薄板在沖擊載荷下線彈性理想塑性響應的相似性研究*

李肖成，徐 緋，楊磊峰，王 帥，劉小川，惠旭龍，劉繼軍

（1. 西北工業大學航空學院計算力學與工程應用研究所，陜西 西安 710072；2. 中國飛機強度研究所結構沖擊動力學航空科技重點實驗室，陜西 西安710065）

結構受沖擊載荷作用時的動態響應問題在工程領域中備受矚目。在實驗設計中，通過小尺寸模型預測全尺寸結構響應的實驗具有經濟成本低、實驗周期短、實驗環境易實現等明顯優勢。因此相似性方法在沖擊動力學領域中得到了廣泛應用[1-3]。實際上，由于產品規格和加工工藝等方面的原因，在很多情況下無法找到與原型相同的材料來加工制作試驗模型。當原型的材料價格較高或者較為稀有時，為了節約成本，比例模型不得不使用與原型不同的材料[4-5]。但當比例模型與原型采用不同材料進行縮放試驗時，傳統的相似理論往往不能夠同時考慮彈性變形和塑性變形的共存現象。這主要在于無論是彈性還是塑性階段，比例模型的各項材料參數與原型不同會導致相似律的失效。

針對比例模型與原型采用不同剛塑性材料的沖擊相似性問題，學者們已開展了大量研究。Alves 等[4]和秦健等[5]基于VSG（沖擊速度-屈服應力-沖擊質量）量綱分析體系，提出了一種通過修正速度來解決不同剛塑性材料畸變問題的相似方法。Mazzariol 等[6]和Sadeghi 等[7]進一步完善了VSG 量綱分析體系，通過增加密度的比例因子來修正沖擊質量，進而補償材料密度不同時由不同剛塑性材料引起的畸變。Wang 等[8-9]提出了一種DLV（密度-長度-速度）量綱分析體系，通過同時調整密度和速度，以補償不同剛塑性材料的相似性畸變問題。Mazzariol 等[10]和Wang 等[11]進一步研究了考慮厚度畸變的量綱分析方法，并得到了結構厚度畸變時剛塑性材料的相似性方法。

而對于沖擊載荷作用下彈性階段的相似性研究較少。Wu[12]提出了一種預測運動載荷作用下彈性平板振動特性的技術，從運動方程和量綱分析理論出發，推導出了原型與縮放模型之間的相似性條件。Coutinho 等[13]提出了一種相似性模塊化方法，從基本微分方程和相似理論出發，推導出了彈性梁板結構在不同載荷作用下的相似性條件。

在實際工程中，當結構受到沖擊載荷作用時，不同區域將處于不同的材料狀態，特別是結構處于小變形狀態時，彈性變形占據結構變形的主導地位，彈性變形對結構響應的影響不可忽略。本文在結構彈性階段和塑性階段的相似方法理論研究的基礎上，基于經典薄板理論模型，推導線彈性和理想剛塑性共存時材料沖擊相似性的厚度補償方法，為原型與比例模型使用不同材料時，理想彈塑性結構在沖擊響應經歷材料不同變形階段時的縮放相似性問題探索一種解決方案。

1 彈塑性結構相似性分析

1.1 等比幾何縮放的沖擊相似理論

對于沖擊載荷作用下不同材料的相似性問題，常使用表1 所示的比例關系進行縮放和相似性預測。

當結構材料處于彈性變形階段時，應力應變關系應滿足胡克定律，根據表1，應力、應變的縮放因子應該滿足：

當結構材料處于塑性變形階段時，理想塑性假設屈服應力保持不變，根據表1，應力的縮放因子應該滿足：

表1 剛塑性結構相似性縮放因子[6,8]Table 1 Scaling factors of rigid-plastic structure [6,8]

因此對本文研究的彈塑性耦合問題，結構材料應滿足下面的約束關系：

很顯然，當原型和比例模型使用相同材料且應變率效應不明顯時，式(3)成立。但是當原型與比例模型使用不同材料時，由于材料性能的不同，式(3)的條件很難滿足。即傳統的等幾何沖擊相似理論不適用于原型和比例模型使用不同彈塑性材料的沖擊問題。

1.2 考慮厚度補償的彈塑性沖擊相似

為了推導出材料線彈性和理想剛塑性耦合時的相似理論，采用工程中常用的經典薄板理論對薄板結構進行方程分析。

薄板結構假定為一個由無應變率效應和應變硬化效應的理想彈塑性材料制成的具有任意形狀、任意邊界的薄板，同時不考慮破壞并承受橫向的沖擊載荷。對于薄板結構，根據經典薄板理論，一般有以下假設[14]：

(1) 與撓度ζ0相比較，中面位移χ0和η0是很小的量；

(2) 變形前垂直于中面的直線，變形后仍為直線，且垂直于變形后的中面，并保持原長，即：

(3) 對于薄板結構厚度和撓度為同一數量級，和薄板平面的尺寸相比為小量；

(4) 近似認為 τxz=τyz=σz=。

薄板結構在受到沖擊載荷作用時，忽略摩擦導致的能量損失，則薄板中的能量主要由應變能和動能組成。根據能量守恒定理，在結構變形過程中的能量變化是動能和應變能的相互轉化。在結構受沖擊變形時，是動能轉化為應變能；在結構變形反彈階段，是應變能轉化為動能。所以，在整個沖擊過程中，應該滿足以下能量守恒方程[15]：

