圖式表達：促進學生的數學概念學習

江蘇省南通市海門區正余小學 張 霞

所謂“圖式”，是指“一個心理活動框架或組織結構”（皮亞杰語）。對于小學生來說，建構一個概念，不是機械地識記概念定義，而是能理解概念的意義。只有理解了概念的意義，才能精準地把握概念的內涵與外延。圖式表達，能夠促進學生對概念的意義建構。

一、圖式表達：找準概念的生成點

數學概念具有二重屬性，即對象性和過程性。數學概念的對象屬性，說明了數學概念具有豐富的內涵、外延；而數學概念的過程屬性，說明了數學概念具有豐富的背景、誕生的歷程。引導學生建構數學概念，就是要讓學生經歷數學概念的誕生歷程，了解數學概念的誕生背景，從而把握概念的內涵與外延。圖式表達，首先就是要找準數學概念的生成點。只有找到生成點，才能讓數學概念與學生學習有效融合。

例如，教學《分數的意義》（蘇教版五年級下冊），首先要讓學生建構“單位‘1’”的概念，其次要讓學生建構“分數”的概念。“單位‘1’”的概念建構是“分數”概念建構的意義起點。只有引導學生建立了“單位‘1’”的概念，才能建構“分數”的概念。其中，幾個對象組成的整體是“單位‘1’”概念建構的重中之重。無論是“單位‘1’”的概念建構還是“分數”概念的建構，都需要教師運用圖式來進行表達。比如，將一個蛋糕平均分成四份，表示其中的三份；將一米長的線段平均分成四份，表示其中的三份；將一些圖形組成的一個整體平均分成四份，表示其中的三份，等等。通過豐富的圖式，學生能對一個物體、一個計量單位、許多物體組成的整體進行抽象概括，建構“單位‘1’”的概念。在對圖式進行變式操作中，比如針對同樣的對象進行不同的平均分操作，針對不同的對象進行相同的平均分操作，能讓學生建構分數的概念，把握分數的基本內涵。在這個過程中，學生能認識到“分數”與“平均分的份數”，即“表示的份數”相關，因而，有學生在學習中就認為“分數就是‘幾份之幾’”。這樣生本化的圖式表達，與“幾分之幾”的教材中的分數表達有異曲同工之妙，即“幾分之幾”是基于分數概念的過程性屬性表達的，而“幾份之幾”是基于分數概念的對象性（結果性）屬性表達的。

圖式是揭示數學對象性質的有力工具，能讓學生借助視覺編碼完成文字編碼，進而理解對象的本質屬性。在數學概念教學中，運用圖式能引導學生主動地對概念進行意義建構。借助于圖式表達，能激發學生的數學思維，催生學生的數學想象。借助圖式表達，學生能在心里建立概念的表象，明晰概念的邏輯意義。

二、圖式表達：找準概念的生長點

學生的數學概念學習，從某種意義上說，就是一個從心理圖式“不平衡”走向“平衡”的過程，在這個過程中，學生要積極進行概念的同化與順應。圖式表達，可以促進概念的同化與順應，從而促進數學概念的自然生長。

比如，“高”這個數學概念是一個生長性的概念。在日常生活中，學生往往容易形成這樣的概念性迷思，即生活世界中的“豎直高”對數學世界中的“垂直高”的影響。因此，在“高”這個數學概念的建構過程中，教師要給學生提供多樣化、變式性的圖式，從而引導學生舍棄概念的非本質屬性，建立概念的本質屬性。在蘇教版教材中，最早的“高”的概念的學習，“認識垂線”是基礎，其中包括兩個方面的內容：一是“兩條直線相互垂直”，二是“點到直線的距離”。通過“直線外的一點向直線引一些線段，得出點到直線的距離最短”，從而在學生心中建立“垂直”的表象。在此基礎上，教師可以借助多媒體課件用旋轉的方法變換直線的位置，讓學生直觀感知到“垂直”不同于“豎直”，“垂直”不一定是向下的，“垂直”一定是兩條直線相交成直角。這就為學生學習“三角形的高”“平行四邊形的高”“梯形的高”（蘇教版四年級下冊）等奠定了堅實的基礎。同樣，在學生學習“三角形的高”的概念時，教師同樣可以通過圖式變換，如“不同三角形不同底邊上的高”以及“同一三角形不同底邊上的高”等，讓學生建構三角形的“高”的概念。對于“平行四邊形的高”“梯形的高”的概念的建構同樣如此。教學中，教師不僅要通過正面圖式、變式圖式引導學生建構概念，而且要通過反面圖式引導學生分化概念，從而讓概念的建構更穩固、更牢靠。

圖式表達有助于學生把握概念的本質屬性，從而能讓概念的內涵、外延精致化、精準化。圖式表達可以是動作圖式的表達，也可以是言語圖式的表達。而外在圖式表達的根本目的是建立學生內在的表象圖式、思維圖式以及想象圖式。只有當學生建立了內在的圖式，學生才能在心理上把握概念的內涵以及外延，理解概念的數學本質。

三、圖式表達：找準概念的生發點

數學概念與概念之間存在著關聯。教師不僅要引導學生通過概念的建構認識概念的本質，更要通過概念的關聯認識概念的本質。一個概念，只有放置到概念系、概念群、概念網之中才能獲得真正的理解。因此，圖式表達不僅要重視概念的生成、生長，還要重視概念的生發，通過概念的生發，讓學生把握概念結構，建構概念體系。

借助圖式表達，能讓概念有效地納入概念結構、概念體系。借助概念結構、體系，學生能明確概念與概念之間的因果關系、屬種關系等。比如，教學《平行四邊形的認識》（蘇教版四年級下冊）時，對于“平行四邊形”這樣一個概念，教師不僅要呈現“一般平行四邊形”的圖式，更要呈現“特殊平行四邊形，如長方形、菱形、正方形”的圖式，通過不同的圖形圖式，引導學生辨析“長方形是否是平行四邊形”“菱形是否是平行四邊形”“正方形是否是平行四邊形”等。通過圖式比較，學生從平行四邊形的“兩組對邊分別平行”或者“一組對邊平行且相等”等特質出發，建構“長方形”“菱形”以及“正方形”的概念。比如，從平行四邊形到長方形的圖式引領，學生認識到“有一個角是直角的平行四邊形是長方形”，進而認識到“有三個角是直角的四邊形是長方形”。在數學教學中，概念的生發是相互的，如從平行四邊形到正方形，從長方形到正方形，從菱形到正方形，學生認識到，“有一組鄰邊相等的長方形是正方形”“有一個角是直角的菱形是正方形”“有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形”等等。借助圖式表達，數學概念相互生發，進而建構了平行四邊形的家族性概念體系。

學生建構數學概念的過程是一個由淺入深、由此及彼、由表及里的逐步深化過程。圖式表達契合了學生的心理特點和年齡特征，是學生進行數學概念學習重要的工具、手段和方法。借助圖式表達，學生不僅能建構數學概念，形成概念的本質性理解，而且能有效地完善數學概念結構，形成概念的結構性理解。教師要充分發揮圖式的導學功能，不斷發展學生的概念建構力，提升學生的概念理解力，真正實現學生與數學概念的意義融通。