變角度鋪絲構件內嵌缺陷精確定位算法

錢金源 趙筱彤 王小平 張樂恩

（1 南京航空航天大學機電學院，南京 210016）

（2 南京航空航天大學電子信息工程學院，南京 210016）

文 摘 采用自動纖維鋪放技術生產變角度鋪絲構件時，在通過平移參考路徑方法獲得完整鋪層過程中剪絲操作將導致構件中產生間隙、重疊形式的內嵌缺陷。將參考路徑設計為更具通用性和設計自由度的B樣條曲線。針對開邊柱面鋪絲構件，通過延長參考路徑、絲束等距、絲帶平移、絲束剪斷、缺陷定位步驟，提出了不同剪斷策略下的內嵌缺陷精確定位算法，該算法適用于任意覆蓋參數。最后開發了相應Matlab程序驗證算法的有效性，并可視化鋪絲構件中內嵌缺陷的分布情況。結果表明算法可以精確確定不同覆蓋參數下內嵌缺陷的位置，可為后續有限元精細模型建立提供理論依據。

0 引言

先進復合材料由于其固有輕質優勢，在航空航天、汽車、風電等領域的應用愈發廣泛，采用高占比輕質復合材料的飛機可以實現整體減重20%～30%，節能可達18%，獲得高成本效益［1-2］。近年來，自動纖維鋪放（AFP）技術相較于其他傳統鋪放技術在復合材料構件生產方面已穩步取得優勢地位［3］。自動纖維鋪放技術允許層合板內纖維以曲線形式鋪放使之具有變剛度特性，稱為變剛度或變角度層合板（VSL）［4］，但是在變角度層合板生產中，采用絲束平移方法會導致相鄰絲束間產生局部內嵌缺陷，通常表現為間隙（gap）或重疊（overlap），使用AFP 系統中的絲束剪斷與重送功能可以減少缺陷面積，但無法避免缺陷生成，最終在單層中產生一系列楔形的缺陷［5-6］。

國內外對于內嵌缺陷已經開展了一定研究，其研究手段包括力學實驗與有限元仿真。CROFT［7］通過實驗說明鋪層內部間隙和重疊缺陷會致使層壓板的抗壓強度降低5%～27%。李韋清［8］通過實驗探討含缺陷定角度層合板成型方式對拉伸性能的影響。豐亮寬［9］則在定角度試件中通過設置不同的內嵌缺陷角度分析缺陷角度對試件力學性能的影響。FAYAZBAKHSH［10］和NIK［11］借助有限元仿真模擬間隙和重疊的影響，仿真結果說明重疊會一定程度上提高面內剛度與屈曲載荷，而缺陷通常會降低二者。MAROUENE［12］則結合實驗與有限元仿真探究間隙與重疊缺陷對變剛度層合板屈曲特性的影響。

對變角度構件開展有限元分析時，通常以不考慮內嵌缺陷的理想鋪層簡化建模［13-14］。若考慮內嵌缺陷的實際影響，則內嵌缺陷的精確定位算法及幾何仿真是后續有限元仿真十分關鍵且不可獲取的前處理過程。BLOM［5］和FAYAZBAKHSH［10］給出了采用等曲率路徑作為參考路徑的層合板的內嵌缺陷定位算法，該設定下相鄰絲束關系便于確定。Mishra［6］則采用均質化方法，顯著提高了前處理計算效率。安魯陵［15］提出了一種絲束裁剪求取算法對絲束重疊程度進行控制，基于此宋桂林［16］給出了規則回轉體絲束增減方法及內嵌缺陷面積的近似估算方法。

目前關于內嵌缺陷幾何定位算法的研究較為局限，大都以層合板為實驗或仿真對象［4-13］，且為便于缺陷定位自動纖維鋪放的參考路徑大都采用等曲率路徑方式鋪放［5-6，10-12］，此外，僅針對覆蓋參數取為0%或100%［6］兩種特殊情況［5，10，12］給出定位方法。本文將層合板構件拓寬至變角度開邊柱面鋪絲構件，將鋪放的參考路徑設為更具通用性與設計自由度的B樣條曲線，并給出內嵌缺陷在任意覆蓋參數下的精確定位算法，最終開發Matlab 程序驗證算法并可視化內嵌缺陷的真實分布情況。

