解斜三角形的幾種類型

摘要：本文總結了用正弦定理、余弦定理解斜三角形的幾種情況。闡述了解斜三角形的四種情形的解題方法，使學生能夠根據條件選擇合適的定理，從而快捷、高效地解決相關問題。通過對問題的解決，提高學生分析問題、研究問題、解決問題的能力，培育學習興趣，增強學習信心。

關鍵詞：正弦定理;余弦定理; 斜三角形

中圖分類號：G634.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）18-059

解斜三角形是初中數學中的一個重要知識點。用正弦定理和余弦定理是解斜三角形的常用方法。解題時如何根據條件，選擇正確的公式是很多學生存在的問題。教學過程中需要重點引導學生學會分析問題，能利用題目中給出的邊和角，運用正弦定理和余弦定理求出其他的邊和角。在實際教學過程中，發現很多學生對公式需要的條件掌握不熟練，解題時選擇合適的公式還存在一定的困難。斜三角形問題求解在歷年的考試中均有出現，此類問題是常規題、難度一般，在求解時入手快、上手容易、得分也較高。仔細研究斜三角形問題就會發現當一個題目圖形中三角個數不少于兩個時，一般來說，其中必有一個是可以采正弦或余弦定理求解，而題目中所求元素多數都在另一個三角形中，此時我們可以把已具有三個元素的三個角叫作可解三角形。本文主要對解三角形常見的情形進行分類，對每一類問題進行分析，幫助學生掌握最佳的解題方法，有效提高學生解斜三角形的整體水平。

下面介紹在本文中要用到的正弦定理和余弦定理

斜三角形中有三個角和三個邊六個量，知道其中的三個（三個角除外）可以求出剩下的三個量。基本上解斜三角形可以總結為以下四種情形：已知兩角一邊求另一邊、已知兩邊一角求另一角、已知兩邊一角求另一邊和已知三邊求三個角。下面對這四種情形分別進行研究，并借助例題分析說明。

1.已知兩角一邊求另一邊

知道斜三角形的兩個角和一個角的對邊，求另一個角的對邊，可以直接運用正弦定理求解。

2.已知兩邊一角求另一角

知道斜三角形的兩條邊和一個角，求另一個角，這里有兩種情形：（1）已知三角形兩條邊和其中一條邊的對角求另一個邊的對角;（2）已知三角形兩條邊和一個夾角求另一個角。第一種情況可以直接用正弦定理求解。第二種情況已知的角和邊不對應，不能直接運用正弦定理，需要先用余弦定理求出已知角的對邊，再用正弦定理或余弦定理求解。

3.已知兩邊一角求另一邊

已知斜三角形的兩條邊和一個角求另一條邊，這里有兩種情形：（1）已知兩條邊和一個夾角求另一條邊;（2）已知兩條邊和一個對角求另一條邊。第一種情況很簡單，可以直接用余弦定理求解。第二種情況很多學生會想到用正弦定理和三角形內角和為180°求出剩下兩個角，再用正弦定理求出邊，這樣雖然能夠求出邊，但是顯得很煩瑣。可以直接運用余弦定理建立關于所求邊的一元二次方程，再解方程求出邊。

4.已知三邊求三個角

已知斜三角形的三條邊求三角形的三個內角，可以直接運用余弦定理的三個變形公式求角。

綜上所述，解斜三角有多種情形，當我們找對方法，很容易解決問題。有的題目雖然比較復雜，要多次運用正弦定理、余弦定理，這時就考驗我們對公式適用性的理解。只要掌握了正弦定理、余弦定理的使用條件，就能很容易解決問題。以上四種情形基本上可以分為兩大類：第一類，已知兩角一邊求另一邊和已知兩條邊和一個對角求另一個角用正弦定理比較簡便;第二類，已知兩條邊和一個夾角求另一個角、已知兩邊一角求另一邊和已知兩邊一角求解。上述的例題，告訴我們可解三角形和需解三角形的應用，使我們在一遇到題后，可以有非常明確的思路分析出需要先做什么，之后再做什么，分析問題的思路也從試一下或者做一下，等不太確定的因素，轉變成為有的放矢的挖掘探究。以此減少斜三角形問題思考的時間，而且其解的思路可以表現成為：找可解的內容，定位需要解決的內容，缺少條件時假設處理，這就是快速解決斜三角形的有效方法。掌握這個原則在解斜三角形時可以少走彎路，幫助學生快捷、高效地解決相關問題，極大地提高了分析問題、研究問題、解決問題的能力，培養了學習興趣，增強了學習自信心。

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作者簡介：陳會（1980-） 男 江蘇洪澤人? 大學本科、碩士學位 從事中職數學教學。

（作者單位：淮安技師學院數控技術系，江蘇 淮安 223001）