分數階非線性Schr?dinger方程的守恒算法

靳 珊，梁宗旗

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

分數階微積分作為整數階導數與積分向任意非整數階情形的拓廣，由于缺乏應用背景的推動，其發展滯后于整數階問題。分數階微分算子具有的非局限性能較好地用于描述事物的記憶性以及遺傳性質，在數學、生物、電化學、醫學、經濟金融、統計學、超導、材料科學、湍流等各領域的不斷成功應用，使得對分數階問題的研究成為一個嶄新且活躍的領域之一。但對分數階方程的求解并非易事，數值模擬成為一個較好的方法，也成為眾多學者追逐的熱點之一。

本文所研究的薛定諤方程作為描述非相對量子力學行為的基本方程，受到了數學及物理學研究者的廣泛關注：文獻[1-3]將分數階微積分的概念和方法應用到了量子力學中；文獻[4]給出了分數階薛定諤類方程在量子力學中的重要性；文獻[5]通過先驗估計及Galerkin方法研究了分數階非線性薛定諤方程，并證明了其光滑解的存在唯一性；文獻[6]利用加權平均非標準線性有限差分方法求解了空間分數階薛定諤方程；文獻[7]提出了Adomain分解法解決非線性時間分數階薛定諤方程；文獻[8]利用Legendra配點法求解了兩類時間分數階薛定諤方程；文獻[9]基于核理論和配點法建立了一類非線性分數階薛定諤方程的數值格式；文獻[10]提出了線性化緊ADI格式求解時間分數階薛定諤方程；文獻[11]用Legengdra基函數解決時間可變階分數階薛定諤方程；文獻 [12]對分數階薛定諤方程采用了差分求解，并保持了守恒性；文獻[13]采用守恒的快速線性化有限元方法求解非線性分數階薛定諤方程；文獻[14-15]提出了非連續Galerkin有限元方法來求解分數階薛定諤方程。本文采用的是傅里葉譜方法來數值求解一維分數階非線性薛定諤方程，譜方法相對局部算子具有高精度且快速收斂的優勢，各種譜配置方法[16-18]也被應用于求解各類方程。本文時間方向采用了二階格式，空間分數階算子采用傅里葉譜方法，并保持了原方程的質量和能量的守恒性，證明了方法的收斂性和穩定性，最后通過數值例子驗證了方法的有效性及守恒性。

1 分數階非線性Schr?dinger方程

本文考慮如下分數階非線性Schr?dinger方程：

(1)

u(x,0)=u0(x)，-a≤x≤a，

(2)

(3)

其中：F表示傅里葉變換；F-1為傅里葉逆變換。當α=2時，拉普拉斯分數階算子就是傳統的經典拉普拉斯算子。但當α∈(0,2)時，它是一個非局部算子，描述了一個長時間的相互作用[20]。

引理1[21]設u(x,t)是問題(1)～(3)的解，問題(1)～(3)具有如下兩個守恒律，即質量守恒Q(t)和能量守恒E(t)。

(4)

(5)

2 數值方法

2.1 預備知識

(6)

則(-Δx)α/2u的定義為

(7)

(8)

引理2[5]設1/2<α≤1且u0∈Hα(R)，則問題(1)～(2)具有全局唯一解u∈C0([0,∞);Hα(R))。

2.2 空間傅里葉譜離散

(9)

為近似拉普拉斯算子，定義擬微分算子：

(10)

問題(1)看成兩個方程：

i?tu-(-Δx)α/2u+qf(x,t)u=0，

(11)

(12)

建立譜離散格式：

(13)

(14)

初始條件(2)離散為：

(15)

2.3 離散格式的守恒性

定理1 設Un為格式(13)～(15)在t=tn時的數值解，則具有離散質量守恒

(16)

證明式(13)兩邊同乘以(un+1+un)的共軛(un+1+un)*并累加得

(17)

定理2 設Un為格式(13)～(15)在t=tn時的數值解，則具有離散能量守恒

(18)

證明式(18)兩邊同乘以(un+1-un)*并對j(0≤j≤M-1)累加得：

(19)

(20)

(21)

2.4 誤差分析及收斂性

對任意N>1，定義有限維子空間HN=span{eikx,|k|≤N}。為解決問題(8)，即等價于求解uN∈HN，滿足

(22)

(23)

(24)

(25)

證明式(13)可表示為式(25)，其中Tk=O(τ2)為截斷誤差。式(25)兩端用vN作內積

(26)

(27)

3 數值實驗

考慮初值條件u(x,0)=sech(x)·exp(2ix)，x∈(-π,π)，空間步長h=0.062 8，時間步長τ=0.001。對于線性問題即q=0，在時間區間[0,1]上，α分別取1.3,1.6,1.9，利用格式(14)～(16)分別計算了質量Qn和能量En(見圖1～圖2)。由圖1～圖2可以看出，其質量Qn和能量En基本保持了一個數值，即均是守恒的，且質量Qn與α無關，而能量En與α相關，與理論是完全相吻合的。而對于分數階非線性Schr?dinger方程，取q=1，由圖3～圖4可以看出，本格式仍然保持了質量和能量守恒。

為了檢驗收斂階，表1～表2列出了α不同取值下不同時間、空間步長下的誤差值及誤差的階，階的計算公式分別為：在時間方向上，order=ln(e(τ1,h)/e(τ2,h))/ln(τ1/τ2)；在空間方向上，order=ln(e(τ,h1)/e(τ,h2))/ln(h1/h2)。由表1～表2可以看出，結果與理論分析結果相符。

表1 不同的α、tao計算的誤差及精度階(h=0.628 3)

表2 不同的α、h計算的誤差及精度階(tao=0.1)

4 結論

本文利用傅里葉譜方法來求解空間分數階Schr?dinger方程。該方法的求解精度時間方向達到二階，而空間方向可以達到譜精度。雖然格式是隱式，但是迭代次數并不多即可達到收斂。該格式還保持了原問題的質量守恒與能量守恒。從數值實例中可以看出，該方法簡單有效，并保證了質量守恒和能量守恒，本格式是無條件穩定的，精度也達到預期效果。而且，這個方法可以用于求解多維問題。