區間時變時滯線性系統魯棒穩定性的新判據

張濤，王娟，孫進生

（大連民族學院機電信息工程學院，遼寧大連 116605）

區間時變時滯線性系統魯棒穩定性的新判據

張濤，王娟，孫進生

（大連民族學院機電信息工程學院，遼寧大連 116605）

研究了一類具有區間時變時滯線性不確定系統的魯棒穩定性問題。通過構造合理的李雅普諾夫函數，并且使用輔助變量以及廣義狀態法，得出了區間時變時滯系統的時滯相關魯棒穩定性新判據。同現有方法不同，該方法由于沒有對時滯參數導數的限制，可以用于快時變時滯系統。數值算例表明了方法的有效性。

區間時變時滯;魯棒穩定;輔助變量;廣義狀態

時滯特性是工業生產過程中十分普遍的現象。由于時滯的存在，嚴重地影響了控制系統的穩定性以及系統的性能指標。近些年來，對時滯系統的魯棒穩定問題的研究已經取得了很大的進展。最近，隨著遙操作和網絡控制系統的快速發展，一類特殊的時滯系統，即區間時變時滯系統引起了學者們的重視，并得到了深入研究［1-3］。現有的大多數的研究成果中都要求時變時滯的導數必須小于1，這在工程實踐中并不一定能滿足，尤其是在網絡控制系統中。本文針對一類具有區間時變時滯線性系統的魯棒穩定性問題進行研究，基于輔助變量以及廣義狀態法，利用線性矩陣不等式（LMI）推導該系統時滯依賴的魯棒穩定的充分條件。在結果中去掉了對時滯參數導數的要求，得到的方法可用于具有快時變時滯系統。

1 問題描述

考慮由以下狀態方程描述的具有時變輸入時滯的線性不確定系統:

這里x（t）?Rn為狀態變量，x（t）=φ（t），t?［-τmax，0］為初始值，A0和A1為適當維數的常數矩陣，△A0（t）和△A1（t）為時變不確定矩陣且滿足

注1:（3）式中表達的時滯，既可以表示區間時變狀態時滯，也可以代表系統建模時時滯參數的不準確性。當δ=τmed時，τ（t）?［0，］，= 2τmed，就和傳統的時變時滯參數的表達方式一樣了。但是本文中對時變時滯參數的導數沒有任何要求，而傳統的設計方法為了保證LMI中某些對角項為負定，要求時滯參數的導數必須小于1。

下面介紹一下本文用到的引理:

引理1［4］（a）對具有適當維數的任意向量x，y及對稱正定矩陣X，有

（b）給定適當維數的矩陣Y，D，E，其中Y是對稱的，則

對所有的滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數ε＞0，使得

2 主要結果

考慮具有區間時變狀態時滯的不確定系統（1），假設τmed，δ是已知正數，且τmed＞δ，如果存在適當維數的矩陣P＞0，Q＞0，R＞0，S＞0，Nj，Mj（j=1，2，3）和正常數ε，使得下面LMI成立

那么對于任意時滯參數滿足式（3）且不確定性矩陣滿足（2）的系統是漸近穩定。

由于定理1中的結果不是一個標準的LMI，不能直接用Matlab中的LMI工具箱求解，所以下面給出可以直接通過LMI工具箱求解的定理。

3 數值算例

4 結語

本文研究了一類具有區間時變時滯線性系統的魯棒穩定性問題，通過構造Lyapunov泛函，并結合積分不等式技巧，得到了系統魯棒穩定性新判據。所得結論可利用線性矩陣不等式求解，且僅依賴于時變時滯參數的中值及其變化范圍，而與時滯參數的導數無關，可以用于快時變時滯系統。數值算例驗證了方法的有效性。

［1］李濤，張合新，孫鵬.含區間時變時滯的線性不確定系統魯棒穩定性新判據［J］.控制與決策，2010，25 （6）:953-957.

［2］王新梅，魏武，賀良華，等.一類有界區間時變時滯系統的穩定性分析與研究［J］.信息與控制，2009，38（5）:526-531.

［3］張忻欣.具有區間時變時滯線性系統新的穩定性準則［J］.杭州電子科技大學學報，2010，30（2）:69-72.

［4］CAO Y Y，SUN Y X，LAM J.Delay-dependent robust H∞control for uncertain systems with time varying delays［J］.IEE Proceedings:Control Theory and Applications，1998，143:338-344.

New Robust Stability Criteria for a Class of Linear Systems with Interval Time-varying Delay Systems

ZHANG Tao，WANG Juan，SUN Jin-sheng
（College of Electromechanical＆Information Engineering，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China）

The robust stability of a class of linear systems with interval time-varying delay systems is investigated.By constructing an appropriate type of Lyapunov fanction and using the auxiliary variables and generalized states methods，the new delay-dependent robust stability criteria is derived.Unlike existing methodologies，because there are no restrictions on the derivative of the time delay，the proposed method can allow fast time-varying delay.A numerical example shows the effectiveness of the proposed criteria.

interval time-varying delay;robust stability;auxiliary variables;generalized states

TP13

A

1009-315X（2012）03-0221-04

2011-11-08;最后

2011-12-31

遼寧省教育廳資助項目（L2010093）;中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（DC10040102）。

張濤（1977-），男，山東昌邑人，副教授，博士，主要從事時滯系統、魯棒控制、模糊控制等研究。

（責任編輯 劉敏）