蜂房奧秘待全揭
——《談談與蜂房結構有關的數學問題》 讀后感

連楚琪，胡福良

（1.浙江大學數學科學學院數學與應用數學1701 班，浙江 杭州 310058；2.浙江大學動物科學學院，浙江 杭州 310058）

1 從“蜂窩猜想” 談起

蜜蜂通常被譽為“天才的建筑師”“天才的數學家”。早在公元4 世紀，古希臘數學家貝波司就提出 “蜂窩猜想”，即人們所見到的截面呈六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。“蜂窩猜想” 在不考慮生物與環境統一性的情況下，可以簡單地用數學語言表述為：蜂巢結構是在容積相同的情況下，建筑用材面積最小的結構；或者說在建筑用材面積最小的情況下，容積最大的結構。

在追尋“蜂窩猜想” 的后續發展之前，我們需要先對蜂窩結構有具體的了解。在平時的學習和生活中，我們更多看到的是蜂窩的平面圖，對蜂窩結構的認識也停留在緊密結合的等六邊形，如圖1 和圖2 所示。的確，除去蜂窩與六棱柱相同的柱身，蜂窩的外端是廣為人知的等六邊形平面；而蜂窩的里端則是由3 個菱形拼接而成的立體圖形，如圖3 所示。

圖1 蜂巢俯視圖

圖2 蜂巢側視圖

圖3 蜂房立體結構

由蜂窩結構的里端和外端，衍生出 “蜂窩猜想” 后續發展的2 個方向。

對于外端等六邊形的 “蜂窩猜想” 探索，歷史悠久。亞歷山大時期的Pappus 在他的第五本書中，簡單地將鋪陳平面的等六邊形與三角形和正方形進行比較，得出如果用同樣數量的材料建造這些圖形，六邊形將容納更多的蜂蜜。1943 年，L. Fejes T’oth 擴展了Pappus 的結果，在細胞凸性假設下證明了 “蜂巢猜想”；并且預測在沒有細胞凸性假設的前提下，“‘蜂窩猜想’的證明將涉及相當大的困難”。50 多年后，在1999 年美國數學家黑爾，結合實變函數、微分幾何等方面的知識，給出 “蜂窩猜想” 不需要凸性假設的證明。至此，經過1 600 多年的努力，外端的“蜂窩猜想”，平面的任何等面積分割都至少有正六邊形蜂窩的周長，得到完整證明。

相較于對蜂窩結構的外端，蜂窩結構內端的 “蜂窩猜想” 證明顯得較為簡單。18 世紀初，法國學者馬拉爾奇測量蜂窩的尺寸，得到一個有趣的發現，那就是六角形窩洞的6 個角， 都滿足鈍角等于109° 28'， 銳角等于70°32'。1712 年瑞士數學家克尼格給出相關證明：證實在給定正六棱柱中，蜂窩的里端結構為表面積最小的結構，即最省材料的結構。而華羅庚的《談談與蜂房結構有關的數學問題》 一書，正是將“蜂窩結構” 的這一部分證明，轉化為中學生能夠解決的數學問題，并給出了多樣的解決方法。

2 從特殊到一般

如何證明在給定正六棱柱的條件下，3 個鈍角為109°28'，銳角為70°32' 的全等菱形相拼接是最省材料的結構？一般人拿到這個問題，可能會無從入手：世界上的立體圖形太多了，挨個去進行驗證顯然是不現實的。在《談談與蜂房結構有關的數學問題》 中，華羅庚用到的是從特殊到一般的方法。通俗來說，就是往原有的證明上加更多的限制，使問題口徑更小，證明也更容易，再從特殊的結論一步步推廣到更普遍的結論。

在原本的“蜂窩猜想” 中，只設定蜂窩的柱身必須為正六棱柱結構。在最開始的證明中，華羅庚將條件限定在柱身為正六棱柱，且由3 個菱形拼成，證明在這樣的條件下，最小表面積應滿足菱形鈍角為109°28'，銳角為70°32'。在這樣嚴苛的條件下，通過蜂窩的對稱性，問題轉化成一個很純粹的最小值問題，如，求的最小值。在《談談與蜂房結構有關的數學問題》 中，華羅庚與南京師范學院附中的師生一起，提供了7種不通過微積分，單純用中學知識解決的方法。7 種方法均有效證明，在鈍角為109°28'，銳角為70°32' 的條件下，3 個菱形圍成的表面積最小，最節省用材。

蜂窩里端結構除去3 個菱形相拼接，另外一個醒目特征就是錐形。于是，在《談談與蜂房架構的數學問題》 中，下一步證明自然從3個菱形的形狀過渡到錐形形狀，為什么是尖頂六棱柱而不是屋脊六棱柱？蜂窩結構里端，除了想象成3 個菱形相拼接，也可以想象成將一個正六棱柱的底面切3 刀。而其他的尖頂六棱柱和屋脊六棱柱結構也可以想象成對正六棱柱底面進行切割而形成的，由此可以很自然地衍生出2 種切法：切角和切邊。在《談談與蜂房結構有關的數學問題》 的第七節切方中，華羅庚以四方柱出發，將尖頂四方柱與屋脊四方柱進行比較和擴展，肯定了蜂窩結構的尖頂六棱柱結構相較于屋脊六棱柱是更省表面積的做法。

3 數學問題與生物問題相統一

顯而易見的，“蜂窩猜想” 并不是一個純粹的數學問題，單純將它理解為在容積相同的情況下，建筑用材面積最小的結構有些將問題大而化之。蜂窩結構的最終目的，是容納更多的蜜蜂，而不是容納更多的空氣（僅僅考慮容積）。

在《談談與蜂房結構有關的數學問題》 的后續闡述中，華羅庚也將蜜蜂的體態納入考慮范圍之內。具體而言，是將蜜蜂的身材和腰圍納入考慮范圍，再來考察尖頂六棱柱相較于尖頂四方柱與屋脊四方柱的用料[5]。這是一個很有趣的過程，在《談談與蜂房結構有關的數學問題》 一書中，先是將“蜂窩猜想” 轉化為一個純粹的數學問題，得出結論后再將生物學納入考量范疇，最后實現了數學問題與生物問題的相統一。