淺析如何在大學數學課堂中培養學生的知識遷移能力

趙子祥 李金鳳

（1.山西醫科大學晉祠學院，山西 太原 030025；2.山西科技學院，山西 晉城 048000）

一、知識遷移概述

知識遷移，顧名思義，就是指在一種環境中所獲得的知識技能，過程方法和情感態度價值觀對另一種環境中知識技能的獲得，過程方法的掌握，價值觀的形成所產生的影響，也就是一類學習對另一類學習產生的影響。遷移又分為順向和逆向，已掌握的知識對新知識獲取的影響為順向的，學生學習了定積分的概念及其幾何意義后，再學習二重積分的概念和幾何意義，就是順向影響；新習得的知識對原有知識儲備的影響為逆向的，學生學習完三重積分的相關知識后，會對二重積分的理解更加深刻或者將二者混為一談。這些影響有積極助力的，為正遷移，也有適得其反起消極作用的，為負遷移，因此在教學過程中，要避免負遷移的發生。

二、關于數學學習遷移的研究現狀

數學學習遷移能力對培養應用型人才至關重要，對今后各個學科的學習都有重要影響，因此，大量學者們對遷移能力的提升做出了研究貢獻。

本文將通過高等數學極限和積分的教學案例，探索在高數教學課堂中提升數學知識遷移能力的方法和培養遷移能力的重要性，希望對以后的教學提供可參考的方案和想法。

三、如何提升學生的知識遷移能力

（一）引導學生通過類比推理進行知識遷移

數學中的很多重要定理都是在原有知識范疇上，進行類比推廣，繼而進行驗證，從而得到另一領域的新結論。數列極限的定義到函數極限的定義就是從特殊到一般的推廣。

在這個定義中，學生第一次接觸到ε,N這些抽象的數學符號，教師可以把這些符號轉化為學生容易理解的詞語或者幾何圖像，幫助學生真正理解數列極限的含義，消除對大學數學的恐懼感，建立自信心。

?ε>0，不等式都成立，說明ε其實是一個很小的數，這點需給學生指出，當n>N時有|xn?A|<ε，也就是當n趨于很大的值時，xn趨于定值A。

上面的數軸表示，落在區間(A?ε,A+ε)外的點至多只有有限個，也就是N個。通過數軸表示，讓學生深刻理解數列極限的思想。

總結上述兩個教學過程，在講授數列極限定義時，不能只停留到文字表面，要引導學生進行深入剖析，發現定義內部規律，學會規范使用數學語言，自己能夠復述出極限的概念，能做到這一步，說明學生已經真正消化了數列極限。在此基礎上，讓學生思考數列和函數的聯系，然后將數列極限的思想應用到函數極限上，嘗試自己類比推理出函數極限的定義。要鼓勵學生不要害怕失敗，在經過多次摸索探究后，知識遷移能力自然會得到提升。講授完函數極限后，教師要讓學 生及時回顧數列極限，利用逆向遷移的積極影響，使得學生將數列極限和函數極限轉化為長時記憶，不用為了期末考試而突擊背誦。

（二）鼓勵學生大膽猜想，論證細節完成知識遷移

很多著名定理都是先提出合理的猜想，然后經過學者們不斷的論證，繼而得到一個成果。牛頓站在自己家的花園中，蘋果正好落到了他的頭上，于是他突發奇想，地球是不是有一股神秘的力量，要不蘋果為什么不往天上飛呢，他把這個神秘力量叫做萬有引力，經過論證，最終得到了萬有引力定律。

我們知道定積分的概念是由求曲邊梯形的面積而引出的，曲邊梯形的面積又是經過分割、近似求和、取極限得到的。定積分是對一元函數f(x) 討論的，它的定義域為區間，幾何意義為面積，那么我們對二元函數f(x,y) 進行討論，定義域就為區域，幾何意義變為多重的，大膽猜想為體積，這樣，就有了二重積分。三重積分可否表示質量，我們先做這樣的假設，再通過系統的步驟驗證。如此，就從一維空間拓展到多維空間。

曲邊梯形如右圖，說到求面積，學生可能無法下手，第一步往往是最難開展的。曲邊的面積不會求，直邊的矩形面積很好求，所以以直代曲，這樣得出的結果誤差較大，再將曲邊梯形按照區間(a,b) 近似分割成若干個小矩形，這些小矩形的面積之和取極限即為曲邊梯形的面積。這些求曲邊梯形面積的步驟轉化為了這樣形式和的極限，除去幾何意義外，這類數學體系就把它定義為定積分。

