淺析解物理高考題時數學知識的應用

牛智卓

數學是物理的工具，物理的學習離不開數學的輔助。

在高中物理教學中很多的規律和定理，都應用到了數學公式。在高三一年的教學中，數學知識的應用更是隨處可見。

一、數學三角函數輔助角公式在物理動力學試題中的應用

例如：如圖所示，一兒童玩具靜止在水平地面上，一個幼兒用沿與水平面成角的恒力拉著它沿水平面運動，已知拉力，玩具的質量，經過時間.玩具移動了距離，這時幼兒松開手，玩具又滑行了一段距離后停下.（取），求：

（1）玩具與地面間的動摩擦因數;

（2）松開手后玩具還能運動多遠？

（3）幼兒要拉動玩具，拉力F與水平面夾角多大時，最省力？

考點：牛頓第二定律，勻變速直線運動的位移與時間的關系

分析：

（1）由勻變速運動的位移公式求出物體的加速度，由牛頓第二定律求出動摩擦因數.

（2）由牛頓第二定律求出加速度，由勻變速運動的速度位移公式求出玩具的位移.

（3）由牛頓第二定律與平衡條件列方程，由數學知識求出夾角.

解答：（1）玩具做初速度為零的勻加速直線運動，

由位移公式可得： ，解得： ，

對玩具，由牛頓第二定律得：Fcos30°?μ（mg?Fsin30°）=ma，

解得：μ= ;

（2）松手時，玩具的速度：v=at= m/s，

松手后，由牛頓第二定律得：μmg=ma′，

解得： ，

由勻變速運動的速度位移公式得：

玩具的位移：x′=

（3）設拉力與水平方向的夾角為θ，

玩具要在水平面上運動，Fcosθ?f>0，摩擦力f=μN，

在豎直方向上，由平衡條件得：N+Fsinθ=mg，

解得：F> ，

因為

當 時，拉力最小，最省力;

二、二次函數極值問題在高考題中的應用

例如：如圖所示，足夠長的光滑水平軌道與豎直固定的光滑半圓形彎道相切于a點，一質量為m的物塊（可視為質點），以大小為υ的速度水平向右運動，重力加速度為g，不計空氣阻力。當半圓形軌道半徑取適當值R時，物塊從半圓形軌道最高點b飛出后，在水平軌道的落點與a點間距離最大，最大距離為d。則（）

考點：平拋運動，機械能守恒定律

分析：根據機械能守恒定律求出物塊通過最高點的速度與R的關系，由平拋運動的規律得到物塊在水平軌道的落點與a點間距離與R的關系式，從而由數學知識求解。

解答：設物塊通過半圓形軌道最高點的速度為v0.

根據機械能守恒定律得：

物塊從半圓形軌道最高點b飛出后做平拋運動，則：

聯立整理得：

根據數學知識可知，當 ，即 時 最大，且 最大值為： 故選：AC。

三、數學函數解析式在高考物理電學實驗中的應用

例如：某研究小組收集了兩個電學元件：電阻R0（約為2kΩ）和手機中的鋰電池（電動勢E標稱值為3.7V，允許最大放電電流為100mA）.實驗室備有如下器材：

A.電壓表V（量程3V，電阻RV約為4.0kΩ）

B.電流表A1（量程100mA，電阻RA1約為5Ω）

C.電流表A2（量程2mA，電阻RA2約為50Ω）

D.滑動變阻器R1（0～40Ω，額定電流1A）

E.電阻箱R2（0～999.9Ω）

F.開關S一只、導線若干

（1）為了測定電阻R0的阻值，小明設計了一電路，如圖甲所示為其對應的實物圖，圖中的電流表A應選______（選填“A1”或“A2”）實驗采用分壓線路，請將實物連線補充完整。

（2）為測量鋰電池的電動勢E和內阻r，小紅設計了如圖乙所示的電路圖。根據測量數據作出 圖象，如圖丙所示。若該圖線的斜率為k，縱軸截距為b，則該鋰電池的電動勢E=______，內阻r=______（用k、b表示）.

考點：測定電源的電動勢和內阻

解答：

（1）電壓表量程是3V，通過待測電阻的最大電流

因此電流表應選電流表A2（量程2mA，電阻RA2約為50Ω）;

待測電阻R0阻值約為2kΩ，滑動變阻器R1（0～40Ω，額定電流1A）

與電阻箱R2（0～999.9Ω）最大阻值均小于待測電阻阻值，變阻器采用限流接法時待測電阻電壓與電流變化范圍較小，不能測多組實驗數據，為測多組實驗數據，減小實驗誤差，滑動變阻器應采用分壓接法，電流表應該采用內接法，實物電路圖如圖所示。

（2）由圖乙所示電路可知， ，解得 因此圖象的縱截距 ，電動勢 ，

圖象的斜率 ，則電源內阻 ;由圖乙所示可知，由于電壓表分流，使實驗的測量值偏小。

答案為：（1）A2;電路圖如圖所示;（2） ;

數學知識在物理中的應用還有很多，牛頓利用微積分解決了星球之間萬有引力平方反比的困難，為萬有引力定律的提出奠定了一定的基礎。

學好物理的同時離不開深厚的數學功底，需要我們在數學學科領域有所建樹，比如建模等。