1 開邊柱面鋪絲構件參考路徑

開邊柱面鋪絲構件作為直紋面的一種特例，其參數形式可表達為式（1），如圖1所示。

圖1 開邊柱面構件Fig.1 Open-contoured cylinder component

式中，a（u）為導線，l0為直母線單位向量。

開邊柱面可以與平面之間建立保長對應和保角對應，設平面為P（u?，v?）且構成正交坐標網，則柱面S（u，v）展為該平面的參數變換關系由式（2）給出，其逆過程由式（3）給出。

式中，b（u）為按變換b（u）=a（u）+λ（u）·l0得到的導線，且滿足b′（u）·l0=0，|b′（u）|≠0。

在鋪絲構件上鋪放纖維絲束時，首先需設計參考路徑，然后將參考路徑偏移給定的距離，重復該步驟以鋪滿整個單層。由于開邊柱面與平面間具有保長變換關系，可以先在平面內設計參考路徑，再通過式（3）變換至對應柱面上。為獲得纖維角度連續變化的鋪層，參考路徑采用二次B 樣條曲線進行設計，其優點在于路徑的首末端點就是控制多邊形的首末頂點且路徑與控制多邊形在端點處相切。若給定初始角度θ1、終止角度θ2、形狀參數μ、路徑投影長度pro及控制頂點中任意一點，則控制多邊形其余頂點可按式（4）求解。可得式（5）的B 樣條曲線，如圖2所示。

圖2 二次B樣條曲線Fig.2 Quadratic B-spline curve

式中,V0、V1、V2為控制頂點；lr為平面內參考路徑纖維角度的參考方向。

求得控制頂點后，可以根據德布爾算法［17］求得參考路徑任意點的切矢p′（t），纖維鋪放角度按式（6）求解，式（6）與θ1、θ2、μ隱式相關，形狀參數μ過大或過小都將使路徑表現得更直，如圖3所示。

圖3 形狀參數μ對參考路徑的影響Fig.3 Influence of shape parameter μ on reference path

由于B 樣條曲線具有局部性質，通過增加新的控制頂點延長參考路徑并不會影響已經設計好的路徑，設計更為自由且各部分彼此獨立，若參考路徑包含m個部分，則控制頂點可按式（7）計算，重復頂點不重復計入，共計2m+1 個，新的節點矢量按弦長參數化方法［17］確定，參考路徑如式（8）所示。為了獲得路徑的G1連續性，新的控制多邊形需要與原控制多邊形在公共點彼此相切。因此，基于二次B 樣條曲線參考路徑生成的單層鋪層可表示為＜θ1，1（μ1）θ1，2（μ2）θ2，2···（μn）θn，2＞，若參考路徑只含有兩部分且兩部分中心對稱，則可簡化表示為＜θ1，2（μ2）θ2，2＞。通過平移法可得到不考慮內嵌缺陷的理想鋪層，變換至開邊柱面鋪絲構件的對稱理想鋪層如圖4所示。

圖4 ±＜10（0.6）50）＞理想鋪層Fig.4 ±＜10（0.6）50）＞Ideal ply-up

式中，N為按弦長參數化方法得到的節點矢量。

2 內嵌缺陷定位算法

在纖維自動鋪放過程中，每次在鋪絲構件上鋪放的纖維復合材料包含若干根單根絲束（tow），這些單根絲束組成一絲帶（course），如圖5所示。

圖5 絲帶平移Fig.5 Shifting of courses

絲帶內絲束數（tow number）及絲束寬度（tow width）為生產參數，二者乘積為絲帶寬度（course width），若不考慮絲束褶皺，則絲帶寬度在鋪放過程中被認為是定值。從圖5 中發現絲束平移法實際為絲帶的整體平移而不僅是參考路徑的平移，因而存在未能覆蓋的區域，同時相鄰絲帶之間出現較大面積的重疊，借助自動鋪絲技術中的剪絲與重送功能可使缺陷的最大寬度減小為單根絲束的寬度，這將最終導致單層中內嵌缺陷的產生。