薄板結構橫向法線變形轉角小于15時，位移場和應變位移關系為[14]：

式中：χ、η、ζ 為結構x、y、z3 個方向的位移，χ0、η0、ζ0為薄板結構中面上的點在三個方向上的位移。

當縮放因子滿足以下公式時，原型和模型的應變-位移關系和位移場相似：

將式(11)代入式(9)和式(10)可得：

對于以上基于能量守恒方程和幾何方程推導出的應力應變相似性關系，還需要考慮物理方程，即材料的應力應變關系。

以x方向為例，對于彈性階段和塑性階段分別有：

對于彈塑性結構，為了保證相似的準確性，必須使得同一種物理量在彈性階段和塑性階段的相似性比例因子相同。將式(11)和式(12)代入式(13)可得：

圖1 不同材料應力應變縮放結果Fig. 1 Stress-strain scaling results for different materials

綜上可得，彈塑性薄板受沖擊載荷作用時的比例因子如表2 所示。當縮放模型和原型滿足表2 所示的比例因子時，無論薄板結構受到何種形式的沖擊載荷處于何種約束條件，縮放模型的結構響應就一定會和原型相似。表2 的縮放因子對薄板結構的載荷形式以及邊界約束方式沒有限制。

表2 理想彈塑性薄板結構沖擊載荷作用下縮放因子Table 2 Scaling factors of theideal elastic-plastic thin-plates under impact loading

1.3 應變率效應和應變硬化效應

根據應變率的定義可知，應變率的縮放因子為：

根據表2 可知，應變的比例因子為：

可得，在考慮應變率效應和應變硬化效應時，應力的縮放因子為：

從式(18)可得，應力的縮放因子是關于比例模型應變率和應變的函數。當原型和比例模型使用理想彈塑性材料且不考慮應變率效應時，應力縮放因子可以根據材料屬性直接獲得。但是考慮材料應變率效應和應變硬化效應時，由于沖擊過程中結構的應變率和應變在一定的區間上變化，所以應力縮放因子很難直接獲得。

早期的相似理論研究中，一般預先通過試驗或某種技術手段獲取比例模型或原型的平均應變率信息，利用平均應變率和平均應變來計算應力縮放因子[4,6]。后來王帥等[9]通過建立應變率區間和應變曲線上比例模型預測的流動屈服應力與原型流動屈服應力的最佳逼近關系，直接獲得了應力的縮放因子。但是這兩種方法在一定程度上都需要獲得原型或者比例模型的應變率和應變信息，且由于使用平均值或者最佳逼近關系，兩種方法都不可避免地產生一定的誤差。

由于理想彈塑性材料在不考慮應變率效應時，應力的比例因子可以直接根據原型和比例模型的材料屬性獲得。為了研究本文提出的厚度補償方法在解決彈性和塑性共存時相似性問題的準確性，排除應變率效應和應變硬化效應對準確性的影響，在數值模擬中忽略材料的應變率效應和應變硬化效應，僅針對無應變率效應和應變硬化效應的理想彈塑性材料進行分析。

2 數值驗證

2.1 有限元模型

使用圓板質量沖擊和速度沖擊兩種模型驗證厚度補償方法的準確性，如圖2 所示。圓板原型的半徑為150 mm，厚度為3 mm。原型采用鋁合金材料，比例模型采用4 種不同的材料，如表3 所示。令模型與原型在半徑方向的縮放比例為1/50，即比例模型的半徑為3 mm。圓板使用S4R 殼單元模擬，圓板邊緣固支，對圓板施加兩種不同的載荷：一種為直接對整個圓板施加10 m/s 的沖擊載荷，另一種為對圓板施加質量沖擊載荷，圓球質量為0.5 kg，沖擊速度為6 m/s，圓球使用剛體來模擬。根據原型和比例模型所選用的材料屬性，按照表2 所示的比例因子計算，可以得到如表4 所示的縮放比例因子。使用表4 的縮放因子乘以原型對應的沖擊速度和沖擊質量等物理量就可以得到縮放模型的沖擊速度和沖擊質量等對應物理量。不同材料的真實應力應變曲線和縮放后的應力應變曲線如圖3 所示。從圖3 中可以看出，縮放后的應力應變曲線能得到精準相似。

圖2 圓板沖擊示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the circular plate under impact loading

圖3 不同材料應力應變曲線Fig. 3 Stress-strain curves of different materials

表3 圓板材料屬性Table 3 Material properties of circular plate

表4 模型縮放系數Table 4 Scaling factors of themodels

2.2 彈-塑性階段相似性結果分析

圖4～7 和圖8～11 分別為兩種不同沖擊載荷作用下結構的動態響應和縮放后的結果。從圖4～7和圖8～11 中可以看出，當圓板受到速度沖擊和質量沖擊兩種載荷作用時，不同材料的比例模型結構響應也各不相同。但是當結構響應除以各自的響應縮放因子時，不同材料的比例模型結構響應得到了統一，能夠準確預測原型的結構響應。

