大的7個無量綱參數。并分別研究了盆地深寬比π1、介質波速比π2、盆地深度與入射波主頻波長之比π3、以及盆地開口寬度與入射波主頻波長之比π4、對地震動加速度峰值放大系數β的影響,通過研究發現:

(1)在入射波波長和介質波速比確定的情況下,π1越大盆地越深,誘發的盆地聚焦效應越明顯,π1值越小盆地越淺,誘發的盆地邊緣效應就越顯著。

(2)在盆地的深寬比一定時,隨著π4值的不斷增大盆地的峰值放大系數逐漸從盆地中心移向盆地邊緣,表現出越來越明顯的邊緣放大效應。

(3)對峰值放大系數影響最明顯的是介質的波速比π2,波速差異越大,放大系數β從整體上要比介質波速差異情況較小時大,并且π2越大,使得入射波在基巖土層分界面處折射角變大,盆地更傾向于在盆地中心處出現最值放大系數。