內嵌缺陷的精確定位算法流程圖如圖6所示，對于每個單層，主要思路是首先延長參考路徑使絲帶內所有絲束均能夠抵達構件邊界，其次通過等距方法求取絲帶內所有絲束的軌跡，然后對絲帶進行平移以鋪滿整個鋪絲構件，之后采取不同策略對絲束進行剪斷并計算相應剪斷點，最終實現內嵌缺陷的精確定位。

圖6 內嵌缺陷定位算法流程圖Fig.6 Flow chart of location algorithm of embedded defects

2.1 參考路徑延長

所設計的B 樣條參考路徑具有局部性質，其延長部分仍可按式（7）計算而不影響延長前的路徑，參考路徑需要延長直至相應絲帶最外側絲束抵達構件邊界，需滿足條件（9），該條件下延長部分的終止角度小于初始角度，因而不會超過先前路徑的纖維角度范圍。延長后參考路徑的節點矢量仍按弦長參數化確定。

式中，cw為絲帶寬度，等于單根絲束寬度與絲帶內絲束數的乘積。

2.2 絲束等距及絲帶平移

由于相鄰絲束之間的距離為單根絲束寬度，鋪放過程中是保持不變的，因而將問題轉化為求解平面曲線的等距偏移曲線問題，對于任意的參數t0需滿足式（10）。

式中，Ok（t）為偏移后曲線，p（t）為參考路徑，k∈[-tn∕2，tn∕2]且為整數，tn為絲帶內絲束數，tw為絲束寬度，N（t0）為參考路徑的單位法向量。

為了高效獲得絲帶內所有絲束邊界的B 樣條參數表達形式，不能簡單將按式（10）求得的一系列點擬合為B 樣條曲線。由于參考路徑的曲率半徑遠小于偏移距離，因而偏移后曲線不會產生尖點或環，采用偏移控制多邊形同時不斷插入節點的方法求解偏移曲線。偏移得到的樣條曲線Ak（t）與真實偏移Ok（t）之間的誤差可按式（11）判定，采樣點的個數按文獻［18］設置。參考路徑偏移后的結果已展示在圖5中。

為使絲束鋪滿整個鋪絲構件且產生的重疊盡可能少，絲帶平移的距離d應為絲帶在平移方向上的寬度的最小值，如式（12）所示。平移得到絲帶集合記為C。

式中，φmin為沿參考路徑纖維鋪放角的最小值。

2.3 絲束剪斷策略

絲帶平移之后，相鄰絲帶間會出現重疊現象，如圖5所示，使用剪絲與重送功能時絲束將沿纖維角度的法向方向被剪斷，剪斷位置與采用的覆蓋參數（coverage parameter）有關。圖7 展示了不同覆蓋參數對剪斷位置的影響，其中邊界曲線為相鄰絲帶的邊界線，覆蓋參數選為0%情況下，當絲束某一邊界抵達邊界曲線時立即剪斷絲束，這將產生沒有纖維的間隙區域，稱為完全間隙情況；若覆蓋參數選為100%，則當絲束兩邊界均抵達邊界曲線時才剪斷絲束，因而產生重疊區域，稱為完全重疊情況。覆蓋參數選為其他中間值時，間隙與重疊將同時存在。絲束剪斷過后而在鋪層內最終形成的楔形缺陷即稱為內嵌缺陷。