圖4 速度沖擊比例模型與原型圓板中點處位移響應曲線對比Fig. 4 Comparison of displacement response between the velocity impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖5 速度沖擊比例模型與原型圓板中點處動能響應曲線對比Fig. 5 Comparison of kinetic energy response between the velocity impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖6 速度沖擊比例模型與原型圓板中點處應變響應曲線對比Fig. 6 Comparison of strain response between the velocity impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖7 速度沖擊比例模型與原型圓板中點處應力響應曲線對比Fig. 7 Comparison of stress response between the velocity impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖8 質量沖擊比例模型與原型圓板中點處位移響應曲線對比Fig. 8 Comparison of displacement response between the mass impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖9 質量沖擊比例模型與原型圓板中點處動能響應曲線對比Fig. 9 Comparison of kinetic energy response between the mass impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖10 質量沖擊比例模型與原型圓板中點處力響應曲線對比Fig. 10 Comparison of strain response between the mass impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

2.3 塑性變形程度對相似性的影響

為了驗證彈塑性變形程度不同時相似性方法的適用性，使用圓板速度沖擊模型對原型結構施加3 種不同大小的的沖擊速度，分別為：30、50、100 m/s。不同材料的縮放模型沖擊速度等物理量根據表4進行確定，然后對縮放模型進行有限元計算。沿著圓板直徑方向提取圓板在變形最大時刻的位移、Mises 應力和等效應變。

圖11 質量沖擊比例模型與原型圓板中點處應變響應曲線對比Fig. 11 Comparison of stress response between the mass impact scale model and the prototype at the midpoint of the circular plate

圖12 為在不同沖擊速度下圓板沿著直徑方向在變形最大時刻的位移，其中H為圓板厚度，R為圓板半徑，r為圓板上一點至圓心的距離。從圖12 中可以看出，沖擊速度為30、50、100 m/s 時，結構中心點的位移與厚度的比值分別為6、8 和14。三種不同速度下結構都處于大變形狀態。當結構處于大變形狀態，比例模型采用1006 鋼、黃銅和鎢合金去預測原型采用鋁合金材料的結構響應時，使用厚度補償的相似性分析方法，比例模型可以較好地預測原型在不同點處的位移響應。

圖12 不同沖擊速度下圓板沿直徑方向的位移Fig. 12 Displacement of circular plate along the diameter direction under different impact velocities

圖13 和圖14 表示在不同沖擊速度下圓板沿直徑方向的Mises 應力和等效應變。從圖14 中可以看出，不同沖擊速度下的原型最大等效應變分別為0.025、0.042、0.110。當比例模型采用1006 鋼、黃銅和鎢合金時能夠精準地預測采用鋁合金材料的原型結構響應。

圖13 不同沖擊速度下圓板沿直徑方向的Mises 應力Fig. 13 Mises stress of circular plate along the diameter direction under different impact velocities

圖14 不同沖擊速度下圓板沿直徑方向的等效應變Fig. 14 Equivalent strain of the circular plate along the diameter direction under different impact velocities

從圖13 中可以看出，圓板結構受沖擊載荷作用時，沿直徑方向不同位置處的變形狀態不同。靠近邊界處結構處于彈性階段，圓板中心點的區域處于塑性階段。無論是彈性階段還是塑性階段，比例模型都可以準確預測原型整體的結構響應。而對于結構局部的動態響應，從圖中可以看出，在圓板結構不同位置點處，比例模型可以準確預測原型的動態響應。

綜上所述，本文提出的厚度補償的相似性方法適用于不同變形程度的薄板結構。使用厚度補償的相似性方法能夠準確預測原型薄板結構整體和局部不同位置的動態響應。

3 總 結

首先，對于目前剛塑性材料沖擊相似性理論無法計及彈性變形的問題，基于薄板理論，針對無應變率效應和應變硬化效應的理想彈塑性材料，對線彈性和理想剛塑性共存時的材料相似性進行推導，提出了一種通過厚度補償的相似性方法以解決彈性變形和塑性變形共存時的不同理想彈塑性材料的相似性問題。當縮放模型與原型滿足表2 所示的比例因子時，無論薄板結構受到何種形式的沖擊載荷、處于何種約束條件，縮放模型的結構響應就一定會和原型相似。

其次，在根據厚度補償的相似性方法得到的比例因子（表2）的基礎上，建立了圓板速度沖擊模型和圓板質量沖擊模型，對厚度補償的相似性方法的準確性進行了驗證。計算結果表明，當比例模型和原型同時考慮結構線彈性和理想剛塑性階段的相似性時，本文提出的厚度補償方法能夠準確地預測到原型薄板結構在不同變形階段的位移、能量、應力和應變等動態響應。

最后，針對塑性變形程度較大的情況，通過對圓板施加大沖擊速度，進一步驗證了本文提出的相似性條件的可預測性，本文提出的厚度補償的相似性方法適用于不同變形程度的理想彈塑性薄板結構。