教師可通過多媒體工具，演示分割越來越細時曲頂柱體的動態視頻，讓學生體會分割，取極限思想。雖然二重積分的概念對一些工科專業的學生來說不是重點，但是這種數學思想頗為重要，有助于培養學生的多維立體想象力和建模能力，通過一步步的努力，問題得以解決，增強學習的耐心。最后結合曲邊梯形面積的求法，將處理不規則物體的方法總結為用已知近似替代未知，最后取極限，這種思想在今后的專業理論課經常會用到，知識遷移也會繼續進行下去。

（三）指導學生將現有問題拆解分化為原有知識，從而實現從舊到新的遷移

在需要解決一個新的問題時，教師要幫助學生將現有問題進行拆解細化，直到可以用舊知識來解決新知識為止。要想做到這一步，需要學生對舊知識相當熟悉，在碰到新問題時可以及時聯想到之前的知識經驗，在原有知識儲備倉庫中迅速匹配到相關內容，從而用它來解決遇到的新問題。

在學習了二重積分的概念后，就要研究二重積分如何計算，這也是教師教學的重點內容。學生已經掌握了定積分的計算方法，那么二重積分的計算可否轉化為已學習過的定積分求解問題呢。讓學生進行思考，這里就涉及到了降維的思想，與之相對應的，把二重積分表示的體積降維轉化為面積，這個想法是可以實現的。通過讓學生調動高等數學上冊第六章所學過的平行截面面積為已知的立體的體積，即，其中A(x) 表示垂直于x軸的截面面積。大體思想就是，當所求立體的垂直于x軸的各個截面都可以用一個表達式表示出來時，即用A(x) 表示，x∈[a,b]，那么以A(x)為底，高為dx的薄片的體積微元dV=A(x)dx，所求立體體積就為根據二重積分的幾何意義可知，至此，實現了二重降到了一重。

截面到底是怎樣表示的，是關于x的函數，還是關于y的函數，這里就需引出兩種類型的積分區域D。確定了D的類型后，才能確定如何切這個立體，垂直于y軸切，或是平行于y軸切，教師要提醒學生注意分情況考慮這個問題，不可一概而論。

下面兩圖分別是X-型區域和Y-型區域。

確定了積分區域的類型后，就可以知道怎樣切立體。積分區域為X-型時，用垂直于x軸的平面去切，積分區域為Y-型時，用垂直于y軸的平面去切。

到這，就實現了將二重積分的計算問題轉化為了兩次定積分的求解問題，從二維求解降到了一維求解，問題得到解決，學生可將定積分的計算方法遷移至此。

四、提升知識遷移能力的意義

（一）能夠提升學生從多個不同角度來思考問題的能力，做到一題多解

在學習完新知識后，要及時回顧舊知識，從而實現知識逆向遷移，利用好雙向遷移的積極影響，將新舊知識聯系起來。由點連成線，由線構成面，再由面組成體，構建一個相互連接的知識結構，做到將所學知識融會貫通，將腦子中的知識分類放到一起，在需要的時候可以迅速準確的找到。

獲取新知識后，可以結合先前所學知識，從另外一個個角度再去重新考慮考慮相同的問題，會得到一個不同的解題思路，從而加深對該知識點的理解，做到多角度分析問題。例如在學習了三重積分后，可以用求積分的方法來求球體的體積，驗證了之前高中所學習的球體體積公式，之后碰到類似問題后，可用多種方法來解答。

（二）有利于提高學生的自學能力及積極性

教師教是為了不教，學生有了知識遷移能力后，在碰到類似問題后，可以根據先前知識游刃有余的解決，也避免了為了教而教的現象。學生有能力后就會對學習產生興趣，學習完數列極限，一元函數的極限后，可能會主動思考二元函數極限是怎樣定義的，學習完一元函數求導，會思考二元函數怎么求導，有幾種導數類型。

（三）有助于開發學生的思維散發能力，從而提升科研能力

學生可將現有理論繼續推廣到其他領域，比如三重積分又表示什么幾何意義，實數域上的泰勒展開情況知道了，那么復數域上的情形是怎樣的呢，在學術創作上，學生可以由一個點散發到多點，由此開展研究創作，提供創作源泉，繼而知識遷移能力得到鍛煉，遷移過程能夠繼續開展下去，由此形成良性循環，遷移能力越來越好，發生遷移的次數越來越多。

（四）能夠將數學知識遷移應用到其他學科，實現跨學科學習

利用二重積分，可知密度為ρ(x,y)的平面薄片的質量為，其重心坐標為，。通過三重積分可得空間立體的轉動慣量。也可將數學知識應用到生活實際求解問題中，可以幫助我們將生活實際抽象化為一個數學模型，進而通過求解數學問題來解決。