圖7 不同覆蓋參數下絲束剪斷Fig.7 Tow drop under different coverage parameter

為描述方便，將i、j分別定義為絲帶編號和絲束編號，將平移法得到絲帶集合C中沿平移反方向第i個絲帶記為Ci，該絲帶內沿平移反方向第j個絲束邊界曲線記為tbi，j，由絲束邊界曲線tbi，j及tbi，j+1定義的絲束記為ti，j，i、j的含義以下適用。

為求得剪斷點，先計算絲帶內絲束與邊界曲線之間的交點，邊界曲線記為Bi（t），依次取為Ci中的tbi，tn+1，tbi+1，j與邊界曲線的第k個交點記為ipi+1，j，k，構成集合Ipi+1，j。一條邊界曲線與相鄰絲帶的交點結果如圖8所示。邊界曲線與絲束邊界曲線的交點一般有兩個交點。求得的交點結果為空間坐標值，還需通過點反演的方式變換為所屬絲束邊界曲線的參數值，參數坐標命名為相應空間坐標名稱追加p。

圖8 邊界曲線與絲帶交點Fig.8 Intersection points of boundary curves and course

下面給出完全間隙情況與完全重疊情況下的絲束剪斷策略（完全間隙策略及完全重疊策略）下的剪斷點求解方法，絲束ti，j的剪斷點集合記為Tpi，j，相應第k個剪斷點記為tpi，j，k，k至多為2。完全間隙策略下，當絲束任一邊界抵達邊界曲線Bi（t）時立刻剪斷絲束，剪斷點集合Tpi，j就是Ipi，j。完全重疊策略下，絲束的全部邊界都抵達邊界曲線Bi（t）時才進行剪斷，剪斷點集合Tpi，j為Ipi，j+1。

當覆蓋參數取為其他值時，將會出現重疊與間隙同時存在的情況，剪斷點將不再是邊界曲線與絲帶的交點，記第i個絲帶的參考路徑為Ri（u），相應的單位法矢向量為Ni（u），則當覆蓋參數cp取為β時，求解式（13）即可求得剪斷點，剪斷點通常有兩個解，分布在絲帶的兩側，若絲束ti+1，j兩絲束邊界曲線與邊界曲線Bi（t）均無交點，則方程（13）無解，當β取為0或1時，方程退化為計算絲帶內絲束與邊界曲線之間的交點問題。一種剪斷情況如圖9所示。

圖9 任意覆蓋參數剪斷點求解Fig.9 Points for arbitrary cp solution of tow drop

將剪斷點tpi+1，j，k變換為所屬絲束邊界曲線的參數值記為tppi+1，j，k，屬于集合Tppi+1，j。

除了以相鄰絲帶的底端絲束邊界曲線tbi，tn+1作為邊界，還需要考慮鋪絲構件的外形邊界對絲束的限制，只需將外形邊界作為新的邊界曲線計算與絲帶的交點，并采用完全重疊策略求得剪斷點。至此我們可以獲得任意覆蓋參數下的絲束剪斷位置。

2.4 內嵌缺陷精確定位

絲束剪斷后單層鋪層內將產生相應的內嵌缺陷。所謂內嵌缺陷定位是指若給定鋪絲構件上任意一點p，判斷其位于內嵌缺陷區域還是正常纖維區域。首先需要確定絲束剪斷之前給定點p所屬絲束的編號i與j，點p向參考路徑Ri（u）正交投影，投影點記為q=Ri（pp），pp為其參數值，然后求解方程（14）。由于剪斷操作前相鄰絲帶間存在重疊，因而位于重疊區內的點p，將有兩個解i1、i2，取二者中較大的值。

