培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維深刻性的策略研究

肖文記

摘? 要：數(shù)學(xué)思維的深刻性主要表現(xiàn)為三個方面：一是縱向思維，向后能追根溯源，向前能預(yù)見未來;二是由表及里，洞悉本質(zhì)，揭示事物的發(fā)展規(guī)律;三是由此及彼，在關(guān)聯(lián)中呈現(xiàn)事物之間的相互關(guān)系。文章主要就初中生數(shù)學(xué)思維的深刻性進行探討。

關(guān)鍵詞：思維深刻性;洞悉本質(zhì);揭示規(guī)律;內(nèi)外關(guān)聯(lián)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對知識的理解存在單一化和片面化的現(xiàn)象;對問題的探討停留在固定層面上，對方法的研究沒有歸納提煉，造成學(xué)生思維的淺層次發(fā)展。為了將學(xué)生的思維引向深刻，可從以下三個方面進行探索。

一、在洞悉本質(zhì)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維的深刻性

大部分學(xué)生對兩位數(shù)乘法的計算停留在豎式計算層面，能否優(yōu)化算法？我們可以嘗試探究計算中的規(guī)律。例如，[152=225，] [352=1 225，] 積末尾兩位數(shù)字都是25，前面數(shù)字為十位數(shù)字和比它大1的兩數(shù)之積，由此通過口算便可以得到[452]的結(jié)果;[11×19=209，] [13×17=221，] 積末尾兩位數(shù)字為個位數(shù)字之積，前面數(shù)字為十位數(shù)字和比它大1的兩數(shù)之積，由此可得到[14×16]的結(jié)果;[11×12=132，] [14×17=238，] 積的結(jié)果也有規(guī)律，[11×12=][11+2×10+1×2=132，14×17]= [14+7×10+4×7=238，] 由此可推算[23×24=23+4×][20+3×4=552。] 深層次思考，如何驗證與推廣？這個算法模型可以用多項式乘法法則來驗證，[10a+m ·][10a+n=10a+m+n · 10a+mn，] 適用于十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘。此算法從特殊到一般，從數(shù)到式，追尋本質(zhì)，在洞悉本質(zhì)的過程中，學(xué)生的思維從粗淺到深刻。

二、在揭示規(guī)律的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維的深刻性

學(xué)生對規(guī)律的探究大多停留在直觀層面，教師應(yīng)該從簡單到復(fù)雜，加強聯(lián)系，建立對應(yīng)，呈現(xiàn)規(guī)律。例如，下面的圖形都是由同樣大小的平行四邊形按照一定規(guī)律組成的，第1個圖形中共有1個平行四邊形，第2個圖形中共有5個平行四邊形，第3個圖形中共有11個平行四邊形，…，按照此規(guī)律，第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)為? ? ? ? ? ?。[圖1][圖2][圖3]

生1：畫出第4個圖形有19個平行四邊形，發(fā)現(xiàn)相鄰兩個圖形個數(shù)之差依次為4，6，8，猜想它們的差為連續(xù)的偶數(shù)，即4，6，8，10，12，14，于是第5個圖形有29個平行四邊形，第6個圖形有41個平行四邊形。

師：還有其他思路嗎？

生2：畫出第4個圖形有19個平行四邊形后，發(fā)現(xiàn)[19=42+3，11=32+2，5=22+1，1=12+0，] 于是第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)應(yīng)[62+5=41。]

師：思路很好，聯(lián)想到了平方數(shù)。

生3：畫出第4個圖形有19個平行四邊形后，發(fā)現(xiàn)19 = 4 × 5 - 1，11 = 3 × 4 - 1，5 = 2 × 3 - 1，1 = 1 × 2 - 1，于是第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)應(yīng)為6 × 7 - 1，即41。

師：很特別，聯(lián)想到了相鄰兩數(shù)之積。那能求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)嗎？

生2：我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)為[n2+n-1，] 求得第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

生3：我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)為[n×n+1-1，] 再求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

師：誰能給出提供幫助？

生4：2+4+6+8+…+[2n-1=2n+2n2-1，] 也可以求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

如果沒有對問題的深入探究，思維的發(fā)展就會停留在初始層面，沒到精彩處就止步了。對問題的深度挖掘，引發(fā)對規(guī)律的思考，在前后項中尋找關(guān)聯(lián)，在變化中找到對應(yīng)，用字母表示數(shù)觸發(fā)了代數(shù)式的萌動，式的生成揭示了數(shù)串的不同運算形式，化簡的結(jié)果讓不同的形式趨于一致，規(guī)律的呈現(xiàn)再現(xiàn)了數(shù)列的深度，體現(xiàn)了思維的深刻。

三、在內(nèi)外關(guān)聯(lián)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維的深刻性

學(xué)生對問題的探究大多數(shù)始于一個維度，不會從多角度去分析。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果到原因，從外部到內(nèi)部，從現(xiàn)象到本質(zhì)，深層次、多方位理解事物之間的關(guān)聯(lián)。例如，已知n是正整數(shù)，[1+1n2+][1n+12]是一個有理式A的平方，求A的值。學(xué)生會從式的運算出發(fā)，先通分得到[n2n+12+n+12+n2n2n+12=][n2n+12+2n2+2n+1n2+n2。] 接下來，要考慮把分子轉(zhuǎn)化成平方的形式，學(xué)生在運算的過程中會發(fā)現(xiàn)不僅項數(shù)增多了，而且還出現(xiàn)了高次項，探究就此止步。有些教師會直接告知學(xué)生，只需要把分子中的兩項提公因式，即可得到一個平方式，即[n2n+12+2nn+1+1=][n2n+1+12。] 這樣做學(xué)生雖然知道結(jié)果是對的，但是心里還有疑問，[n2n+12]為什么不展開呢？[2n2+2n]為什么要提公因式呢？這種教學(xué)方法的問題在于讓學(xué)生知其然，而不知其所以然，對問題的探究僅僅停留在式的運算技巧層面，沒有理性分析。數(shù)式結(jié)合，令n = 1，則有[1+11+14=94=322=31×22;] 令n = 2，則有[1+14+19=4936=762=2×3+12×32;] 令n = 3，則有[1+][19+116=169144=13122=3×4+13×42。] 于是可以猜想原式的運算結(jié)果應(yīng)為[n×n+1+1n×n+12。] 分子的目標(biāo)是化成平方式，所以[n2n+12]不展開，[2n2+2n]要提公因式化為[2nn+1。] 這樣就有了兩個平方項與積的2倍，形成了一個標(biāo)準的完全平方式，學(xué)生的疑問迎刃而解。式的運算可以借助數(shù)的運算來分析，數(shù)式關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的思維獲得深刻發(fā)展。

從以上案例可以看出，初中生數(shù)學(xué)思維的深刻性就是由表及里，對內(nèi)要縱向深掘，洞悉事物本質(zhì);對外要橫向關(guān)聯(lián)，理清事物之間的相互關(guān)系;在變化過程中，向后能回歸基點，向前能掌握趨勢，在呈現(xiàn)本質(zhì)與規(guī)律的過程中發(fā)展思維的深刻性。

參考文獻：

[1]王瑩. “高階思維”與學(xué)生數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（上旬），2018（7）.

[2]陳小彬. 高階思維：超越“低階”認知的全息思維[J]. 江蘇教育，2017（73）.