常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用之傳染病模型

張麗

摘 要：本文介紹了患有傳染病的病人隨機(jī)走動(dòng)，在流行病傳播中的影響，并且討論了不可治愈的傳染病和可治愈的傳染病兩種情況，為控制流行病區(qū)域性暴發(fā)提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模; 微分方程; 傳染病模型;治愈

1 引言

數(shù)學(xué)建模（ Mathmatical Modeling） 是通過(guò)數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的重要途徑。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和各種軟件的開(kāi)發(fā)，數(shù)學(xué)建模在各個(gè)領(lǐng)域中的重要性更加明顯。根據(jù)運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法不同，有微分方程模型，概率模型，統(tǒng)計(jì)回歸模型等。微分方程經(jīng)過(guò)三百多年的發(fā)展，在其求解方法和理論分析方面都得到突飛猛進(jìn)，使得微分方程的應(yīng)用更加普遍。對(duì)于生活中變化速度、加速度以及所處位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律的許多復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，微分方程模型是一種極有效的數(shù)學(xué)手段。

2 常微分方程在傳染病模型中的應(yīng)用

微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問(wèn)題。常見(jiàn)的列微分方程的方法有按規(guī)律直接列方程，微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法，模擬近似法。在實(shí)際的微分方程建模過(guò)程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。無(wú)論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實(shí)際情況，做出一定的假設(shè)與簡(jiǎn)化，并要把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)照驗(yàn)證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問(wèn)題進(jìn)而達(dá)到預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的目的。

2.1不可治愈的傳染病模型

近年來(lái)，雖然衛(wèi)生設(shè)施得到了改善、醫(yī)療水平也提高了，但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類(lèi)襲來(lái)。1982年十分險(xiǎn)惡的艾滋病毒爆發(fā)， 至今仍在蔓延; 2005年禽流感病毒爆發(fā)， 給人民的生命財(cái)產(chǎn)造成極大的危害;2018年的豬瘟的爆發(fā)，再次威脅人民生命財(cái)產(chǎn)安全。長(zhǎng)久以來(lái)， 人們致力于建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程， 分析受感染人數(shù)變化規(guī)律， 探索制止傳染病蔓延的手段等。

2.1.1模型的建立

假設(shè)條件為

（2）每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常熟α，α稱(chēng)為日接觸率。當(dāng)病人和健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染而變成病人。

為了修正上述的結(jié)果必須重新考慮模型的假設(shè)，下面我們討論病人可以治愈的情況。

2.2 可治愈的傳染病模型

模型中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率α越小;醫(yī)療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。

因此，該傳染病模型描述了傳播的過(guò)程，分析感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻并探索制止蔓延的手段。

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