式中，r為絲帶平移方向向量，ceil為向上取整函數。

獲得點p所在絲束ti，j的編號后，為便于描述，將完全間隙情況下的剪斷點集合另命名為GTpi，j=｛gtpi，j，k｝，將完全重疊情況下的剪斷點集合記為OTpi，j=｛otpi，j，k｝，相應的參數集合分別記為GTppi，j=｛gtppi，j，k｝、OTppi，j=｛otppi，j，k｝。對位于絲束ti，j內的點p，其對應參數坐標pp通過求解式（15）獲得，采用完全間隙策略時若p位于間隙處，則須滿足式（16），采用完全重疊策略時若p位于重疊處，其到編號i-1 絲帶的參考路徑法向距離小于絲帶寬的一半，則須滿足式（17），而當覆蓋參數取為β時，記對應的剪斷點為itpi，j，k，相應參數坐標為itppi，j，k，判斷是否位于間隙時須滿足式（18），判斷是否位于重疊時須滿足式（19），如圖10所示，當β=0時，式（18）退化為式（16），當β=1時，式（19）退化為式（17）。通過上述算法，給定構件上一點，對于任意覆蓋參數取為β均可判斷其是否位于內嵌缺陷區域，且能夠判別具體位于空隙區域抑或是絲束重疊區域。

圖10 內嵌缺陷定位Fig.10 Location of embedded defects

3 實例驗證

為驗證本文所述內嵌缺陷精確定位算法的正確性及有效性，使用MatlabR2018 軟件開展數值仿真實驗并可視化鋪絲構件中內嵌缺陷的分布情況。鋪絲構件為B 樣條基表示的開邊柱面，參考路徑采用本文提出的二次B 樣條曲線并已相應延長。以下實例的絲束數量及絲束寬度均分別取為8、6 mm。

3.1 單層鋪層實例

鋪層采用＜10（0.6）50（0.48）46）＞鋪放方式，當覆蓋參數選為0%、50%、100%時，即對應完全間隙情況、中間情況、完全重疊情況，鋪絲構件內嵌缺陷分布分別如圖11～圖13所示，圖中，藍色區域表示間隙缺陷，紅色區域代表重疊缺陷。

圖11 覆蓋參數0%內嵌缺陷分布Fig.11 Distribution of embedded defects for cp 0%

圖13 中間隙的分布情況具有圖11 的分布特征，圖13 中重疊的分布情況也繼承圖12 的分布規律，這與算法描述的規律是一致的，覆蓋參數選為0%或100%是兩種特例。

圖12 覆蓋參數100%內嵌缺陷分布Fig.12 Distribution of embedded defects for cp 100%

圖13 覆蓋參數50%內嵌缺陷分布Fig.13 Distribution of embedded defects for cp 50%

3.2 多層鋪層實例

鋪層采用［±＜10（0.6）50（0.48）46）＞∕±＜20（0.6）40（0.49）38）＞］s鋪放方式，這里將鋪絲構件進行網格劃分，離散為大量殼單元體，依據本文內嵌缺陷精確定位算法判斷各單元體是否位于內嵌缺陷區域。覆蓋參數選為0%，鋪絲構件內間隙分布情況如圖14所示。其中圖例百分比表示沿鋪層厚度方向單元體內間隙量的平均占比，0%代表完全沒有間隙的區域，而100%代表沿鋪層厚度均為間隙的區域。本文算法可以真實再現多層鋪層鋪絲構件中的內嵌缺陷分布，因而可為后續有限元精細模型建立提供理論基礎及建模依據。

圖14 多層鋪層間隙缺陷分布Fig.14 Distribution of gaps in multi ply-ups

4 結論

采用平移絲束法生產變角度鋪絲構件時，間隙和∕或重疊形式的局部內嵌缺陷會不可避免的產生。基于本文提出的更具設計自由度的B 樣條參考路徑，為了確定開邊柱面鋪絲構件鋪層中內嵌缺陷的位置及分布特征，提出了一種內嵌缺陷精確定位算法，并給出了具體詳細的算法步驟，除了適用于完全間隙策略及完全重疊策略，亦可確定任意覆蓋參數下的內嵌缺陷分布，實例仿真表明該算法可以精確定位內嵌缺陷位置，真實再現鋪絲構件中的內嵌缺陷分布，并可為后續相應有限元分析中的缺陷建模提供算法依據。